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平面向量数量积中的创新问题


平面向量数量积中的创新问题 【创新点拨】 1.以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题 通常以数量积运算为核心,通过数形结合,转化化归等途径,解决与几 何有关的问题,或以向量自身为背景,解决有关模、夹角等问题. 2.命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算等. 【新题快递】 1.(2014·安徽高考)设a,b为非零向量,|b|=2|a|

,两组向量x1,x2,x3,x4 和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4 所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为 2 A. ? 3 B. ? 3 C. ? 6 D.0 ( ) 【解题提示】对x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4的可能结果进行讨论,根 据各选项分别判断. 【解析】选B.设a,b夹角为θ,x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4有以下3种 可能: (1)2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=10|a|2. (2)4a·b=4|a|·2|a|cosθ=8|a|2cosθ. (3)|a|2+2a·b+|b|2=5|a|2+2|a|·|b|cosθ. 易知(2)最小,则8|a|2cosθ=4|a|2, 1 ? 解得cosθ= ?θ= . 2 3 ? 若平 2.(2015·泉州模拟)对任意两个非零向量 ?, ?, 定义 ? ? ? ? ?? . ?? ? 面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ ∈(0, 在集合{ n |n∈Z}中,则 a ? b =( 2 1 A. 2 B.1 3 C. 2 ? ),且 a ? b和b ? a 都 4 ) 5 D. 2 【解析】选C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积,可知 a? b a b cos? a cos? a?b ? ? ? ,① 2 b? b b b b cos? ,② a 2 ? 因为θ∈(0, ),所以 <cosθ<1. 2 4 b?a ? 又因为|a|≥|b|>0, b 所以0< ≤1,所以0< b cosθ<1, a a 即 b ? a ∈(0,1).又 b ? a ∈ { n |n ? Z}, 所以 b ? a = 1 , 2 2 由①×②得, (a ? b)(b ? a) =cos2θ∈( 1 ,1), 2 所以 1 < 1 ( a ? b )<1, 2 2 所以1< a ? b <2,所以 a ? b = 3 . 2 3.(2015·潍坊模拟)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任 意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下面说法错误的是( A.若a与b共线,则a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.对任意的λ ∈R,有(λ a)☉b=λ (a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=a2b2 ) 【解析】选B.对于A,由a与b共线,得mq-np=0,即a☉b=0,故A正确; 对于B,由新定义知,a☉b=mq-np,而b☉a=np-mq,所以a☉b≠b☉a,故B 错误; 对于C,(λa)☉b=(λm,λn)☉(p,q)=λmq-λnp=λ(mq-np)=λ(a☉b), 故C正确; 对于D,(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2= (m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确. 【备考指导】 1.准确转化:解决数量积中创新问题时,一定要读懂题目的本质含义. 紧扣题目所给条

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