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2014高考文科数学分类汇编——数列


数列 D1 数列的概念与简单表示法 3n2 -n 17. 、[2014· 江西卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = ,n∈N* . 2 (1)求数列{an }的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1 ,an ,am 成等比数列. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(4x2 +4ax+a2 ) x,其中 a<

0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 1 16.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足 an +1 = ,a8 =2,则 a1 =________. 1-an D2 等差数列及等差数列前 n 项和 2.[2014· 重庆卷] 在等差数列{an}中,a1 =2,a3 +a5 =10,则 a7 =( A.5 B.8 C.10 D.14
*

)

5.[2014· 天津卷] 设{an }是首项为 a1 ,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1 ,S2 , S4 成等比数列,则 a1 =( ) A.2 B.-2 1 C. 2 1 D.- 2

15. 、[2014· 北京卷] 已知{an}是等差数列,满足 a1 =3,a4 =12,数列{bn}满足 b1 =4,b4 = 20,且{bn -an }为等比数列. (1)求数列{an }和{bn }的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 17. ,[2014· 福建卷] 在等比数列{an}中,a2 =3,a5 =81. (1)求 an ; (2)设 bn =log3 an ,求数列{bn }的前 n 项和 Sn . 19. 、[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1 =2,且 a1 ,a2 ,a5 成等比数列. (1)求数列{an }的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an }的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn >60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由. n2 +n 16. 、[2014· 湖南卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = ,n∈N* . 2 (1)求数列{an }的通项公式; (2)设 bn =2an +(-1)n an ,求数列{bn}的前 2n 项和. 13.[2014· 江西卷] 在等差数列{an}中,a1 =7,公差为 d,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范围为________. 9.[2014· 辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1 an }为递减数列,则( )

A.d>0

B.d<0

C.a1 d>0 D.a1 d<0

17.[2014· 全国卷] 数列{an}满足 a1 =1,a2 =2,an +2 =2an +1 -an +2. (1)设 bn =an +1 -an ,证明{bn}是等差数列; (2)求{an }的通项公式. 5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为 2,若 a2 ,a4 ,a8 成等比数列,则{an }的前 n 项和 Sn =( A.n(n+1) ) B.n(n-1) n(n+1) C. 2 n(n-1) D. 2
2

17. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知{an }是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x -5x+6=0 的根. (1)求{an }的通项公式;
?a ? ?的前 n 项和. (2)求数列? n ?2n ?

19. , ,[2014· 山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an }的通项公式; (2)设 bn =an(n+1),记 T m=-b1 +b2 -b3 +b4 -…+(-1) bn ,求 Tn . 2 16. 、 、[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2s in(A+ C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c =2a,求 cos B 的值. 19. 、 、 [2014· 四川卷] 设等差数列{an }的公差为 d, 点(an , bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N* ). (1)证明:数列{bn}为等比数列; 1 2 (2)若 a1 =1,函数 f(x)的图像在点(a2 ,b2 )处的切线在 x 轴上的截距为 2- ,求数列{an bn} ln 2 的前 n 项和 Sn. 19.[2014· 浙江卷] 已知等差数列{an }的公差 d>0. 设{an }的前 n 项和为 Sn ,a1 =1,S2· S3 =36. (1)求 d 及 Sn ; (2)求 m,k(m,k∈N* )的值,使得 am+a m+1 +a m+2 +…+a m+k =65. 16. 、[2014· 重庆卷] 已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an }的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn ; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q -(a4 +1)q+S4 =0,求{bn }的通项公式及其 前 n 项和 T n. D3 等比数列及等比数列前 n 项和
2 n

12.[2014· 安徽卷] 如图 13,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2 2,过点 A 作 BC 的 垂线, 垂足为 A1 ; 过点 A1 作 AC 的垂线, 垂足为 A2 ; 过点 A2 作 A1 C 的垂线, 垂足为 A3 ; …. 依此类推,设 BA=a1 , AA1 =a2 , A1 A2 =a3 ,…,A5 A6 =a7 ,则 a7 =________.

