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浙江省浙北名校联盟2014届高三上学期期中联考数学(文)试题


浙江省浙北名校联盟 2014 届高三上学期期中联考 数学文试题

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题 给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? { x || x |? 2}, B ? { y | y ? 2 x ? 1} ,则 A ? B ? A. [2,??) C. (??,

?2] ? [2,??) 2.若 z ?
z 3 1 ? i ,则 ? | z |? 2 2 z
1 3 ? i 2 2

B. (1,??) D. (-?,-2] ? (1,??)

A. C.

B.

1 3 ? i 2 2 1 3 ? i 2 2
2 2 3 1
2 3

1 3 ? i 2 2

D. -

3.已知 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a 3 ? 2a 2 ”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不 充分也不必要条件

2 3

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 4 C. 8 B. 4 3 D. 8 3

第4题

5.已知两个不重合的平面 ?,? 和两条不同直线 m, n ,则下列说法正确的是 A. 若 m ? n, n ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? B. 若 ? // ? , n ? ? , m ? ? , 则 m // n C. 若 m ? n, n ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? D. 若 ? // ? , n ? ? , m // ? , 则 m // n 6.若 x, y, z ? {0,1,2,3} ,满足 x ? y ? z ? 3 的解中 x 的值为 0 的 概率是 A. C.
1 5 3 5

B. D.

2 5 1 2

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c , sinC ? sin(A ? B) ? 3 sin2B .若 C ?

?
3

,



a ? b

A. C.

1 2 1 或3 2

B. 3 D. 3 或

1 4

8.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在区间 [1,??) 上单调递减,并且函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数, 则下列不等式关系成立的是
1 3 A. f ( ) ? f ( ) ? f (-1) 4 2 3 1 C. f (-1) ? f ( ) ? f ( ) 2 4 3 1 B. f ( ) ? f (-1) ? f ( ) 2 4 1 3 D. f (-1) ? f ( ) ? f ( ) 4 2

9.已知 | a |? 2,b |? 3 , ? a , b? ? 60? , (a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 ,则 | c | 的最小值是 | A. C.
19 - 7 2 13 - 7 2

B. D.

19 2 13 2

10.已知关于 x 的不等式 e x x ? a ? x 在 x ? R 上恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. a ? 0 C. a ? ln2 B. a ? 0 D. a ? ln2
开始

第Ⅱ卷
二、填 空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.设函数 f ( x ) ? x ?
1

k=1,S=0

k>16? 否 S=S+k



.若 f ( m ) ?

x 12.按照如图的程序框图执行,输出的结果是__ ▲__.

3 ,则 m ? __ ▲__. 2

输出S

? x ? y ? 1 ? 0, ? 13. 设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 , 则 z ? 5 x ? y 的最大 ? 3 x ? y ? 1 ? 0. ?

k=2k

结束

第 12 题

值为__ ▲__. 14.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 及直线 l : 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则圆心 C 到直线 l 距离为__ ▲__. 15.过双曲线
x2 a2 ? y2 b2

作与实轴平行的直线, 交两渐近线 M 、 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点 P ,

N 两点,若 PM ? PN ? 2b 2 ,则该双曲线的离心率为__ ▲__.

16.若正数 a, b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a 2 ? b 2 ?

1 的最大值为__ ▲__. ab

2 ? 7 ? ? x ? 2ax, x ? 1, 17.已知实数 a ? 0 , f ( x ) ? ? 方程 f ( x ) ? a 2 有且仅有两个不等实根, 且 16 ?log3 x , x ? 1, ?

较大的实根大于 3,则实数 a 的取值范围__ ▲__. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? si n?x si n( x ? ?

?
6

)?

? . 4
(I) 求 f ( x ) 在区间 [

3 (? ? 0) ,且其图象的相邻对称轴间的距离为 4

11? 9? , ] 上的值域; 12 8

(II)在锐角 ?ABC 中,若 f ( A ?

?
8

)?

1 , a ? 1, b ? c ? 2, 求 ?ABC 的面积. 2

19.(本题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? ?a n ? 21?n ? 2 , bn ? 2 n a n . (Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)若 c n ?
2n ? 1 a n ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn . n

20.(本题满分 14 分) 如图三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC , ?ABC 是等边三角形. (Ⅰ)求证: PB ? AC ; (Ⅱ)若二面角 P ? AC ? B 的大小为 45? ,求 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值.
P
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

C

A

B

21.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a( x ? (Ⅰ)当 0 ? a ?

