当前位置:首页 >> 数学 >> 选修1-2第二章推理与证明讲义

选修1-2第二章推理与证明讲义


第二章推理与证明讲义
2.1 合情推理与演绎推理
学习目标:
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理; 2.了解演绎推理的含义,掌握演绎推理的基本模式,能利用“三段论”进行简单的推理.

重点:用归纳和类比进行推理,做出猜想;用“三段论”证明问题. 难点:用归纳和类比进行合情推理,做出猜想。 学习策略:
①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势 ②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例,经过分析、 概括、 发现规律的归纳, 还是由两系统的已知属性, 通过比较、 联想而发现未知属性的类比, 它们的共同点是,结论往往超出前提所控制的范围,所以它们是“开拓型”或“发散型”的 思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围,前提也就无力保证结论必真,所以归纳类 比都是或然性推理. ③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中,所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法. 只要前提真实,逻辑形式正确,结论必然是真实的.

知识要点梳理 知识点一:推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫
做推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一 部分是由已知推出的判断,叫做结论. 知识点二:合情推理根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验和 实践的结果、个人的经验和直觉等,经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某 些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。 1.归纳推理 (1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳) 。 (2)一般模式:部分 整体,个体 一般 (3)一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质; ②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题; ③检验猜想. (4)归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始,提出有规律性的猜想; 一般地,归 纳的个别情况越多,就越具有代表性,推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是 部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的 联系不是必然的,而是或然的,所以归纳推理所得的结论不一定是正确的. 2.类比推理 (1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). (2)一般模式:特殊 特殊 (3)类比的原则:可以从不同的角度选择类比对象,但类比的原则是根据当前问题的需要, 选择恰当的类比对象. (4)一般步骤:
1

①找出两类对象之间的相似性或一致性; ②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,得出一个明确的命题(猜想) ; ③检验猜想. (5)类比推理的结论可真可假 类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象, 同时又应是两类不同的对象; 一般情况下, 如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质越相关,那么类比得出的命题就越可靠. 类比结论具有或然性,所以类比推理所得的结论不一定是正确的。

知识点三:演绎推理
(1)定义:从一般性的原理出发,按照严格的逻辑法则,推出某个特殊情况下的结论的推 理,叫做演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)一般模式: “三段论”是演绎推理的一般模式,常用的一种格式 ① 大前提——已知的一般原理; ② 小前提——所研究的特殊情况; ③ 结论——根据一般原理,对特殊情况作出的结论. (3)用集合的观点理解“三段论” 若集合 的所有元素都具有性质 , 是 的子集,那么 中所有元素都具有性质

(4)演绎推理的结论一定正确 演绎推理是一个必然性的推理,因而只要大前提、小前提及推理形式正确,那么结论一定是 正确的,它是完全可靠的推理。

规律方法指导 合情推理与演绎推理的区别与联系
(1)从推理模式看: ①归纳推理是由特殊到一般的推理. ②类比推理是由特殊到特殊的推理. ③演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理的结论看: ①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。 (3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物的过 程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。合情推理的结论需要演绎 推理的验证, 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的; 演绎推理可以验证合情推理的 正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

经典例题透析 类型一:归纳推理
1.用推理的形式表示数列 的前 项和 的归纳过程.

举一反三:【变式 1】用推理的形式表示等差数列 1,3,5,?,(2 -1),?的前 项 和 的归纳过程. ,计算 验证猜想的结论是否正确.
2

【变式 2】设 归纳结果所具有的性质,并用

的值,同时

2.平面内的 1 条直线把平面分成 2 部分,2 条相交直线把平面分成 4 部分,3 条相交 但不共点的直线把平面分成 7 部分,n 条彼此相交而无三条共点的直线,把平面分成多少部 分? 举一反三:【变式 1】图(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图形

(1)数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们将平面各分成了多少个区域? (2)推断一个平面图形的顶点数 ,边数 ,区域数 之间的关系.

类型二:类比推理
3.在三角形中有下面的性质: (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的中位线等于第三边的一半,且平行于第三边; (3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心;

(4)三角形的面积 半径). 请类比写出四面体的有关性质.

,(

为三角形的三边长, 为三角形的内切圆

类型三:演绎推理
4.已知:在空间四边形 ∥平面 中, 、 分别为 、 的中点,用三段论证明:

例4 变式 2 举一反三:【变式 1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题: 证明:因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,????大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形,??????????小前提 所以菱形是正多边形.??????????????????结论 (1)上面的推理形式正确吗?(2)推理的结论正确吗?为什么? 【变式 2】如图 2-1-8 所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求 证:ED=AF.
3

2.2 直接证明与间接证明
目标认知 学习目标:
1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法,了解间接 证明的一种基本方法:反证法; 2.了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.

