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高中数学选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(2)2013.12.25


高中新课程数学选修2-1

3.2立体几何中的向量方法
高二数学 第三章 空间向量与立体几何

立体几何中的向量方法(二)

(空间角问题)

立体几何要解决的主要问题是空间图形的形 状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间

的夹角问题是立体几何研究的重 要问题. 上一节,我们认识了直线的方向向量及平面 的法向量的概念,发现可以利用这两个向量的运 算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平 行、垂直、夹角等问题.

空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题 提供了一种重要的工具和方法,解题时,可用 定量的计算代替定性的分析,从而避免了一些 繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何 的一类重要的问题,也是高考的热点之一。本 节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间 角问题。

? ? 1.若a ? (a1 , a2 , a3 ),b ? (b1 , b2 , b3 ), 则: ? ? ? ? ? ? 数量积: a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? a , b ?
? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
? ? ? ? 夹角公式: ? a ? b ? ? ?a ? b? cos | a |?|b |
? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32

复习回顾:

2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ),则:

??? ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

题型一:线线角

? ?? 异面直线所成角的范围: ? ? ? 0, ? ? 2? 思考: C D

?

A ?
B

D1

??? ??? ? ? ? CD, AB ? 与?的关系? ???? ??? ? ? DC , AB ? 与?的关系?

结论: cos?

?

??? ??? ? ? | cos ? CD, AB ?|

题型一:线线角

例一:Rt? ABC中,?BCA ? 900 , 现将? ABC沿着

平面ABC的法向量平移到?A1 B1C1位置,已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1

取 BC ? CA ? CC1, A1B1、A1C1的中点D1、F1,

B1
D1

A1

C

A

B

1 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2 ???? ???? ? 1 1 1 所以:AF1 ? (? , 0,1), BD1 ? ( , ? ,1) A 1 2 2? ???? ???? 2

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz z 如图所示,设 CC1 ? 1 则: C

F1

1

B1

C

D1

???? ???? ? AF1 ?BD1 cos ? AF1 , BD1 ? ? ???? ???? ? | AF1 || BD1 | 1
? ?1 30 ? 4 ? 10 5 3 4 2

A x
30 10

By

所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为

练习: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, = 5,AD ? 8, AB
A1D ? AN . 求证:A1D ? AM .

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2,点N 在线段A1D上,

略证:
???? ? ???? ? AM ? (5, 2, 4), A1D ? (0,8, ?4), ???? ???? ? ? AM ?A1D=0 ? A1D ? AM .

z
A1 B1 M

N

D1 C1

A(0, 0, 0), A1 (0,0, 4), D(0,8, 0), M (5, 2, 4)

A B
C

D

y

x

题型二:线面角 直线与平面所成角的范围: ? ? [0, ] 2 ? A n 思考:

?

?

B

?

O

? ??? ? ? n, BA ? 与?的关系?

结论: sin ?

?|

? ??? ? cos ? n, AB ?

|

例二:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB= 5,AD ? 8,

AA1 ? 4, M 为BC1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上,
A1D ? AN . (1)求证:A1D ? AM .
(2)求AD与平面ANM 所成的角.
A1 B1 M 略解:(第1问前面已证明) A A(0, 0, 0), A (0,0, 4), D(0,8, 0),

z
N
C1

D1

???? ???? ? AD ? (0,8, 0), A1D ? (0,8, ?4),

1

D
C

y

???? ???? ? 2 sin ? = cos ? AD, A1D ??

5 5

x

B

2 5 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 5

题型三:二面角

二面角的范围:
?

? ? [0, ? ]
?

?
?

?? n1? ??
n2

?? ? n2
?

?? n1

?

cos? ?

?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|

cos? ?

