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2013海淀高一第二学期期中数学试题及答案



海淀区高一年级第二学期期中练习


学校 班级


2013.04

姓名

成绩

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) sin 45 cos15 ? cos 45 sin15 ? ( )

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)1 ( (D) 17 ( (D) 1 ) )

(2)数列 ?an ? 中, a1 = 1 , an?1 ? an ? 2(n ? N*) ,那么 a8 的值是 (A) - 14 (B) 15 (C) - 15

(3) 等比数列 {an } 中,a3 ? ?1 , 那么 a1a2 a3a4 a5 的值是 (A) - 4 (B) - 5 (C) - 1

(4)在△ ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c . 若 的大小是

a 2 - (b - c)2 = 1 ,则 ? A bc
( )

π π π 2π (B) (C) (D) 6 4 3 3 (5)在△ ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则△ ABC 的形状是
(A) (A)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形





(D)直角三角形 )

(6) 等差数列 {an }的前 n 项和为 Sn , 已知 S9 < 0, S11 > 0 , 那么下列结论正确的是 ( (A) S9 ? S10 <0 (B) S10 +S11 >0 (C)数列 {an }是递增数列,且前 9 项的和最小 (D)数列 {an }是递增数列,且前 5 项的和最小

(7)如图,为了测量河对岸 A, B 两点间的距离,某课外小组的同学在岸边选取 C , D 两点, 测得 CD = 200m , ? ADC

105 , ? BDC
1/8

15 , ? BCD

120 , ? ACD

30 ,则

A, B 两点间的距离是(
(A) 200 2 m (C)100 6 m


A

(B) 200 3 m (D)100 (1 ? 3) m

B

C D

B, C 所对的边分别为 a , b, c ? 6, (8) 在 ?ABC 中, 角A, 记 b = f (a) , c , ?B ? 30? ,
若 函 数 g ( a) = f ( a) - k ( k 是 常 数 ) 只 有 一 个 零 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ( ) (A) {k 0 < k ? 3或k (C) {k k ? 6}

6}

(B) {k 3 #k

6} 3}

(D) {k k ? 6或k

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. (9)已知 sin ? ?

1 ,则 cos 2? =______________. 2
,此数列的第 7 项是______________.

(10)已知等比数列 1, a, b, - 8,

(11)公差不为零的等差数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? a4 ,则

a5 ? a4

.

B, C 所对的边分别为 a , A = 30 , b, (12) 在△ ABC 中, 角A, 如果 a = 2, c = 2 3 , c,
那么△ ABC 的面积等于 .

( 13 ) 数 列 {an } 的 前 n 项 和 是 Sn . 若 2Sn = nan + 2(n 澄2, n

N*) , a2 = 2 , 则

a1 =

; an =

.

( 14 )将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成 数列

a11, a21, a 22, a 31 , a 32 , . 若所得数列构成一个等差数列,且 a11 ? 2 , a33 ? 12 ,则
①数阵中的数 aii 可用 i 表示为_____________; ②若 amn ? a( m?1)( n?1) ? a( m?2)( n?2) ,则 m+n 的值为____________.

a11 a21 a22 a31 a32 a33 a41 a42 a43 a44

2/8

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题共 11 分) 已知函数 f ( x) =

3 sin x cos x + cos 2 x -

1 . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调 区间; .. (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [-

5 1 π, π] 上的最大值和最小值. 12 24

(16)(本小题共 11 分) 已知等差数列 {an }的前 10 项和 S10 = - 40 , a5 = - 3 . (Ⅰ)求数列 {an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn = an + 2
an

(n

N* ) ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn .

(17)(本小题共 11 分)

C 所对应的边分别为 a , b ,c , 在 ?ABC 中, 角 A ,B , 且 (2a ? c) c o s B ? bc o s C.
(Ⅰ)求角 B 的大小; B =

π 3
π , CD ? 1 ,求 c 的值. 6

(Ⅱ)若点 D 为 BC 边的中点, ?CAD ?