图 13 17. ,[2014· 福建卷] 在等比数列{an}中,a2 =3,a5 =81. (1)求 an ; (2)设 bn =log3 an ,求数列{bn }的前 n 项和 Sn . . 13. 、[2014· 广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数,且 a1 a5 =4,则 log2 a1 +log2 a2 +log2 a3 + log2 a4 +log2 a5 =________. 19. 、 、[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1 =2,且 a1 ,a2 ,a5 成等比数列. (1)求数列{an }的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an }的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn >60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由. 7.[2014· 江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2 =1,a8 =a6 +2a4 ,则 a6 的值是 ________. 3n2 -n * 17.[2014· 江西卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = ,n∈N . 2 (1)求数列{an }的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N* ,使得 a1 ,an ,am 成等比数列. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(4x2 +4ax+a2 ) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 8.[2014· 全国卷] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn .若 S2 =3,S4 =15,则 S6 =( A.31 B.32 C.63 D.64 )

5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为 2,若 a2 ,a4 ,a8 成等比数列,则{an }的前 n 项和 Sn =( ) A.n(n+1) B.n(n-1) n(n+1) C. 2 n(n-1) D. 2

19.[2014· 山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an }的通项公式; (2)设 bn =an(n+1),记 T m=-b1 +b2 -b3 +b4 -…+(-1)n bn ,求 Tn . 2

16. 、 、[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2s in(A+ C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c =2a,求 cos B 的值. 20. 、 、[2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数,设集合 M={0,1,2,…,q -1},集合 A={x|x=x1 +x2 q+…+xn q ,xi ∈M,i=1,2,…,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A. (2)设 s , t∈A, s =a1 +a2 q+…+an q n. 证明:若 an <bn ,则 s <t.
n -1 n -1

, t=b1 +b2 q+…+bn q

n -1

, 其中 ai, bi ∈M, i=1, 2, …,

16. 、[2014· 重庆卷] 已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an }的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn ; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q -(a4 +1)q+S4 =0,求{bn }的通项公式及其 前 n 项和 T n. D4 数列求和
2

15. 、[2014· 北京卷] 已知{an}是等差数列,满足 a1 =3,a4 =12,数列{bn}满足 b1 =4,b4 = 20,且{bn -an }为等比数列. (1)求数列{an }和{bn }的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. n2 +n 16. 、[2014· 湖南卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = ,n∈N* . 2 (1)求数列{an }的通项公式; (2)设 bn =2an +(-1)n an ,求数列{bn}的前 2n 项和. 17. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知{an }是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x2 -5x+6=0 的根. (1)求{an }的通项公式;
?a ? ?的前 n 项和. (2)求数列? n ?2n ?

19. , ,[2014· 山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an }的通项公式; (2)设 bn =an(n+1),记 T m=-b1 +b2 -b3 +b4 -…+(-1)n bn ,求 Tn . 2 D5 单元综合
*

18.[2014· 安徽卷] 数列{an}满足 a1 =1,nan +1 =(n+1)an +n(n+1),n∈N .
?a ? (1)证明:数列? n ?是等差数列; ?n?

(2)设 bn =3n · an ,求数列{bn }的前 n 项和 Sn.
2 19. [2014· 广东卷] 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn , 且 Sn 满足 S2 n-(n +n-3)Sn -3(n2 +n)=0,n∈N*.

