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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课时作业


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课时提升作业(二十)
数系的扩充和复数的概念

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·泰安高二检测)-(2A.-2 B.i)=-2+ i)的虚部是( C. i,则虚部为

. ) ) D.2

【解析】选 C.由-(2-

2.如果 C,R,I 分别表示复数集,实数集和纯虚数集,其中 C 为全集,则( A.C=R∪I C.R=C∩I B.R∪I={0} D.R∩I=?

【解析】选 D.复数包括实数与虚数,故 A,B,C 错.选 D. 3.(2014·安阳高二检测)复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等,则实数 a 的值为 ( A.1 C.-4 B.1 或-4 D.0 或-4 )

【解析】选 C.验证:当 a=0 或 1 时,复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 不相等,排除 A,B,D. 【变式训练】已知复数 z1=1+3i 的实部与复数 z2=-1-ai 的虚部相等,则实数 a 等于( )

A.-3

B.3

C.-1

D.1

【解析】选 C.已知 1+3i 的实部为 1,-1-ai 的虚部为-a,则 a=-1. 【知识拓展】复数相等的充要条件的应用 1.必须是复数的代数形式,才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方 程组. 2.利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用 方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解 决复数问题中非常重要. 4.a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 D.当 a=0 时,若 b=0,则为实数,若 b≠0,则为纯虚数,若 a+bi 为 纯虚数,则 a=0,b≠0,故 a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的既不充分也不 必要条件. 5.若 a,b∈R,i 是虚数单位,且 b+(a-2)i=1+i,则 a+b 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) )

【解析】选 D.由 b+(a-2)i=1+i 得 b=1,a=3, 所以 a+b=4. 6.已知复数 z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部, 则实数 a 的取值范围是( A.-1 或 3 )

B.{a|a>3 或 a<-1} C.{a|a>-3 或 a<1} D.{a|a>3 或 a=-1} 【解题指南】找出复数 z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部与虚部,列出不等式,即可 求得实数 a 的取值范围. 【解析】选 B.由已知可以得到 a2>2a+3,即 a2-2a-3>0,解得 a>3 或 a<-1,因此, 实数 a 的取值范围是{a|a>3 或 a<-1}. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·银川高二检测)设 i 为虚数单位,若复数 z=(m2+2m-3)+(m-1)i 是纯虚 数,则实数 m=________. 【解析】由已知得, 答案:-3 8.(2013·韶关高二检测)以 3i复数是________. 【解析】3i答案:3-3i 9.已知 x2-y2+2xyi=2i,则有序实数对(x,y)=________. 【解析】由复数相等,得 解得 或 的虚部为 3,3i2+ i 的实部为-3,所以所求复数为 3-3i. 的虚部为实部,以 3i2+ i 的实部为虚部的 故 m=-3.

答案:(1,1)或(-1,-1) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

10.(2014·岳阳高二检测)已知复数 z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数 m 为何值 时,复数 z (1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数. 【解析】z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i. (1)令 m2-m-6=0? m=3 或 m=-2, 即 m=3 或 m=-2 时,z 为实数. (2)令 m2-m-6≠0,解得 m≠-2 且 m≠3, 所以 m≠-2 且 m≠3 时,z 是虚数. (3)由 解得 m=-1,

所以 m=-1 时,z 是纯虚数. 11.若不等式 m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10 成立,求实数 m 的值. 【解题指南】虚数不能比较大小,能比较大小的一定是实数. 【解析】由题意,得 ,

所以

所以当 m=3 时,原不等式成立.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014 ·哈尔滨高二检测 ) 若复数 z= tan 的值为( ) + i 是纯虚数,则

A.-7

B.-

C.7

D.-7 或-

【解析】选 A. 因为复数 z 是纯虚数 . 所以满足实部为零且虚部不为零 . 即 因为 sinθ= 且 cosθ≠ ,所以 cosθ=- ,所以 tanθ=- ,

因为 tan

=

=

=-7.故选 A.

【误区警示】忽视虚部的限制而出错 纯虚数的实部为 0,虚部一定不等于 0. 2.已知关于 x 的方程 x2+(k+2i)x+2+ki=0 有实根, 则这个实根以及实数 k 的值为 ( A.x= B.x=C.x= D. ,k=-2 ,k=2 或 x=或 ,k=-2 )

【解题指南】先设出方程对应实数根,再利用复数相等的知识,列出方程组, 求实数的值. 【解析】 选 D.设 x=x0 是方程的实根, 代入方程并整理, 得( +kx0+2)+(2x0+k)i=0. 由复数相等的条件,得 解得 或

3.(2013·玉林高二检测)甲、乙两人各抛掷一次骰子(它们的六个面分别标有数 字 1,2,3,4,5,6),设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则

满足复数 x+yi 的实部大于虚部的概率是( A. B. C.

) D.

【解析】选 B.抛掷的结果为 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有 36 种. 满足复数 x+yi 的实部大于虚部情况数有 (2,1) (3,1)(3,2) (4,1)(4,2)(4,3) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)共有 15 种. 所以满足复数 x+yi 的实部大于虚部的概率为 = . 4.已知复数 z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ +(λ +3sinθ )i(λ ,θ ∈R),并且 z1= z2,则λ 的取值范围为( A.-7≤λ ≤ C.-1≤λ ≤1 【解析】选 D.由 z1= z2,得 消去 m,得λ=4sin2θ-3sinθ=4 - . ) B. ≤λ ≤7 D.- ≤λ ≤7

由于-1≤sinθ≤1,故- ≤λ≤7. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·淄博高二检测)设复数 z= ________. 【解析】由题意 答案:3 【举一反三】若把题中条件“实数”改为“虚数”则 m 的值为多少? 【解析】若复数 z= 3 且 m≠=-5. 【变式训练】若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为________. 【解析】由 答案:-1 6.已知实数 a,x ,y 满足 a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0 ,则点(x,y)的轨迹方程是 ____________. 【解题指南】由复数相等的充要条件列出 a,x,y 的关系式,再消去字母 a 即 可. 【解析】由复数相等的充要条件知, 消去 a, 得 x2+y2-2x+2y=0, 即(x-1)2+(y+1)2=2. 答案:(x-1)2+(y+1)2=2 ? x=-1. +(m2+2m-15)i 是虚数,则 m+5≠0 且 m2+2m-15≠0,得 m≠ 解得 m=3. +(m2+2m-15)i 为实数,则实数 m 的值是

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.已知 +(x2-2x-3)i=0(x∈R),求 x 的值.

【解析】由复数相等的定义,得 解得 x=3.所以 x=3 为所求. 8.定义运算 =ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i= ,求实数 x,y 的值.

【解题指南】利用运算的定义转化为两个复数相等求解. 【解析】由定义运算 得 =ad-bc

=3x+2y+yi,

故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因为 x,y 为实数,所以有 得 得 x=-1,y=2.

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