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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 理

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1. sin α (2)商数关系: =tan α . cos α 2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ +α (k∈Z) π +α -α

/>2 2

图示

与角 α 终边的 关系 角 π -α π -α 2 π +α 2 相同 关于原点对称 关于 x 轴对称

图示

与角 α 终边的 关系 3.六组诱导公式 组数 角 正弦 一 2kπ + α (k∈Z) sin_α 二 π +α -sin_α 三 -α - 四 π -α sin_α 五 π -α 2 cos_α 六 π +α 2 cos_α 关于 y 轴对称 对称

1

sin_α 余弦 cos_α -cos_α cos_α - tan_α -cos_α sin_α - sin_α

正切

tan_α

tan_α

-tan_α 函数名改变符号看 象限

口诀 【思考辨析】

函数名不变符号看象限

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)若 α ,β 为锐角,则 sin α +cos β =1.( ? ) sin α (2)若 α ∈R,则 tan α = 恒成立.( ? ) cos α (3)sin(π +α )=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( ? ) (4)六组诱导公式中的角 α 可以是定义域内的任意角.( √ ) π (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶 2 数倍,变与不变指函数名称的变化.( √ )
2 2

5 1.(教材改编)已知 α 是第二象限角,sin α = ,则 cos α =________. 13 12 答案 - 13 5 解析 ∵sin α = ,α 是第二象限角, 13 12 2 ∴cos α =- 1-sin α =- . 13 1+sin x 1 cos x 2.已知 =- ,那么 的值是________. cos x 2 sin x-1 答案 1 2
2

1+sin x sin x-1 sin x-1 解析 由于 ? = =-1, 2 cos x cos x cos x 故 cos x 1 = . sin x-1 2

1 π 3.已知 sin(π -α )=log8 ,且 α ∈(- ,0),则 tan(2π -α )的值为________. 4 2
2

答案

2 5 5

1 2 解析 sin(π -α )=sin α =log8 =- , 4 3 π 5 2 又 α ∈(- ,0),得 cos α = 1-sin α = , 2 3 sin α 2 5 tan(2π -α )=tan(-α )=-tan α =- = . cos α 5 2π ? ?π ? 2 ? 4.已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?=________. 3 ? ?6 ? 3 ? 2 答案 - 3 2π ? π ?π ? ? 解析 ∵? -α ?+?α - ?=- , 3 ? 2 ?6 ? ? 2π π ?π ? ∴α - =- -? -α ?, 3 2 ?6 ? 2π ? ? π ?π ?? ? ∴sin?α - ?=sin?- -? -α ?? 3 ? ?? ? ? 2 ?6 2 ?π ?π ?? ?π ? =-sin? +? -α ??=-cos? -α ?=- . 6 6 2 3 ? ?? ? ? ? π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 5.已知函数 f(x)=? ? ?x-16,x>2 000, 答案 -1 解析 ∵f(f(2 016))=f(2 016-16)=f(2 000), 2 000π 2 ∴f(2 000)=2cos =2cos π =-1. 3 3

则 f(f(2 016))=________.

题型一 同角三角函数关系式的应用 例 1 (1)已知 tan θ =2,则 sin θ +sin θ cos θ -2cos θ =________. 1 5π 3π (2)已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值为________. 8 4 2 4 3 答案 (1) (2) 5 2
2 2

3

解析 (1)由于 tan θ =2,则 sin θ +sin θ cos θ -2cos θ = sin θ +sin θ cos θ -2cos θ 2 2 sin θ +cos θ
2 2 2

2

2

sin θ sin θ cos θ + -2 2 2 cos θ cos θ = 2 sin θ +1 2 cos θ = tan θ +tan θ -2 2 +2-2 4 = 2 = . 2 tan θ +1 2 +1 5
2 2

5π 3π (2)∵ <α < , 4 2 ∴cos α <0,sin α <0 且 cos α >sin α , ∴cos α -sin α >0. 1 3 2 又(cos α -sin α ) =1-2sin α cos α =1-2? = , 8 4 ∴cos α -sin α = 3 . 2

sin α 2 2 思维升华 (1)利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 = cos α tan α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用: 对于 sin α +cos α , sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α , 可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用: 1=sin α +cos α , sin α =1-cos α , cos α =1-sin α . 已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =________. 答案 -1
2 2 2 2 2 2 2

?sin α -cos α = 2, 解析 由? 2 ?sin α +cos2α =1,
消去 sin α 得:2cos α +2 2cos α +1=0, 即( 2cos α +1) =0, ∴cos α =- 2 . 2
2 2

