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高中数学4-1-1圆的标准方程课件新人教A版必修


第四章
4.1.1 圆的标准方程

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

温故知新 1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合 叫做圆,其中定点是圆心,定长是半径长. 2.确定圆的基本条件:
圆心 确定圆的 圆心和半径长 可以确定一个圆,______ (1)已知____________ 半径长 确定圆的大小; 位置,_________

三 个点可确定一个圆,其中 (2)过不在同一条直线上的____
由这三点确定的三角形的 外 心即为该圆的圆心,圆心到三点

半径长 . 中任一点的距离即为圆的_______
3.平面内两点间的距离公式:A(x1,y1),B(x2,y2),则
?x2-x1?2+?y2-y1?2 |AB|=__________________.

新课引入

“南昌之星”摩天轮是目前世界上最高的摩天轮,它位于 江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是 南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160m,转盘直径为 153m,比位于英国泰晤士河边的135m高的“伦敦之眼”摩天 轮还要高,成为目前世界上最高的摩天轮. 如何写出圆的方程呢?本节我们共同研究.

自主预习 阅读教材P118~120,回答下列问题. 1. 圆 基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后,圆就 唯一确定了,因此,确定一个圆的基本要
圆心和半径 素是_________________

标准 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是
2 2 2 ( x - a ) + ( y - b ) = r 方程 __________________________

图示

坐标 适合方 若点M(x,y)在圆C上,则点M的_______
说明 程(x-a)2+(y-b)2=r2;反之,若点M(x,y)的坐

圆C 标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2,则点M在_____


[拓展]特殊位置圆的标准方程 如下表所示. 条件 圆过原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在原点 方程形式 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0) (x-a)2+y2=r2(r≠0) x2+(y-b)2=r2(r≠0) x2+y2=r2(r≠0)

圆x2+y2=1的圆心为( A.(0,0) C.(0,1)
[答案] A

) B.(1,1) D.不存在

圆(x-1)2+(y+2)2=2的半径为( A.1 B. 2 C.2 D.4
[答案] B

)

2.点与圆的位置关系 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为(a,b),半径 为r,点P(x0,y0),设d=|PC|= ?x0-a?2+?y0-b?2.

位置关系

d与r 的大小 d> r

图示

点P的坐标的特点 (x0-a)2+ (y0-b)2>r2 (x0-a)2+ (y0-b)2=r2 (x0-a)2+ (y0-b)2<r2

点在圆外

点在圆上

d= r

点在圆内

d<r

设圆C:(x-2)2+(y+3)2=25,试判断下列各点是在圆 内、在圆外、还是在圆上? (1)M(-1,-7);(2)N(-3,1);(3)P( 2, 2).

[解] 上;

(1)由于(-1-2)2+(-7+3)2=25,所以点M在圆C

(2)由于(-3-2)2+(1+3)2=41>25,所以点N在圆C外; (3)由于( 2 -2)2+( 2 +3)2=17+2 2<25,所以点P在圆 C内.

求圆的标准方程
学法指导 对于圆的标准方程的几点认识:

(1)我们要准确记忆方程的形式; (2)从方程上看要确定圆的标准方程需要两个条件(包含 三个代数量):圆的圆心坐标和圆的半径长;反之如果已知 圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径; (3)求解圆的标准方程时,一般先求出圆心和半径,再 写方程.

特别提醒:圆的标准方程中等号的右侧是半径的平方.

[例1]

写出下列各圆的方程:

(1)圆心在原点,半径是3; (2)圆心在点C(3,4)处,半径是 5; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)处. [分析] 各小题全部给出了圆的圆心坐标,要求圆的标准

方程,需求出(或已知)圆的半径,再写出圆的标准方程.

[解析]

(1)圆心为(0,0),r=3

方程为:x2+y2=9 (2)方程为:(x-3)2+(y-4)2=5 (3)r= ?8-5?2+?-3-1?2=5 方程为:(x-8)2+(y+3)2=25

写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长. (1)(x-2)2+(y-5)2=9; (2)x2+y2=256; (3)(x+1)2+(y-2)2=m(m>0).

[解析]

根据圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)中圆

心为(a,b),半径为r,故 (1)圆心坐标是(2,5),半径长是3. (2)圆心坐标是(0,0),半径长是16. (3)圆心坐标是(-1,2),半径长是 m.

写出下列各圆的标准方程. (1)圆心在原点,半径长为2; (2)圆心是直线x+y-1=0与2x-y+3=0的交点,半径长 1 为4.