1 1 ) ? ? 1(a ? R ) . x x

1 时,试讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 (Ⅱ)设 g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 ,当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0,2] ,存在 x 2 ? [2,3] ,使 3 f ( x1 ) ? g( x 2 ) ,求实数 b 取值范围.

22. (本题满分 15 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 上有一点 Q( 2, y 0 )
2

y

A
D

5 到焦点 F 的距离为 . 2

M
x

(Ⅰ)求 p 及 y 0 的值.

B

(Ⅱ )如图,设直线 y ? kx ? b 与抛物线交于两点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,且 | y1 ? y 2 |? 2 , 过弦 AB 的中点 M 作垂直于 y 轴的直线与抛物线交于点 D ,连接 AD, BD .试判断

?ABD 的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由.

2013 年第一学期联盟学校高三期中联考 数学(文科)试卷

参考答案与评分意见(2013.11)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) DADCB BCDAB 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.4 15.
6 2

12.31 16. ?
15 2

13.5 17. (
4 7 ,4 ] 7

14.

9 5

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.(本题满分 14 分) 解: (I) f ( x ) ? sin?x(

3 1 3 sin?x ? cos ?x ) ? 2 2 4

?

3 1 3 sin2 ?x ? sin?x cos ?x ? 2 2 4 3 1 3 (1 ? cos 2 x ) ? sin 2?x ? 4 4 4 1 3 sin 2?x ? cos 2?x 4 4
…………2 分

?

?

?


1 ? sin(2?x ? ) 2 3

…………3

由条件知, T ?

?
2

,又 T ?

2? , 2?
…………4 分

?? ? 2 ? f ( x) ?
11? 9? , ], 12 8

1 ? sin(4 x ? ) . 2 3

? x ?[

? 4x ?

?
3

?[

10? 25? ? 1 , ] , sin(4 x ? ) ? [?1, ] , 3 6 3 2
1 1 2 4
…………7 分

? f ( x ) 的值域是 [? , ] .
(II)由 f ( A ?

?
8

)?

? 1 ,得 A ? , 2 3

…………9 分

由 a ? 1, b ? c ? 2 及余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得

bc ? 1 ,
? ?ABC 的面积 S ?
19.(本题满分 14 分) 解: (I) S n ? ?a n ? 21?n ? 2 , 当 n ? 1 时, S1 ? ?a1 ? 1 ? 2 , a1 ?
1 , 2

…………12 分

1 3 . bc sin A ? 2 4

…………14 分

…………1 分 …………2 分

当 n ? 2 时, S n?1 ? ?a n?1 ? 2 2? n ? 2 ,
? a n ? S n ? S n?1 ? ?a n ? a n?1 ? 21? n , ? 2a n ? a n?1 ? 2 1? n , ? bn ? bn?1 ? 2 n a n ? 2 n?1 a n?1 ? 2 n?1 ( 2a n ? a n?1 ) ? 1 ,又 b1 ? 2a1 ? 1 ,
? {bn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

…………4 分

…………7 分 … ………8 分 …………9 分

(II) bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ,

an ?

n 2n



cn ? Tn ? 3 ?

n?1 1 a n ? (2n ? 1) n . n 2 1 1 1 1 1 ? 5 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) n?1 ? (2n ? 1) n ,① 2 2 2 2 2


1 1 1 1 1 Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) n ? (2n ? 1) n?1 , 2 2 2 2 2
[来源:学§ 网 Z§ X§ 科§ X§ K]

…………11 分

①-②得

1 1 1 1 1 1 Tn ? 3 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? n ? (2n ? 1) n?1 , 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 3 2 1 2 Tn ? ? ? ( 2n ? 1) n ? 1 1 2 2 2 1? 2

?

5 1 2n ? 1 ? ? n?1 , 2 2 n ?1 2 2n ? 5 2n
.