又 α ∈(0,π ), 3π ∴α = , 4 3π ∴tan α =tan =-1. 4 题型二 诱导公式的应用
4

π? 1 7π ? ? ? 例 2 (1)已知 sin?α + ?= ,则 cos?α + ?的值为________. 12? 3 12 ? ? ? sin?kπ +α ? cos?kπ +α ? (2)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是__________. sin α cos α 1 答案 (1)- 3 (2){2,-2}

π? π? 7π ? ?? ? 解析 (1)cos?α + ?=cos??α + ?+ ? 12? 2 ? 12 ? ? ?? π? 1 ? =-sin?α + ?=- . 12? 3 ? sin α cos α (2)∵当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α 当 k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α ∴A 的值构成的集合是{2,-2}. 思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角. π π ②角中含有加减 的整数倍时,用公式去掉 的整数倍. 2 2 (2)常见的互余和互补的角 π π π π π π ①常见的互余的角: -α 与 +α ; +α 与 -α ; +α 与 -α 等. 3 6 3 6 4 4 π 2π π 3π ②常见的互补的角: +θ 与 -θ ; +θ 与 -θ 等. 3 3 4 4

?π ? 1 (1)已知 sin? -α ?= , ?3 ? 2
则 cos?

?π +α ?6

?=________. ? ?

(2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=________. 1 答案 (1) (2)1 2

?π ? ?π ? π 解析 (1)∵? -α ?+? +α ?= , ?3 ? ?6 ? 2 ?π ?π ?? ?π ? ∴cos? +α ?=cos? -? -α ?? 6 ?? ? ? ?2 ?3 ?π ? 1 =sin? -α ?= . 3 ? ? 2
(2)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°

5

=-sin(3?360°+120°)cos(3?360°+210°)-cos(2?360°+300°)sin(2?360°+ 330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)?sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° = 3 3 1 1 ? + ? =1. 2 2 2 2

题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3 (1)已知 α 为锐角, 且有 2tan(π -α )-3cos( +β )-1=0,则 sin α =________. (2) 已 知 sin α 是 方 程 5x - 7x - 6 = 0 的 根 , α
2

π +β )+5=0, tan(π +α )+6sin(π 2

是第三象限角,则

3 3 sin?-α - π ?cos? π -α ? 2 2 π π cos? -α ?sin? +α ? 2 2

?tan (π

2



α )



___________________________________________. 3 10 9 答案 (1) (2)- 10 16 π 解析 (1)2tan(π -α )-3cos( +β )+5=0 化简为 2 -2tan α +3sin β +5=0,① tan(π +α )+6sin(π +β )-1=0 化简为 tan α -6sin β -1=0.② 由①②消去 sin β , 解得 tan α =3. 又 α 为锐角,根据 sin α +cos α =1, 3 10 解得 sin α = . 10 3 2 (2)∵方程 5x -7x-6=0 的根为- 或 2, 5 3 又 α 是第三象限角,∴sin α =- , 5 4 2 ∴cos α =- 1-sin α =- , 5
2 2

6

3 - 5 3 sin α ∴tan α = = = , cos α 4 4 - 5 cos α ?-sin α ? 9 2 2 ∴原式= ?tan α =-tan α =- . sin α ?cos α 16 思维升华 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求: (1)基本思路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最 简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低, 结构尽可能简单,能求值的要求出值. (1) 已 知 sin(3π + α ) = lg 1 3 10 ,则 cos?π +α ? + cos α [cos?π -α ?-1]

cos?α -2π ? =________. cos α cos?π -α ?+cos?α -2π ? (2)已知 sin(π -α )-cos(π +a)= 4 答案 (1)18 (2) 3 解析 (1)由于 sin(3π +α )=-sin α ,lg 1 1 =- ,得 sin α = . 3 3 3 10 1 2 ?π ? ? <α <π ?,则 sin α -cos α =________. 3 ?2 ?

-cos α cos α 所以原式= + 2 cos α ?-cos α -1? -cos α +cos α = 1 1 2 + = =18. 2 1+cos α 1-cos α sin α 2 , 3

(2)由 sin(π -α )-cos(π +α )= 得 sin α +cos α = 2 ①, 3

2 将①两边平方得 1+2sin α cos α = , 9 7 故 2sin α cos α =- , 9

? 7? 16 2 所以(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1-?- ?= . ? 9? 9
π 又 <α <π , 2 所以 sin α >0,cos α <0,sin α -cos α >0,

7

4 则 sin α -cos α = . 3

7.分类讨论思想在三角函数中的应用

? 5π sin? +α 2 5 ? 2 典例 (1)已知 sin α = ,则 tan(α +π )+ 5 ? 5π cos? -α ? 2

? ? ? =________. ? ? ?