(1)求 a1 的值; (2)求数列{an }的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1 (a1 +1) a2 (a2 +1) an (an +1) 3 19. 、 、[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1 =2,且 a1 ,a2 ,a5 成等比数列. (1)求数列{an }的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an }的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn >60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由. 20.[2014· 江苏卷] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn . 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使 得 Sn =am,则称{an }是“H 数列”. (1)若数列{an }的前 n 项和 Sn =2 (n∈),证明:{an }是“H 数列”. (2)设{an }是等差数列,其首项 a1 =1,公差 d<0. 若{an}是“H 数列”,求 d 的值. (3)证明:对任意的等差数列{an },总存在两个“H 数列”{bn }和{c n},使得 an =bn +c n(n∈)成 立. 3n -n 17. 、 、[2014· 江西卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = ,n∈N* . 2 (1)求数列{an }的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1 ,an ,am 成等比数列. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(4x2 +4ax+a2 ) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 19. 、 、 [2014· 四川卷] 设等差数列{an }的公差为 d, 点(an , bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈ N* ). (1)证明:数列{bn}为等比数列; 1 2 (2)若 a1 =1,函数 f(x)的图像在点(a2 ,b2 )处的切线在 x 轴上的截距为 2- ,求数列{an bn} ln 2 的前 n 项和 Sn.
* 2 n

答案: D1 3n2 -n 17.解:(1)由 Sn = ,得 a1 =S1 =1. 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =3n-2,a1 也符合上 2 式,所以数列{an }的通项公式为 an =3n-2. (2)证明:要使得 a1 ,an ,am 成等比数列,只需要 a n =a1 · am,即(3n-2) =1· (3m-2),即 m= 2 * 3n -4n+2. 而此时 m∈N ,且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1 ,an ,am 成等比数列. 2(5x-2)(x-2) 2 18.解:(1)当 a=-4 时,由 f′(x)= =0 得 x= 或 x=2,由 f′(x)>0 得 5 x 2 x∈?0, ?或 x∈(2,+∞). ? 5? 2 故函数 f(x)的单调递增区间为?0, ?和(2,+∞). ? 5? (10x+a)(2x+a) (2)因为 f′(x)= ,a<0, 2 x a a 所以由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2 a a a a 当 x∈?0,- ?时,f(x)单调递增; 当 x∈?- ,- ?时,f(x)单调递减;当 x∈?- ,+∞? ? ? 10 ? 2 ? 10? 2? 时,f(x)单调递增. 易知 f(x)=(2x+a)
2 * 2 2

a? x≥0,且 f? ?-2?=0.

a 2 ①当- ≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a =8,得 a 2 =± 2 2-2,均不符合题意. a a ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]时的最小值为 f? - ? =0,不符合题意. ? 2 2? a ③当- >4 时, 即 a<-8 时, f(x)在[1, 4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 时取得, 而 f(1)≠8, 2 由 f(4)=2(64+16a+a2 )=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去). 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 1 2

16.

D2 2.B 5.D

15.解:(1)设等差数列{an }的公差为 d,由题意得 a4 -a1 12-3 d= = =3. 3 3 所以 an =a1 +(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn -an }的公比为 q,由题意得 q3 = b4 -a4 20-12 = =8,解得 q=2. b1 -a1 4-3
n -1 n -1

所以 bn -an =(b1 -a1 )q =2 . n -1 从而 bn =3n+2 (n=1,2,…). (2)由(1)知 bn =3n+2n -1(n=1,2,…). 1-2 3 n -1 n 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2 }的前 n 项和为 1× =2 -1, 2 1-2 3 所以,数列{bn }的前 n 项和为 n(n+1)+2n -1. 2 17.解:(1)设{an }的公比为 q,依题意得
?a1 q=3, ?a1 =1, ? ? ? 解得? 4 ?a1 q =81, ?q=3. ? ?
n

因此,an =3 . (2)因为 bn =log3 an =n-1, n(b1 +bn ) n2 -n 所以数列{bn }的前 n 项和 Sn = = . 2 2 19.解:(1)设数列{an }的公差为 d, 依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2 =2(2+4d), 化简得 d2 -4d=0,解得 d=0 或 d=4, 当 d=0 时,an =2; 当 d=4 时,an =2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an }的通项公式为 an =2 或 an =4n-2. (2)当 an =2 时,Sn =2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+(4n-2)] 当 an =4n-2 时,Sn = =2n2 . 2 令 2n2 >60n+800,即 n2 -30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an =2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an =4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41. 16. 解:(1)当 n=1 时,a1 =S1 =1; n2 +n (n-1)2 +(n-1) 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 = - =n. 2 2 故数列{an }的通项公式为 an =n.