(18)(本小题共 11 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . 已知 an+ 1 + (- 1)n an = 2n - 1( n (Ⅰ)若 a1 ? 1 ,求 a2,a3,a4 ; (Ⅱ)若 a1 ? a ( a 为常数) ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 Tn ?

Ν*) .

S4n ? 55 (n ? N*) ,求数列 ?Tn ? 的最大项. 5 2 (n ? ) 2

3/8

海淀区高一年级第二学期期中练习 数 学 2013.04
(6) D (7) A ( 8) D

参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) A (2) B (3) C (4) C (5) D

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)

1 2

(10)64

(11)

3 2

(12) 2 3 或 3

(13) 1 , ? í

ì 1, n = 1, ? ? ? ? 2n - 2, n 2.

(14) i 2 ? i ,5

注: (12)题给出一个正确答案给3分,共4分; (13) , (14)题每空2分. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ) f ( x) =

3 sin x cos x + cos 2 x -

1 2
…………………………………2 分

=

3 1 sin 2 x + cos 2 x 2 2

π ) …………………………………3 分 6 π π π ? 2x ? 2kπ 由 2kπ (k ? Z) 得 2 6 2 π π kπ - #x kπ + (k ? Z) . 3 6 π π 3π ? 2kπ 由 2kπ + ? 2 x (k ? Z) 得 2 6 2 π 2π kπ + #x kπ + …………………………………6 分 (k ? Z) . 6 3 π π , kπ + ](k Z) ; 单 调 递 减 区 间 为 所 以 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [kπ 3 6 π 2π [kπ + , kπ + ] (k Z ) . 6 3 5 1 π #x π, (Ⅱ)因为 12 24 = sin(2 x +

4/8

所以 -

2 π ? 2x 3

π 6

π . 4

…………………………………8 分

所以 当 2 x +

π π π π π 2 = ,即 x = 时, f ( x ) 取得最大值 ;当 2 x + = ,即 6 4 24 6 2 2
…………………………………11 分

x= -

π 时, f ( x ) 取得最小值 - 1 . 3

(16) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an }的公差为 d . 因为 a5 = - 3 , S10 = - 40 ,

ì a1 + 4d = - 3, ? ? 所以 ? í 10? 9 ? 10a1 + d = - 40. ? ? 2 ?
解得: a1 = 5, d = - 2 . 所以 an = 7 - 2n . 另解:因为 a5 = - 3 , S10 = - 40 , 所以 S10 =

…………………………………3 分

…………………………………6 分

(a1 + a10 ) ? 10 2

5(a5 + a6 ) = 5(- 3 + a6 ) = - 40 .
…………………………………3 分

所以 a6 = - 5 . 所以 an = a5 + (n - 5)? ( 2) = 7 - 2n . …………………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,等差数列 {an }的首项是 5,公差是-2. 所以 Tn = b1 + b2 +

+ bn = a1 + a2 +
+ 25 (1- 2- 2 n ) 1- 2- 2

+ an + 25 + 23 +

+ 27- 2n

=

(5 + 7 - 2n) n
2

…………………………………10 分

= 6n - n 2 +

128 - 27- 2 n . 3

…………………………………11 分

(17) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ) 因为

a b c = = , sin A sin B sin C
5/8

所以

a sin A c sin C = , = . b sin B b sin B

…………………………………1 分

因为 (2a ? c) cos B ? b cosC ,

sin A sin C ) cos B = cos C . sin B sin B 所以 2sin A cos B - sin C cos B = sin B cos C .
所以 (2 所以 2sin A cos B = sin( B + C ) = sin A . 因为 A ? (0, π) , 所以 sin A ? 0 . 所以 cos B = …………………………………3 分