(2)在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B),则 C= ________. 思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行 讨论. 2 5 解析 (1)∵sin α = >0, 5 ∴α 为第一或第二象限角.

?5π ? sin? +α ? cos α ? 2 ? tan(α +π )+ =tan α + sin α ?5π ? cos? -α ? ? 2 ?
= sin α cos α 1 + = . cos α sin α sin α cos α
2

①当 α 是第一象限角时,cos α = 1-sin α = 1 5 原式= = . sin α cos α 2

5 , 5

②当 α 是第二象限角时,cos α =- 1-sin α =- 1 5 原式= =- . sin α cos α 2 5 5 综上①②,原式= 或- . 2 2 ① ?sin A= 2sin B, (2)由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ② ① +② 得 2cos A=1,即 cos A=± 当 cos A= 2 3 时,cos B= , 2 2
2 2 2

2

5 , 5

2 , 2

8

又 A、B 是三角形的内角, π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π -(A+B)= π . 4 6 12 当 cos A=- 2 3 时,cos B=- . 2 2

又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A= π ,B= π ,不合题意. 4 6 7 综上,C= π . 12 5 5 7 答案 (1) 或- (2) π 2 2 12 温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中, 体现了分类讨论思想, 即使讨论的某种情 况不合题意,也不能省略讨论的步骤; (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用.

[方法与技巧] 同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响, 尤其是利用平方关系在求三角 函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角函数求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法: sin x 2 主要利用公式 tan x= 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ ±cos θ ) cos x =1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ = cos θ (1+tan θ )=sin θ ?1+
2 2 2 2 2

? ?

1 ? π 2 ?=tan 4 =?;(4)运用相关角的互补、互余等特殊关 tan θ ?

系可简化解题步骤. [失误与防范] 1. 利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤: 去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.

9

A 组 专项基础训练

(时间:30 分钟) 1 ? π ? 1.若 cos α = ,α ∈?- ,0?,则 tan α =________. 3 ? 2 ? 答案 -2 2

? π ? 解析 ∵α ∈?- ,0? ? 2 ?
∴sin α =- 1-cos α =- sin α ∴tan α = =-2 2. cos α
2 π? 2sin x+sin 2x 1?π 2.已知 = ? <x< ?,则 sin x-cos x=________. 2? 1+tan x 2? 4 2

1 2 2 1-? ? =- 2, 3 3

答案

2 2
2

2sin x+2sin xcos x 解析 原式= sin x 1+ cos x = 2sin xcos x?sin x+cos x? 1 =2sin xcos x= , sin x+cos x 2

π π 由于 <x< ,此时 sin x>cos x, 4 2 所以 sin x-cos x>0, 故 sin x-cos x= 1-2sin xcos x= 3.若角 α 的终边落在第三象限,则 答案 -3 解析 由角 α 的终边落在第三象限,得 sin α <0,cos α <0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α | |sin α | -cos α -sin α π 4.已知 2tan α ?sin α =3,- <α <0,则 sin α =________. 2 答案 - 3 2
2

1 2 1- = . 2 2 cos α
2

1-sin α



2sin α 1-cos α
2

的值为________.

2sin α 解析 由 2tan α ?sin α =3,得 =3, cos α
10

即 2cos α +3cos α -2=0, π 又- <α <0, 2 1 3 解得 cos α = (cos α =-2 舍去),故 sin α =- . 2 2 5 .已知函数 f(x) = asin(π x + α ) + bcos(π x + β ) ,且 f(4) = 3 ,则 f(2 017) 的值为 ________. 答案 -3 解析 ∵f(4)=asin(4π +α )+bcos(4π +β ) =asin α +bcos β =3, ∴f(2 017)=asin(2 017π +α )+bcos(2 017π +β ) =asin(π +α )+bcos(π +β ) =-asin α -bcos β =-3. π 3 π 6.已知 α 为钝角,sin( +α )= ,则 sin( -α )=_________. 4 4 4 答案 - 7 4

2

π 7 解析 因为 α 为钝角,所以 cos( +α )=- , 4 4 π π π π 7 所以 sin( -α )=cos[ -( -α )]=cos( +α )=- . 4 2 4 4 4 sin ?α +π ??cos?π +α ??cos?-α -2π ? 7.化简: =________. π 3 tan?π +α ??sin ? +α ??sin?-α -2π ? 2 答案 1 sin α ??-cos α ??cos α sin α cos α 解析 原式= = =1. 3 2 2 tan α ?cos α ??-sin α ? sin α cos α
2 2 2 2

?π ? ?5π ? ? 2π ? 8.已知 cos? -θ ?=a,则 cos? +θ ?+sin? -θ ?的值是________. 6 6 ? ? ? ? ? 3 ?
答案 0 解析 ∵cos?