…………13 分 …………14 分

?Tn ? 5 ?
源:Z。xx。k.Com]

[来

20.(本题满分 14 分) 解: (I)取 AC 的中点 D ,连接 PD, BD .
源:Z#xx#k.Com]

…………2 分

[来

? ?PAC , ?ABC 是等边三角形, ? AC ? PD, AC ? BD ,
又 PD ? BD ? D ,
? AC ? 面 PBD , ? AC ? PB

…………4 分

…………6

分 (II)由(I)及条件知, 二面角 P ? AC ? B 的平面角为 ?PDB ? 45? , 过点 P 作 PE ? BD ,由(I)知 AC ? 面 PBD ,
? AC ? PE ,

…………8 分

又 AC ? BD ? D , …………10 分 …………11 分

? PE ? 面 ABC ,

??PAE 为 PA 与平面 ABC 所成角,
令 AC ? 2 ,则 PA ? 2, PD ? 3 ,
PE ? PD ? sin?PDB ? 6 , 2

6 PE 6 . ? sin?PAE ? ? 2 PA 2 4
21.(本题满分 15 分) 解: (I) f ' ( x ) ? =

…………14 分

1 a 1 ?a? 2 ? 2 x x x 2 ? ax ? x ? a ? 1
x
2

??

( x ? 1)(ax ? a ? 1) x2

( x ? 0)

…………3 分

1 ? 当 a ? 0 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递增; 2? 当 a ?
1 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递减; 2 1 1? a 时, ?1, a 2

…………4 分 …………5 分

3? 当 0 ? a ?

x ? (0,1] 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 上单调递减;
x ? (1, x?( 1? a 1? a ] 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ] 上单调递增; a a

1? a 1? a ,??) 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( ,??) 上单调递减. a a

…………7 分

(II)若对任意 x1 ? (0,2] ,存在 x 2 ? [2,3] ,使 f ( x1 ) ? g( x 2 ) 成立, 只需 f min ( x ) ? g min ( x ) 由(I)知,当 a ?
? f min ( x ) ? f (1) ?

…………9 分

1 时, f ( x ) 在 ( 0,1] 单调递减,在 (1,2] 单调递增. 3
4 , 3

…………11 分

法一:
g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 ,对称轴 x ?

b , 2

1? 当 2? 当

b 4 7 ? 2 ,即 b ? 4 时, g min ( x ) ? g( 2) ? ,得: ? b ? 4 ; 3 2 3 b 4 ? 3 ,即 b ? 6 时, g min ( x ) ? g( 3) ? ,得: b ? 6 ; 3 2 b b 4 ? 3 ,即 4 ? b ? 6 时, g min ( x ) ? g( ) ? ,得: 4 ? b ? 6 . 2 3 2 7 . 3

3? 当 2 ?

…………14 分 …………15 分

综上:b ? 法二:

参变量分离: b ? x ?

2 , 3x

…………13 分

令 h( x ) ? x ?

2 ,只需 b ? hmin ( x ) ,可知 h( x ) 在 [2,3] 上单调递增, 3x 7 7 ,b ? . 3 3

hmin ( x ) ? h( 2) ?

…………15 分

22.(本题满分 15 分) 解: (I)焦点 (

p ,0) , 2

…………1 分

2?

p 5 ? , p ? 1. 2 2

…………3 分 …………5 分

? y 2 ? 2 x ,代入 Q( 2, y 0 ) ,得 y 0 ? ?2

? y ? kx ? b (II)联立 ? 2 ,得: ? y ? 2x
k 2 x 2 ? 2( kb ? 1) x ? b 2 ? 0( k ? 0) ,? ? 0, 即 1 ? 2kb ? 0 ,

…………6 分 …………8 分

x1 ? x 2 ?

2(1 ? kb) k2

, x1 x 2 ?

b2 k2

.

| y1 ? y 2 | 2 ? k 2 | x1 ? x 2 | 2 ? k 2 [( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] =

4(1 ? 2kb) k2

?4,

? 1 ? 2kb ? k 2 ,

…………11 分

1 , ), 2k k 1 1 1 ? 2kb 1 | ?2 ? . ? ?ABC 的面积 S ? | MD | ? | y1 ? y 2 |? ? | 2 2 2 2 2k
M(

1 ? kb 1 , ), k2 k

D(

1

2

…………13 分 …………15 分

注:其他解法可参考给分.


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