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高中数学培优专题讲座之二 数列求和的方法


高中数学培优专题讲座二:数列求和的常用方法
1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,
特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.; ③ 常 用 公 式 : 1? 2 ? 3 ? , n ? 1 ?n ( n ? 1 ) 12 ? 22 ? 2

n(n ? 1) 2 ]. 2 例 1:数列{an}的通项 an ? 2n ? 31 ,求数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn 13 ? 23 ? 33 ? ? n3 ? [

? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 6

2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一
起,再运用公式法求和.

例2、已知数列{an}的通项公式是: a n ? n(n ? 1)(2n ? 1) ,试求数列{an}的前n项和 Sn

3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推
导方法).

例 3、已知 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______ 2 2 3 4 1? x

4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那
么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 ?1? 1 ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ③ ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)




1 ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? k ) k n n ? k
1 ? n ?1 ? n n ? n ?1



例 5、求和:

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)



练习: 1、设 f ( x) ?
1 2 3 1000 ,那么和式 f ( )? f ( )? f ( ) ?? + f ( ) 的值等于: ___ 1001 1001 1001 1001 4 ?2
x

4x

2、求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

3、求和: S n ?

1 1 1 ? . +?+ 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n(n ? 1)(n ? 2)

4、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (1 ? ) an ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 n

n ?1 2n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和。

5、数列 ?an ? 的通项 a n ? n 2 (cos (1)求 Sn ; (2)令 bn ?

2

n? n? ? sin ) ,其前 n 项和为 Sn 3 3
2

s3n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn n ? 4n

2 6、正项数列 ?an ? 的前项和 Sn 满足: Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

7、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

8、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N ,且 a1 , a2 ? 5, a3
*

成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 3 ? ? ??? ? ? . a1 a2 an 2

2 9、已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ?

S S ?1 an 2 ? an ?12 ;(2) 求证: n ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? n ?1 4 2 2

10、.在数列 ?an ? 中,已知 an ? n2 ,求证:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 5 ? an 3


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