n -1

(2)由(1)知, bn =2 +(-1) n. 记数列{bn }的前 2n 项和为 T 2n , 则 T 2n =(2 +2 +…+2 )+(-1 +2-3+4-…+2n). 记 A=21 +22 +…+22n ,B=-1+2-3+4-…+2n, 则 A= 2(1-2 ) 2n +1 =2 -2, 1-2
2n

n

n

1

2

2n

B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn }的前 2n 项和 T 2n =A+B=22n +1 +n-2. 7? 13. ? ?-1,-8? 9.D 17.解:(1)由 an +2 =2an +1 -an +2,得 an +2 -an +1 =an +1 -an +2, 即 bn +1 =bn +2. 又 b1 =a2 -a1 =1, 所以{bn }是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)由(1)得 bn =1+2(n-1), 即 an +1 -an =2n-1.

于是 所以 an +1 -a1 =n2 , 即 an +1 =n2 +a1. 又 a1 =1,所以{an }的通项公式 an =n2 -2n+2. 5.A 17.解:(1)方程 x2 -5x+6=0 的两根为 2,3. 由题意得 a2 =2,a4 =3. 设数列{an }的公差为 d,则 a4 -a2 =2d, 1 3 故 d= ,从而得 a1 = . 2 2 1 所以{an }的通项公式为 an = n+1. 2
?a ? an n+2 (2)设? n n ?的前 n 项和为 Sn ,由(1) 知 n = n +1 , ?2 ? 2 2

n+ 1 n+ 2 3 4 则 Sn = 2 + 3 +…+ n + n +1 , 2 2 2 2 n+1 n+2 1 3 4 S = + +…+ n +1 + n +2 , 2 n 23 24 2 2 两式相减得

1 1 n+2 3 1 1 n+2 n+4 1 3 Sn = +? 3 +…+ n +1 ?- n +2 = + ?1- n -1 ?- n +2 ,所以 Sn =2- n +1 . 2 ? 2 2 4 ?2 4 4? 2 ? 2 2 19.解:(1)由题意知,(a1 +d) =a1 (a1 +3d), 即(a1 +2)2 =a1(a1 +6),解得 a1 =2. 故数列{an }的通项公式为 an =2n. (2)由题意知,bn =an(n+1)=n(n+1), 2 n 所以 T n =-1× 2+2× 3-3× 4+…+(-1) n× (n+1). 因为 bn +1 -bn =2(n+1), 所以当 n 为偶数时, T n =(-b1 +b2 )+(-b3 +b4 )+…+(-bn -1 +bn) =4+8+12+…+2n n (4+2n) 2 = 2 n(n+2) = , 2 当 n 为奇数时, T n =Tn -1 +(-bn) (n-1)(n+1) = -n(n+1) 2 (n+1)2 =- . 2 1) ,n为奇数, ?-(n+ 2 所以 T =? n(n+2) ? 2 ,n为偶数.
n 2 2

16.解: (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c =2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2s in B. ∵sin B=s in[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+s in C=2sin(A+C). (2)由题设有 b2 =ac ,c =2a, ∴b= 2a. 由余弦定理得 cos B= a2 +c 2 -b2 a2 +4a2 -2a2 3 = = . 2ac 4a2 4

19.解:(1)证明:由已知得,bn =2an >0, bn +1 当 n≥1 时, =2an +1 -an =2d . bn 故数列{bn }是首项为 2a1 ,公比为 2d 的等比数列. (2)函数 f(x)=2x 在点(a2 ,b2 )处的切线方程为 y-2a2 =(2a2 ln 2)(x-a2 ), 1 其在 x 轴上的截距为 a2 - . ln 2

由题意知,a2 -

1 1 =2- , ln 2 ln 2

解得 a2 =2, n 2 n 所以 d=a2 -a1 =1,an =n,bn =2 ,an bn =n· 4. 于是,Sn =1× 4+2× 42 +3× 43 +…+(n-1)× 4n -1 +n× 4n , 4Sn =1× 4 +2× 4 +…+(n-1)× 4 +n× 4 因此,Sn -4Sn =4+4 +…+4 -n· 4 (3n-1)4 所以,Sn = 9
n +1 2 n 2 3 n n +1



n +1

4n +1 -4 (1-3n)4n +1 -4 n +1 = -n· 4 = , 3 3

+4 .