?5π +θ ?=cos?π -?π -θ ?? ? ? ?6 ?? ? 6 ? ? ? ??

?π ? =-cos? -θ ?=-a. ?6 ?
sin?

?2π -θ ? 3

π ?=sin?π +? -θ ? ?2 ? ?6 ? ?

??=cos?π -θ ?? ?6 ?? ?

? = a, ? ?
11

∴cos?

?5π +θ ?+sin?2π -θ ?=0. ? ? 3 ? ? 6 ? ? ?
1+tan α +sin α ?
2

9.已知 α 为第二象限角,则 cos α 答案 0 解析 原式=cos α =cos α =cos α =0. 10.已知 sin(3π +α )=2sin? sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α . 解 由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α sin α +sin α 8 = = . 1 5 2 2 sin α + sin α 4
2 2 2 2

1+

1 =________. 2 tan α

sin α 1+ +sin α 2 cos α 1 2 sin α

2

cos α 1+ 2 sin α

2

1 +sin α 2 cos α 1 1 +sin α -cos α sin α

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?

B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π 11.已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ),|θ |< ,则 θ =________. 2 答案 π 3

解析 ∵sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ), ∴-sin θ =- 3cos θ , ∴tan θ = 3. π ∵|θ |< , 2 π ∴θ = . 3
12

12.若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cos B-sin A,sin B-cos A)在第______ 象限. 答案 二 π 解析 ∵△ABC 是锐角三角形,则 A+B> , 2 π π ∴A> -B>0,B> -A>0, 2 2

?π ? ∴sin A>sin? -B?=cos B, ?2 ?
sin B>sin?

?π -A?=cos A, ? ?2 ?

∴cos B-sin A<0,sin B-cos A>0, ∴点 P 在第二象限. 13.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x. 当 0≤x < π 时, f(x) = 0 ,则

f?

?23π ?=________. ? ? 6 ?
1 2

答案

解析 由已知,得 f?

?23π ?=f?17π ?+sin 17π ? ? ? 6 ? 6 ? ?6 ?

11 17 ?11 ? =f? π ?+sin π +sin π 6 6 ?6 ? 5 11 17 ?5 ? =f? π ?+sin π +sin π +sin π 6 6 6 ?6 ? 1 ? 1? 1 1 =0+ +?- ?+ = . 2 ? 2? 2 2 14.已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2x-y=0 上,则 3π sin? +θ ?+cos?π -θ ? 2 =________. π sin? -θ ?-sin?π -θ ? 2 答案 2 解析 由题意可得 tan θ =2, -cos θ -cos θ -2 原式= = =2. cos θ -sin θ 1-tan θ cos ?nπ +x??sin ?nπ -x? 15.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π -x] (1)化简 f(x)的表达式;
2 2

13

π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007 解 (1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,

f(x)=
2

cos ?2kπ +x??sin ?2kπ -x? 2 cos [?2?2k+1?π -x]
2

2

2

cos x?sin ?-x? = 2 cos ?π -x? = cos x??-sin x? 2 ?-cos x?
2 2 2

=sin x; 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,

f(x)=
2

cos [?2k+1?π +x]?sin [?2k+1?π -x] 2 cos {[2??2k+1?+1]π -x}
2

2

2

= =

cos [2kπ +?π +x?]?sin [2kπ +?π -x?] 2 cos [2??2k+1?π +?π -x?] cos ?π +x??sin ?π -x? 2 cos ?π -x?
2 2 2 2

?-cos x? sin x = 2 ?-cos x? =sin x, 综上得 f(x)=sin x. π 503π (2)由(1)得 f( )+f( ) 2 014 1 007 =sin =sin =sin
2 2 2

π 21 006π +sin 2 014 2 014 π π 2 π +sin ( - ) 2 014 2 2 014 π 2 π +cos =1. 2 014 2 014

2

2

14


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