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更高更妙的物理:专题17 静电场:原理与方法


专题 17 静电场:原理与方法 在这个专题里, 我们探讨有关静电场的一些重要原理以及场强、 电势和电荷分布等问题 的处理方法。 相对于观察者静止的电荷所产生的电场被我们称为静电场, 静电场最重要的外观表现一 是对进入电场的任何带电体都产生力的作用;一是当带电体在电场中移动时,电场力做功, 说明静电场具有能量。电荷守恒定律、库仑定律、高斯定理、场叠加原理、唯一性原理都是 反映静电场

这两大表现所具性质的基本规律。 在摩擦起电、接触起电、感应起电或其他方法使物体带电的过程中,正、负电荷总是同 时出现且量值一定相等,当两种等量异种电荷相遇发生中和时,物体不再带电,即一种电荷 消失时必然有相等量值的异种电荷同时消失。实验证明:对一个孤立系统,电荷可在系统各 部分之间迁移, 但其总量保持不变—原来为零的始终为零, 原来为某一量 Q 的, 则始终为 Q , 此即电荷守恒定律,是物理学中的基本定律之一。在静电场中,它与电场具有能量并遵从能 量守恒是相承相容的。许多静力学问题都须依据这一原理来解决。 【例 1】一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷,板在每次与球接触后又从起电机上 带电至电量为 Q 。如果球在第一次与板接触后带电量为 q ,求球可获得的最大电量。 【分析与解】球在第一次与板接触后获得的电量为 q ,说明有量值为 q 的正电荷从板上转移 到球上,由电荷守恒可知,此时板上电量为 (Q ? q ) ,即球与板这一系统中的总电量是按

q 的比例分配到球上与板上的。那么,当多次操作直至最终板上电量又一次为 Q 但不 Q?q 能向与之接触的球迁移时(此时两者等电势) ,球上的电量达到最大,若设为 qmax ,则应有 qmax q qQ ? ,故可求得球可获得的最大电量 qmax ? 。 Q?q Q Q?q
点电荷间的库仑定律, 是静电学的基本定律, 库仑定律给出点电荷间相互作用力与距离 平方成反比,它的内涵是很丰富的,它导致静电场是“有源场”—即我们熟悉的电场线总是 从正电荷(源头)出发、到负电荷(尾间)终止的结果;它导致静电平衡的导体电荷分布在 外表面而内部场强为零;它可以导出下面将做介绍的揭示静电场场强分布规律的高斯定理。 库仑力与万有引力均为平方反比力, 点电荷电场与质点引力场的许多性质, 具有可类比 性。在专题 11 中我们整理过的关于引力场的各种结论,往往通过平移对称操作,对电场同 样适用,常用模型与方法也往往是相通的。如引力场中曾被牛顿证明过的一个均匀球壳,对 球壳内物质的万有引力为零, 即球壳内引力场处处为零。 这个结论平移到一个均匀带电球壳, 则球壳内电场强度处处为零; 又如, 对于一个质量均匀半径为 R 的实心球, 在距球心 r (? R ) 处质点只受到半径为 r 的球内质量的万有引力, “引力场强” g ?

4G ?? r ,而 r 以外的球 3

壳(即 R 为外径 r 为内径的球壳)则对质点无引力的作用。这个结论平移到一个均匀带电、 半径为 R 的实心球, 在距球心 r( ? R ) 处的场强只由半径为 r 的球内电荷贡献:E ?

? r, 3? 0

而与 r 以外的球壳所带电荷无关,等等。 【例 2】把两个相同的电量为 q 的点电荷固定在相距为 l 的地方,在二者中间放上第三个质 量为 m 电量亦为 q 的点电荷,现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动,证明随之发生 的小幅振动为简谐运动并求其周期 T 。 【分析与解】如图所示, O 为等量同种正电荷连线的中点,该点场 强为零,则第三个电荷置于该点处于平衡,受扰动后,设其有一位 移 x ,此时电荷受 A 、 B 两处点电荷的库仑力方向如图示,以位移方向为正,合力为

? ? ? ? 4kq 2 1 1 2 F ? F ? F ? kq ? ? ? l ?? 2 A B l l 2 2 ? ( ? x) ( ? x) ? ? 2 2 ?

? ? ? ? 1 1 , ? ? 2x 2 2x 2 ? ? (1 ? ) (1 ? ) ? l l ? ?