19.解:(1)由题意知(2a1 +d)(3a1 +3d)=36, 将 a1 =1 代入上式解得 d=2 或 d=-5. 因为 d>0,所以 d=2. 从而 an =2n-1,Sn =n2(n∈N* ). (2)由(1)得 am+a m+1 +a m+2 +…+a m+k =(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由 m,k∈N* 知 2m+k-1≥k+1>1, 故?
? ?2m+k-1=13, ?k+1=5, ?

所以?

? ?m=5, ?k=4. ?

16.解:(1)因为{an }是首项 a1 =1,公差 d=2 的等差数列,所以 an =a1 +(n-1)d=2n-1. n(a1 +an ) n(1+2n-1) 2 故 Sn =1+3+…+(2n-1)= = =n . 2 2 (2)由(1)得 a4 =7,S4 =16. 因为 q2 -(a4 +1)q+S4 =0,即 q2 -8q+16=0, 所以(q-4)2 =0,从而 q=4. 又因为 b1 =2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, 所以 bn =b1 qn -1 =2× 4n -1 =22n -1 . b1 (1-q ) 2 n 从而{bn }的前 n 项和 T n = = (4 -1). 1- q 3 D3 1 4
n

12.

17.解:(1)设{an }的公比为 q,依题意得
? ? ?a1 q=3, ?a1 =1, ? 解得? 4 ?a1 q =81, ?q=3. ? ?

因此,an =3n -1 . (2)因为 bn =log3 an =n-1,

n(b1 +bn ) n -n 所以数列{bn }的前 n 项和 Sn = = 2 2 13.5 19.解:(1)设数列{an }的公差为 d, 依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d) =2(2+4d), 化简得 d2 -4d=0,解得 d=0 或 d=4, 当 d=0 时,an =2; 当 d=4 时,an =2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an }的通项公式为 an =2 或 an =4n-2. (2)当 an =2 时,Sn =2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+(4n-2)] 当 an =4n-2 时,Sn = =2n2 . 2 令 2n2 >60n+800,即 n2 -30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an =2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an =4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41. 7.4 3n2 -n 17.解:(1)由 Sn = ,得 a1 =S1 =1.当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =3n-2,a1 也符合上式, 2 所以数列{an }的通项公式为 an =3n-2. (2)证明:要使得 a1 ,an ,am 成等比数列,只需要 a 2 am,即(3n-2)2 =1· (3m-2),即 m= n =a1 · 2 * 3n -4n+2. 而此时 m∈N ,且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N* ,使得 a1 ,an ,am 成等比数列. 2(5x-2)(x-2) 2 18.解:(1)当 a=-4 时,由 f′(x)= =0 得 x= 或 x=2,由 f′(x)>0 得 5 x 2? x∈? ?0,5?或 x∈(2,+∞). 2? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,5?和(2,+∞). (10x+a)(2x+a) (2)因为 f′(x)= ,a<0, 2 x a a 所以由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2 a? a? ? a ? a ? 当 x∈? ?0,-10?时,f(x)单调递增;当 x∈?-10,- 2?时,f(x)单调递减;当 x∈?-2,+∞? 时,f(x)单调递增. 易知 f(x)=(2x+a)
2 2

2

a? x≥0,且 f? ?-2?=0.