[解析]

(1)∵圆心在原点,半径长为2,

即a=0,b=0,r=2. ∴圆的标准方程为x2+y2=4.
? ?x+y-1=0, (2)圆心是两直线的交点,即圆心在? ? ?2x-y+3=0

上,

2 5 ∴圆心为(-3,3), 1 又∵半径长为 . 4 22 52 1 ∴圆的标准方程为(x+3) +(y-3) =16.

点与圆的位置关系
学法指导 点与圆的位置关系的判断方法:

(1)几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较; (2)代数法:直接利用下面的不等式判定: ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2,点在圆外; ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上; ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2,点在圆内.

[例2]

写出圆心为(3,4),半径为5的圆的方程,并判定

点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系. [分析] 由点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来确

定此点与圆的位置关系,也可先求出圆的方程,从数的角度 作判断.

[解析]

该圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,

把A、B两点的坐标分别代入圆的方程 (0-3)2+(0-4)2=25, (1-3)2+(3-4)2=5<25. ∴A点在圆上,B点在圆内.

规律总结:解答这种类型的题目可以从形的角度,比较 圆的半径与圆心到定点的距离的大小,从而作出判断,还可 以从数的角度,将定点的坐标代入圆的方程左边,再与右边 的值比较作出判断.两种方法体现了几何与代数相互转化的 数学思想.

已知两点P1(0,5)和P2(4,1),求以P1P2为直径的圆的方 程,并判断M(1,6),Q(3,5)是在圆上?圆外?圆内? [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半径.

(2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是:根据已知点与 圆心的距离与半径的大小关系来判断.

[解析]

由已知条件可得圆心坐标为(2,3),半径为r=

1 2

|P1P2|=2 2 ,则得以P1P2为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2 =8,将点M(1,6)代入圆的方程左边有:(1-2)2+(6-3)2= 10>8,∴点M在圆外,同理可判断Q点在圆内.

探索延拓创新

圆的标准方程的综合应用
学法指导 求圆的标准方程有以下两种方法:

(1)待定系数法. 由于圆的标准方程中含有a,b,r三个参数,必须具备 三个独立条件,才能求出一个圆的标准方程,用待定系数法 求圆的方程,即列出关于a,b,r的方程组,解方程组求a, b,r.一般步骤如下:①设出所求的圆的标准方程(x-a)2+(y -b)2=r2;

②根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解方程组时,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的 方程中,就得到所求圆的标准方程.

(2)几何法. 通过研究已知条件,结合圆的几何性质,求得圆的基本 量(圆心坐标,半径长),进而求得方程. 圆的常用的几何性质:①圆心到圆上的点的距离等于半 径;②圆心到圆的切线的距离等于半径;③圆的弦的垂直平 分线过圆心;④两条弦的垂直平分线的交点为圆心;⑤r2=d2 l 2 +( ) ,其中r为圆的半径,d为弦心距,l为弦长. 2

[例3]

求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:

3x+10y+9=0上的圆的标准方程.

[解析]

方法一(待定系数法):

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), ??6-a?2+?5-b?2=r2, ? 2 2 2 则有??0-a? +?1-b? =r , ?3a+10b+9=0, ? 解得a=7,b=-3,r= 65. 故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.

方法二(几何法): 由题意得AB的中垂线方程为3x+2y-15=0,
? ?3x+2y-15=0, 由? ? ?3x+10y+9=0, ? ?x=7, 解得? ? ?y=-3.

故圆心C为(7,-3), 于是半径r=|CB|= 72+?1+3?2= 65. 故所求圆的标准方程为(x-7)2+(y+3)2=65.

规律总结:(1)在方法一中,解方程组时,要注意运算 的技巧性.由于圆的标准方程左端是平方和的形式,右端是 常数,因此两式相减,利用平方差公式可以简化运算. (2)方法二主要是利用了圆心在圆的弦的垂直平分线上这 一几何性质,在计算上更为简捷,在解题时若能善于利用圆 的几何性质,往往会收到较好的效果.

求经过两点A(-1,4)、B(3,2),且圆心在y轴上的圆的方 程.

[解析]

解法1:∵圆心在y轴上,

可设圆的标准方程是x2+(y-b)2=r2. ∵该圆经过A、B两点,
2 2 2 ? ??-1? +?4-b? =r , ∴? 2 2 2 ? 3 + ? 2 - b ? = r , ?

? ?b=1, ∴? 2 ? ?r =10.