1 . 2

…………………………………4 分

因为 B ? (0, π) , 所以 B =

π . 3

…………………………………5 分

方法二: 因为 (2a ? c) cos B ? b cosC ,

所以 (2a - c)
2 2

a 2 + c 2 - b2 a 2 + b2 - c 2 =b . 2ac 2ab
2

…………………………………2 分

所以 a + c - b = ca . 所以 cos B =

…………………………………3 分

a 2 + c 2 - b2 1 = . 2ac 2

…………………………………4 分

因为 B ? (0, π) , 所以 B =

π . 3

…………………………………5 分

(Ⅱ)在 ?ACD, ?ABD 中,

CD AD BD AD = , = . sin 行 CAD sin C sin BAD sin B
…………………………………6 分

由(Ⅰ)知: B =

π . 3
π , 6

因为 点 D 为 BC 边的中点, ?CAD ?

6/8

所以

1 sin π 6

=

AD 1 AD . , = sin C sin( π - C ) sin π 2 3
3 . 2
…………………………………8 分

所以 sin 2C = 因为 C ? (0, ) , 所以 C = 当C =

π 2

π π 或C = . 3 6

…………………………………9 分

π 时, ?ABC 为等边三角形,由 CD ? 1 可得: AB = 2CD = 2 ; 3
…………………………………10 分

π 时 , ? BAD 6 A B= B D = CD = 1. 所以 c = 2 或 c = 1 .
当C=

π π π - = , 所 以 ?ABD 为 等 边 三 角 形 , 由 CD ? 1 可 得 : 2 6 3
…………………………………11 分

(18) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)因为 an+ 1 + (- 1)n an = 2n - 1(n 所以 a2 ? 2,a3 ? 1,a4 ? 6 . (Ⅱ)因为 an+ 1 + (- 1)n an = 2n - 1, 所以 a2n+ 1 + a2n = 4n - 1, a2n - a2n- 1 = 4n - 3 . 两式相减得 a2n+ 1 + a2n- 1 = 2 . 所以 a3 = 2 - a1 , a2n+ 3 + a2 n+ 1 = 2 , 所以 a2n+ 3 = a2n- 1 (n ? Ν*) . 当 n = 2k (k

Ν*) , a1 ? 1 ,
…………………………………2 分

Ν*) 时, a4k + 3 = a4k- 1 = Ν*) 时, a4k + 1 = a4k- 3 =

= a3 = 2 - a1 ; = a1 .

当 n = 2k - 1(k

由已知可得 a4k - 1 + a4k- 2 = 8k - 5, a4k - a4k- 1 = 8k - 3 (k ? Ν*) . 所以 a4k- 2 = 8k - 5 - a4k - 1 = 8k - 7 + a1 ,

a4k = 8k - 3 + a4k - 1 = 8k - 1- a1 .

7/8

因为 a1 = a ,

ì a, ? ? ? ? 2n - 3 + a, 所以 an = ? í ? 2 - a, ? ? ? ? ? 2n - 1- a,

n= n= n= n=

4k - 3, 4k - 2, (k 4k - 1, 4k

Ν*) . …………………………………7 分

(Ⅲ)设 bn ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4 n?1 ? a4 n (n ? Ν*) ,则 S4n ? b1 ? b2 ? 类似(Ⅱ)可得 bn ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?1 ? a4n =16n ? 6 . 所以

? bn .

?bn ? 为首项为 10,公差为 16 的等差数列.
S4n ? 55 (n ? N*) , 5 2 (n ? ) 2

所以 S4n ? 8n2 ? 2n. 因为 Tn ?

8n 2 ? 2n ? 55 42 ? ?8. 所以 Tn ? 5 5 (n ? ) 2 n? 2 2
所以 T1 ? ?20, T3 ? 92 . 因为 函数 f ( x) =

5 5 42 + 8 的单调递减区间是 (- ? , ), ( , 5 2 2 x2

),

所以 数列 ?Tn ? 的最大项是 92 .

…………………………………11 分

8/8


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