?? ?? ? ? | cos ? n1 , n2 ?|

关键:观察二面角的范围

例三 如图所示,ABCD是一直角梯形,?ABC=900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与 2 面SBA所成二面角的余弦值.

z
S

B

C

x

A

D

y

例三

如图所示, ABCD是一直角梯形,?ABC=900 ,

1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值.

z

y ? x? ?? ? ? ? 2 ?? 任取n2 ? (1, 2,1) ?z ? y ? ? ? ?? ?? 2 ?? ?? ? n1 ?n2 6 6 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 即所求二面角得余弦值是 | n1 || n2 | 3 3

解: 建立空直角坐系A - xyz如所示, 1 B - 1, , A ( 0, , C ( 1, 0) D (0, , 0), S (0, 0,1) 0, 0) C ? ????2 1 易知面SBA的法向量n1 ? AD ? (0, , 0) 2 ??? ? ??? ? A 1 1 D y x CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 ?? ??? ?? ??? ? ? ? ? ??2 ? 设平面SCD的法向量n2 ? ( x, y, z), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y ? ?x ? 2 ? 0 ? ? ?y?z?0 ?2 ?

S

练习: 如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
分析: 若用几何法本题不太好处 理,注意到适当建立空间直角坐 标系后各点坐标容易处理,可考 虑尝试用向量法处理,从而把问 x 题转化为向量运算问题.

z
y

.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解:建立坐标系如图,

z

则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), ??? ? ??? ? ??? ? ? x ???

y

AP =(0,0,1), AB ? ( 2,1,0), CB ? ( 2,0,0), ? ? (0, ?1,1) , ?? ???CP ?? ? m ? AP ? 0 ? 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),则 ? ?? ??? ? ? m ? AB ? 0 ? ?? ? ( x , y , z ) ? (0, 0,1) ? 0 ? y ? ? 2x ? ? ∴? ∴? ,令 x=1,则 m =(1, ? 2, 0) ,
? ??? ? ? ? n ? CB ? 0 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x ?, y?, z ? ) , 则 ? ? ??? ? ? ? n ? CP ? 0 ? ? ? ? ? ? x? ? 0 ?
? ( x , y , z ) ? ( 2,1, 0) ? 0 ? ? ? z?0

3 3 ? ? m?n ∴cos ? m , n? ? ? ? ? ,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 | m || n | 3 3

?( x , y , z ) ? ( 2,0,0) ? 0 ∴? 令 y? ? ?1, n ? (0, ?1, ?1) ? ?( x?, y?, z ? ) ? (0, ?1,1) ? 0 ? y? ? z? ? ? ?

练习: 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D是AC的中点, 当 AB1 ? BC1时,求二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值.
C1 B1

A1

C D A

B

练习: 解:如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设 底面三角形的边长为a,侧棱长为b 则 C(0,0,0), A( 3 a , 1 a , 0), B(0, a, 0), C1 (0, 0, b),
2 2 B1 (0, a , b ), D( 3 a , 1 a , 0) 4? ???? ? 3 1 4 ???? 故 AB1 ? ( ? a , a , b), BC1 ? (0, ? a , b ), 2 2 ???? ???? 1 2 2 ? ? 由于AB1 ? BC1 ,所以AB1 ? BC1 ? ? a ? b ? 0

C1

z A1

B1

2 a ∴ b? 2 ∵ ?CC1 B 在坐标平面yoz中

2

C x D A

B

y

? ∴ 可取 n =(1,0,0)为面 CC1 B 的法向量

?? 设面 C1 BD 的一个法向量为 m ? ( x , y, z ) ?? 6 2 2 可求出一个 m ? ( . ,? ,1) ∴所求的余弦值为 2 2 2

小结1:
当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向 量(或坐标)来处理(三步曲):

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题 转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助);

(化为向量问题或向量的坐标问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位 置关系以及它们之间距离和夹角等问题;

(进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义. (回到图形)

小结2:
1.异面直线所成角: ??? ??? ? ? cos ? |cos ? CD, AB ?|

C

D
D1

?

?

A ?
B
?

A
O

2.直线与平面所成角: ? ??? ? sin ? | cos ? n, AB ? |

? n

?

?
?

B
?? ? n2
?

?? ?? ? n? cos ? ? | cos ? n1 , ?? ?| ?? 2 cos ? ? ? | cos ? n1 , n2 ?|
关键:观察二面角的范围

3.二面角:

?? n1

?

今日作业:

训练与测评P23
1-9题 (第10题不做)


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