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高中三角函数的典型例题和详解【非常经典】


授课目的与考点分析:

三角函数式是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求 值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化 我们的解题效果,做到事半功倍
1.

求函数 y 解

? sin
2

2

x ? sin x cos( x ? sin x (cos
3 2

?
6

? x)

的周期和单调增区间.
?
6
3 4 ( 1 ? cos 2 x ) ? 3 4 sin 2 x

y ? sin
3 2

?
6

cos x ? sin

sin x )

?

sin

2

x ?

sin x cos x ?

?

3 4

? (

3 4

sin 2 x ?

3 4

cos 2 x ) ?

3 4

?

3 2

sin( 2 x ?

?
3

)



∴ 函数的周期 当
2k? ?

T ?

2? 2

? ? ?

. ,即
k? ? 5? 12

?
2

≤2x

?

?
3

≤ 2k?
5? 12

?
2

≤x≤ k ?

?

?
12

(k∈Z) 时函数单调增加,

即函数的增区间是 [ k ?

?

, k?

?

?
12

] (k∈Z).
2

2.

已知函数 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

x ?

5 2

3

(Ⅱ)求 f(x)的递增区间.
2

解: (Ⅰ)? f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos

x ?

5 2

3

? ?

5 2 5 2

sin 2 x ? 5 sin 2 x ? 5

3

1 ? cos 2 x 2

?

5 2

3

3 cos 2 x

? 5 (sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?
3

)

? 5 sin( 2 x ?

?
3

)

∴最小正周期 T=

2? 2

? ?

(Ⅱ)由题意,解不等式 ? 得
?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2 k?

?
12

? k? ? x ?

5? 12

? k? ? k? , 5? 12

(k ? Z ) ? k ? ]( k ? Z )

? f ( x ) 的递增区间是 [ ?

?
12

3.

已知函数 f ( x ) ?

3 ? 2 cos

2

x ? 8 sin

4

x

, 求 f ( x ) 的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.

cos 2 x 3 ? 2 (1 ? sin
2

解: f ( x ) ?
(1 ? 4 sin
2

x ) ? 8 sin

4

x

?

1 ? 2 sin

2

x ? 8 sin

4

x

cos 2 x

cos 2 x

?

x )( 1 ? 2 sin

2

x)

? 4 sin

2

x ? 1. k? 2 k? 2 ? ?

(4分 )

cos 2 x 由 cos 2 x ? 0 , 得 2 x ? k ? ? 所以函数的定义域为

?
2

, 解得 x ?

?
4

,k ? z , k ? z }.( 7 分 ) .( 9 分 )

{x | x ? R,且 x ?

?
4

因为 f ( x )的定义域关于原点对称
k? 2 ? f ( x )的值域为

, 且 f ( ? x ) ? f ( x ), ? f ( x ) 是偶函数

又 ? f ( x ) ? 4 sin

2

x ? 1, 且 x ?

?

?
4

,k ? z (12 分 )

{ y | 1 ? y ? 5 , 且 y ? 3 }.

四、本次课后作业:

五、学生对于本次课的评价:
○特别满意 ○满意 ○一般 ○差

六、教师评定
1.学生上次作业评价: ○好 ○较好 ○一般 2.学生本次上课情况评价: ○好 ○较好 ○一般 ○差 ○差

学生签字:

龙文学校教务处签字:


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