重点:
根据问题的特点,结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点,选择适当的证明方法或 把不同的证明方法结合使用. 难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用. 学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位, 是解决数学问题的重要思想方法。 当所证命题的结论与所给条件间联系不明确, 常常采用分析法证明; 当所证的命题与相应定 义、定理、公理有直接联系时,常常采用综合法证明.在解决问题时,常常把分析法和综合 法结合起来使用。反证法解题的实质是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确。在否定结 论时,其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题” ,带有“至少有一个” 或“至多有一个”等字样的数学问题.

知识要点梳理 知识点一:直接证明
1、综合法 (1)定义:一般地,从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. (2)综合法的的基本思路:执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已 知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发,通过推导得出结论. (3)综合法的思维框图:用 公理等, 表示已知条件, 为定义、定理、

表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:

(已知) (逐步推导结论成立的必要条件) (结论) 2、分析法 (1)定义:一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找 使命题成立的充分条件, 直至所寻求的充分条件显然成立 (已知条件、 定理、 定义、 公理等) , 或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法. (2)分析法的基本思路:执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证 明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. (3)分析法的思维框图:用 理 等 , 表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定

所 要 证 明 的 结 论 , 则 用 分 析 法 证 明 可 用 框 图 表 示 为 :

(结论) (逐步寻找使结论成立的充分条件) (已知)
4

(4)分析法的格式:要证??,只需证??,只需证??,因为??成立,所以原不等式 得证。

知识点二:间接证明
反证法 (1)定义:一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公 理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明 显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的 证明方法叫做反证法. (2)反证法的特点:反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立,即 结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、 定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题 的结论一定是正确的. (3)反证法的基本思路: “假设——矛盾——肯定” ①分清命题的条件和结论. ②做出与命题结论相矛盾的假设. ③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果. ④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明 原命题为真. (4)用反证法证明命题“若 则 ” ,它的全部过程和逻辑根据可以表示为:

(5)反证法的优点:对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.

规律方法指导 1.用反证法证明数学命题的一般步骤:
①反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真; ②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; ③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.

2.适合使用反证法的数学问题:
①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;比如“存在 性问题、唯一性问题”等; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或 很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.

5

经典例题透析类型一:综合法
1.如图,设在四面体 求证: 垂直于 中, , , 是 的中点.

所在的平面.

举一反三: 【变式 1 在锐角三角形 ABC 中,求证:

类型二:分析法
2.求证: 举一反三: 【变式 1】求证:

类型三:反证法
3。设函数 对任意 举一反三: 【变式 1】已知: ,求证 都有 在 . 内都有 ,且 恒成立,求证:

6


更多相关文档:

高二数学选修1-2第二章 推理与证明小测

高二数学选修1-2第二章 推理与证明小测_数学_高中教育_教育专区。高二数学选修1-2第二章 推理与证明小测 高二数学选修 1-2 第二章 推理与证明小测班别 ...

选修1-2第二章推理与证明限时训练_图文

选修1-2第二章推理与证明限时训练_军事/政治_人文社科_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档选修1-2第二章推理与证明限时训练_军事/政治_人文社科_专业...

...A版选修1-2)同步练习:第二章 第二章 推理与证明

高中数学(人教A版选修1-2)同步练习:第二章 第二章 推理与证明_数学_高中教育_教育专区。高中数学(人教A版选修1-2)同步练习:第二章 第二章 推理与证明 ...

选修1-2第二章推理与证明

选修1-2 第二章推理与证明》单元测试题一. 选择题: 1.下列推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角...

选修1-2第三章推理与证明

选修1-2第章推理与证明_数学_高中教育_教育专区。鄱阳二中 2015-2016 学年...以上都有可能 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把...

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课...

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课时)课堂探究新人教A版选修1-2讲义_高考_高中教育_教育专区。高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明...

选修1-2第二章 推理与证明

选修1-2第二章 推理与证明_数学_高中教育_教育专区。第二章 推理与证明 [知识盘点] 一.合情推理 1.推理的概念:根据 得出一个新结论,这种思维方式叫做推理.推...

高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课堂探究新人教...

高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课堂探究新人教B版选修1-2讲义_高考_高中教育_教育专区。高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理课堂探究 新人教...

高中数学第二章推理与证明B章末测试新人教B版选修1-2讲义

高中数学第二章推理与证明B章末测试新人教B版选修1-2讲义_高考_高中教育_教育专区。高中数学 第二章 推理与证明 B 章末测试 新人教 B 版选修 1-2 (高考...

数学选修1-2_第二章推理与证明学案

数学选修1-2_第二章推理与证明学案 隐藏>> § 2.1.1 合情推理(1) 1、 观察下列等式:1+3=4= 2 , 1+3+5=9= 3 , 1+3+5+7=16= 4 , 1+3+...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com