a ①当- ≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2 =8,得 a 2 =± 2 2-2,均不符合题意. a a ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]时的最小值为 f? - ? =0,不符合题意. ? 2 2? a ③当- >4 时, 即 a<-8 时, f(x)在[1, 4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 时取得, 而 f(1)≠8, 2 由 f(4)=2(64+16a+a )=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去). 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 8.C [ 解 析 ] 设 等 比 数 列 {an } 的 首 项为 a , 公 比 为 q ,易 知 q≠1 , 根据 题 意 可 得
2 6 2 3 2

a(1-q ) ? ? 1-q =3, a(1-q ) a 解得 q =4, =-1,所以 S = =(-1)(1-4 )=63. ?a(1-q ) 1-q 1-q ? ? 1-q =15,
4 6

5.A [解析] 由题意,得 a2 ,a2 +4,a2 +12 成等比数列,即(a2 +4)2 =a2 (a2 +12),解得 a2 n(n-1) =4,即 a1 =2,所以 Sn =2n+ × 2=n(n+1). 2 19.解:(1)由题意知,(a1 +d) =a1 (a1 +3d), 即(a1 +2)2 =a1(a1 +6),解得 a1 =2. 故数列{an }的通项公式为 an =2n. (2)由题意知,bn =an(n+1)=n(n+1), 2 所以 T n =-1× 2+2× 3-3× 4+…+(-1)n n× (n+1). 因为 bn +1 -bn =2(n+1), 所以当 n 为偶数时, T n =(-b1 +b2 )+(-b3 +b4 )+…+(-bn -1 +bn) =4+8+12+…+2n n (4+2n) 2 = 2 n(n+2) = , 2 当 n 为奇数时, T n =Tn -1 +(-bn) (n-1)(n+1) = -n(n+1) 2 =- (n+1)2 . 2
2

所以 T n =

? ? n(n+2) ? 2 ,n为偶数.

(n+1) - ,n为奇数, 2

2

16.解: (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c =2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2s in B. ∵sin B=s in[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+s in C=2sin(A+C). 2 (2)由题设有 b =ac ,c =2a, ∴b= 2a. a +c -b a +4a -2a 3 由余弦定理得 cos B= = = . 2 2ac 4a 4 20.解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1 +x2· 2+x3· 22 ,xi ∈M,i=1,2, 3},可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明:由 s ,t∈A,s =a1 +a2 q+…+an qn -1 ,t=b1 +b2 q+…+bn qn -1 ,ai ,bi ∈M,i=1, 2,…,n 及 an <bn ,可得 s -t=(a1 -b1)+(a2 -b2 )q+…+(an -1 -bn -1 )qn -2 +(an -bn )qn -1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-qn -1 (q-1)(1-q = 1-q =-1<0, 所以 s<t. 16.解:(1)因为{an }是首项 a1 =1,公差 d=2 的等差数列,所以 an =a1 +(n-1)d=2n-1. n(a1 +an ) n(1+2n-1) 故 Sn =1+3+…+(2n-1)= = =n2 . 2 2 2 2 (2)由(1)得 a4 =7,S4 =16. 因为 q -(a4 +1)q+S4 =0,即 q -8q+16=0, 所以(q-4)2 =0,从而 q=4. 又因为 b1 =2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, 所以 bn =b1 qn -1 =2× 4n -1 =22n -1 . b1 (1-qn ) 2 n 从而{bn }的前 n 项和 T n = = (4 -1). 1- q 3 D4 15.解:(1)设等差数列{an }的公差为 d,由题意得 a4 -a1 12-3 d= = =3. 3 3 所以 an =a1 +(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn -an }的公比为 q,由题意得 q=
3 n -1 2 2 2 2 2 2



-qn -1

b4 -a4 20-12 = =8,解得 q=2. b1 -a1 4-3

所以 bn -an =(b1 -a1 )q
n -1

n -1

=2

n -1

.