所以圆的方程是x2+(y-1)2=10.

解法2:线段AB的中点为(1,3), 2-4 1 kAB= =-2, 3-?-1? ∴弦AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1), 即y=2x+1
? ?y=2x+1 由? ? ?x=0

得(0,1)为所求圆的圆心.

由两点间距离公式得圆半径 r= ?0+1?2+?1-4?2= 10 ∴所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.

规律总结:求圆的标准方程就是求圆心坐标和圆的半 径,解法1是先设出圆的标准方程,而后用待定系数法求出圆 心坐标和圆半径,解法2抓住圆的性质及题目的特点,求出线 段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组,先求 出了圆心的坐标,而后求出圆的半径.

名师辨误做答

易错点 忽视标准方程的结构致错 [例4] [错解] 求圆(x+2)2+(y-3)2=b2(b≠0)的圆心及半径长. 由圆的标准方程知圆心为(2,-3),半径长为b.

[错因分析] 在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 中,此圆的圆心为(a,b),半径长为r.此题错解是因为没有准 确把握圆的标准方程的结构形式.
[正解] 由圆的标准方程知圆心为(-2,3),半径长为|b|.

基础巩固训练

1.圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是( A.(2,1) C.(-2,1)
[答案] B

)

B.(2,-1) D.(-2,-1)

2.以原点为圆心,4为半径的圆的方程是( A.x2+y2=4 C.x2+y2=2
[答案] B

)

B.x2+y2=16 D.(x-4)2+(y-4)2=16

3.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( A.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+4)2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25
[答案]
[解析]

)

A
半径r= ?0-3?2+?4-0?2 =5,则圆的方程为x2

+(y-4)2=25.

4.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是 ( ) A.5 C.4
[答案]
[解析]

B.3 D.2
A
|3×0+4×0-25| 圆心为(0,0),d= =5,故选A. 2 2 3 +4

5.点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的 取值范围是________.
[答案] (0,10)

[解析] 由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10, 又m>0,∴m的取值范围是(0,10).

6.据下列不同条件写出圆的标准方程 (1)圆心为原点,半径为2的圆的标准方程为________. (2)圆心为(0,-2),半径为3的圆的标准方程为 ________. (3)圆心为C(-1,2),半径为 ________. (4)圆心为(3,-4),过原点的圆心的标准方程为 ________. 5 的圆的标准方程为

(5)圆心为(-2,-3)与x轴相切的圆的标准方程为 ________. (6)圆心为(-5,4)与y轴相切的圆的标准方程为________.
[答案] (1)x2+y2=4 (2)x2+(y+2)2=9 (3)(x+1)2+(y-

2)2=5 (4)(x-3)2+(y+4)2=25 (5)(x+2)2+(y+3)2=9 (6)(x +5)2+(y-4)2=25

7.已知圆C:(x-5)2+(y-6)2=10,试判断点M(6,9), N(3,3),Q(5,3)与圆C的位置关系. [分析] 确定. 先求出|CM|,|CN|,|CQ|,再与半径比较大小来

[解析]

圆心C(5,6),半径r= 10.

|CM|= ?6-5?2+?9-6?2= 10, |CN|= ?3-5?2+?3-6?2= 13> 10, |CQ|= ?5-5?2+?3-6?2=3< 10. 因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.

[点评]

判断点与圆的位置关系,可以判断该点与圆心的

距离和圆的半径的大小关系,如本题;也可将该点的坐标代 入圆的方程判断.

8.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2),和点 B(3,-2)的圆的方程. [分析] 利用圆的标准方程的特点,只须找到该圆的圆心

和半径即可,可以利用待定系数法,也可利用圆的性质求出 圆心坐标和半径,从而写出该圆的方程. 解题流程:

[解析]

法一:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 ?a=2 ? ,解得?b=1 ?r= 10 ?

?2a-b-3=0 ? ??5-a?2+?2-b?2=r2 ??3-a?2+?-2-b?2=r2 ?

.

所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.

法二:因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在 1 线段AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为y=- 2 (x-4) 设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有 2a-b-3=0 ? ? ? ?a=2 ? ,解得? . 1 ? b=-2?a-4? ?b=1 ? ? 所以:C(2,1),r=|CA|= ?5-2?2+?2-1?2= 10 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.

规律总结:(1)确定圆的方程需要三个独立条件.“选 标准,定参数”是解题的基本方法,其中,选标准是根据已 知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数. (2)注意圆的有关几何性质,可使问题计算简单.


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