从而 bn =3n+2 (n=1,2,…). (2)由(1)知 bn =3n+2n -1(n=1,2,…). 1-2 3 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2n -1 }的前 n 项和为 1× =2n -1, 2 1-2 3 所以,数列{bn }的前 n 项和为 n(n+1)+2n -1. 2 16. 解:(1)当 n=1 时,a1 =S1 =1; n2 +n (n-1)2 +(n-1) 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 = - =n. 2 2 故数列{an }的通项公式为 an =n. (2)由(1)知, bn =2 +(-1) n. 记数列{bn }的前 2n 项和为 T 2n , 则 T 2n =(2 +2 +…+2 )+(-1 +2-3+4-…+2n). 记 A=21 +22 +…+22n ,B=-1+2-3+4-…+2n, 则 A= 2(1-22n ) 2n +1 =2 -2, 1-2
n n 1 2 2n n

B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn }的前 2n 项和 T 2n =A+B=22n +1 +n-2. 17.解:(1)方程 x2 -5x+6=0 的两根为 2,3. 由题意得 a2 =2,a4 =3. 设数列{an }的公差为 d,则 a4 -a2 =2d, 1 3 故 d= ,从而得 a1 = . 2 2 1 所以{an }的通项公式为 an = n+1. 2
?an ? an n+2 (2)设? n ?的前 n 项和为 Sn ,由(1)知 n = n +1 , ?2 ? 2 2

n+ 1 n+ 2 3 4 则 Sn = 2 + 3 +…+ n + n +1 , 2 2 2 2 n+1 n+2 1 3 4 S = + +…+ n +1 + n +2 , 2 n 23 24 2 2 两式相减得 1 1 ? n+2 3 1? 1 ? n+2 n+4 1 3 S n = +? 3 +…+ n +1 - n +2 = + 1- n -1 - n +2 ,所以 Sn =2- n +1 . ? ? ? ? 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 19.解:(1)由题意知,(a1 +d) =a1 (a1 +3d), 即(a1 +2)2 =a1(a1 +6),解得 a1 =2. 故数列{an }的通项公式为 an =2n. (2)由题意知,bn =an(n+1)=n(n+1), 2 所以 T n =-1× 2+2× 3-3× 4+…+(-1)n n× (n+1). 因为 bn +1 -bn =2(n+1),
2

所以当 n 为偶数时, T n =(-b1 +b2 )+(-b3 +b4 )+…+(-bn -1 +bn) =4+8+12+…+2n n (4+2n) 2 = 2 n(n+2) = , 2 当 n 为奇数时, T n =Tn -1 +(-bn) (n-1)(n+1) = -n(n+1) 2 (n+1)2 =- . 2 1) ,n为奇数, ?-(n+ 2 所以 T =? n(n+2) ? 2 ,n为偶数.
n 2

D5 an +1 an an +1 an ?a ? a 18.解: (1)证明:由已知可得 = +1,即 - =1,所以 ? n ?是以 1 =1 为首项,1 ?n? n+1 n n+1 n 1 为公差的等差数列. an 2 (2)由(1)得 =1+(n-1)· 1=n,所以 an =n , n 从而可得 bn =n· 3n . Sn =1× 31 +2× 32 +…+(n-1)× 3n -1 +n× 3n ,① 2 3 n n +1 3Sn =1× 3 +2× 3 +…+(n-1)3 +n× 3 .② ①-②得-2Sn =3 +3 +…+3 -n· 3 (2n-1)· 3n +1 +3 所以 Sn = . 4 19.解:(1)设数列{an }的公差为 d, 依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2 =2(2+4d), 化简得 d -4d=0,解得 d=0 或 d=4, 当 d=0 时,an =2; 当 d=4 时,an =2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an }的通项公式为 an =2 或 an =4n-2. (2)当 an =2 时,Sn =2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+(4n-2)] 2 当 an =4n-2 时,Sn = =2n . 2
2 1 2 n n +1

3· (1-3n ) (1-2n)· 3n +1 -3 n +1 = -n· 3 = , 1-3 2

令 2n >60n+800,即 n -30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an =2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an =4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41. 20.解: (1)证明:由已知,当 n≥1 时,an +1 =Sn +1 -Sn =2n +1 -2n =2n . 于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m=n+1,使得 Sn =2 =am, 所以{an }是“H 数列”. (2)由已知得,S2 =2a1 +d=2+d. 因为{an }是“H 数列”,所以存在正整数 m,使得 S2 =am,即 2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1. 因为 d<0,所以 m-2<0,故 m=1,从而 d=-1. 当 d=-1 时,an =2-n,Sn = 总存在正整数 m=2-Sn =2- d 的值为-1. (3)证明:设等差数列{an }的公差为 d,则 an =a1 +(n-1)d=na1 +(n-1)(d-a1)(n∈N ). 令 bn =na1 ,c n =(n-1)(d-a1 ),则 an =bn +c n(n∈N* ). 下证{bn }是“H 数列”. n(n+1) * 设{bn }的前 n 项和为 T n ,则 T n = a1 (n∈N ).于是对任意的正整数 n,总存在正整 2 n(n+1) 数 m= ,使得 T n =bm,所以{bn }是“H 数列”. 2 同理可证{c n}也是“H 数列”. 所以对任意的等差数列{an },总存在两个“H 数列”{bn }和{cn },使得 an =bn +c n (n∈N* )成立. 3n2 -n 17.解:(1)由 Sn = ,得 a1 =S1 =1.当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =3n-2,a1 也符合上式, 2 所以数列{an }的通项公式为 an =3n-2. (2)证明:要使得 a1 ,an ,am 成等比数列,只需要 a 2 am,即(3n-2)2 =1· (3m-2),即 m= n =a1 · 3n -4n+2. 而此时 m∈N ,且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N* ,使得 a1 ,an ,am 成等比数列. 2(5x-2)(x-2) 2 18.解:(1)当 a=-4 时,由 f′(x)= =0 得 x= 或 x=2,由 f′(x)>0 得 5 x 2? x∈? ?0,5?或 x∈(2,+∞). 2? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,5?和(2,+∞). (10x+a)(2x+a) (2)因为 f′(x)= ,a<0, 2 x a a 所以由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2
2 * * n

2

2

n(3-n) * 是小于 2 的整数,n∈N . 于是对任意的正整数 n, 2

n(3-n) ,使得 Sn =2-m=am,所以{an }是“H 数列”,因此 2

a a a a 当 x∈?0,- ?时,f(x)单调递增; 当 x∈?- ,- ?时,f(x)单调递减;当 x∈?- ,+∞? ? ? 10 ? 2 ? 10? 2? 时,f(x)单调递增. a? 易知 f(x)=(2x+a)2 x≥0,且 f? ?-2?=0. a ①当- ≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2 =8,得 a 2 =± 2 2-2,均不符合题意. a a? ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]时的最小值为 f? ?-2 ?=0,不符合题意. 2 a ③当- >4 时, 即 a<-8 时, f(x)在[1, 4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 时取得, 而 f(1)≠8, 2 由 f(4)=2(64+16a+a )=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去). 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 19.解:(1)证明:由已知得,bn =2an >0, bn +1 当 n≥1 时, =2an +1 -an =2d . bn d 故数列{bn }是首项为 2a1 ,公比为 2 的等比数列. (2)函数 f(x)=2x 在点(a2 ,b2 )处的切线方程为 y-2a2 =(2a2 ln 2)(x-a2 ), 1 其在 x 轴上的截距为 a2 - . ln 2 由题意知,a2 - 1 1 =2- , ln 2 ln 2
2

解得 a2 =2, 所以 d=a2 -a1 =1,an =n,bn =2n ,an b2 4n . n =n· 于是,Sn =1× 4+2× 42 +3× 43 +…+(n-1)× 4n -1 +n× 4n , 2 3 n n +1 4Sn =1× 4 +2× 4 +…+(n-1)× 4 +n× 4 , 4n +1 -4 (1-3n)4n +1 -4 因此,Sn -4Sn =4+42 +…+4n -n· 4n +1 = -n· 4n +1 = , 3 3 (3n-1)4n +1 +4 所以,Sn = . 9


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