注意到小幅振动 x

2x 是小量,则有 l ? ? 4kq 2 ? 1 1 ? 4kq 2 ? F ? l 2 ? 4x ? 4x ? ? l 2 ?1 ? 1? ? l l ? ?
l,

4x 4x ? 36kq ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? 3 ? x , ? l l ? l ?

2

可见第三个点电荷所受合力为线性变化力且方向总与位移相反,故为简谐运动,周期

T?

?l

ml 。 2q 2k

场强、 电势和电荷分布等问题由于数学计算的困难, 能够用初等数学精确求解的只在一 些具有很强对称性的情况下。 例如点电荷及一对等量同种或异种点电荷形成的电场的场强与 电势分布; 均匀带电球体内、 外各点的场强与电势分布; 孤立带电导体球的电荷分布, 等等。 【例 3】均匀带电球壳半径为 R ,带正电,电量为 Q ,若在球面上划出很小一块,它所带电 量为 q ( q Q ) 。试求球壳的其余部分对它的作用力。 【分析与解】这个问题中,待求力是带电球壳的内力,且对称分布,宜用微元法求解。 如图所示, A 是球面上划出的很小一块面积元,因带电量 q ,故可 视作一点电荷,其在 A 内、外两侧引起的场强大小相等设为 Eq 、方向 相反。现设球壳其余部分在 A 处的场强为 EA ,则 A 内侧面作为球壳内 部,场强应为零,故有

EA ? Eq ? 0 。 ①
而 A 外侧,由均匀球壳场强公式,可得

E A ? Eq ? k ?
由以上两式可得 E A ? k ?

Q 。 ② R2

Q ,则点电荷 q 在 A 处所受球壳其余部分对它的力为 2R2

F ?k?

Qq 。 2R2

【例 4】一个半径为 a 的孤立的带电金属丝环,其中心电势为 U 0 。将此 环靠近半径为 b 的接地的球,只有环中心 O 位于球面上,如图所示。试求 球上感应电荷的电量。 【分析与解】将带电金属丝环分成许多相同的小面元,每个电荷元所带电 量为 q1 、 q2 ?????? qn ,它们在环中心 O 处形成的电势 U 0 为 U 0 ? k 为q ?

? a ,则金属丝带电量
i

qi

aU 0 。 k

设接地的球上感应电量为 Q ,由于接地,故整个球为一电势为零的等势体,那么环上 电荷及球上感应电荷在球心 O1 处产生的电势之和应为零,即

0?

kq a 2 ? b2

?

aU 0 abU 0 kQ kQ ? ? ,得 Q ? ? 。 b b a 2 ? b2 k a 2 ? b2

现在,我们从库仑定律与场的叠加原理导出静电学的另一条基本 规律—高斯定理。 我们知道, 用电场线描述电场时, 电场线的疏密表示电场的强弱, 若场中某面元上有条电场线垂直穿过,则 E ?

?e , ? e 称为电通量, S

并以正、负表示电场线从该面穿出或穿入。先考察点电荷 q 的电场,如图所示, S 为以点电 荷 q 为中心包围点电荷的球面, S ? 为包围点电荷 q 的任意封闭曲面,若球面半径为 r ,则 球面上各处的场强大小均为 E ?

q 4?? 0 r
2

, 式中 ? 0 ?

1 4? k

? 8.85 ? 10?12 C 2 / N ? m2 , 称为真

空中的介电常数。显然,从该球面穿出的电通量 ? e ? ES ?

q 4?? 0 r
2

? 4? r 2 ?

q

?0

。根据电场

线的性质—在电场中没有电荷处的电场线是连续的、不相交的,可 以肯定包围点电荷 q 的任意封闭曲面 S ? 上的电通量也是 ? e ?

q

若如图所示,电荷 q 在闭合曲面 S ?? 之外,由电场线性质可知穿入曲 面的电场线条数与穿出该曲面的电场线条数相等,那么整个封闭曲 面的总电通量为零。根据电场叠加原理,将上述结果推广到任意点 电荷系构成的静电场:若闭合曲面包围的电荷的代数和为

?0



? qi ,则 ?e ?
i

?q
i

i

?0

,在真空中

的任何静电场中, 通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的 这就是真空中静电场的高斯定理。 当电荷分布具有某些特殊对称性时, 往往可应用高斯定理简便地计算 场强。 【例 5】半径为 r 的圆板,在与其中心 O 距离为 d 处置一点电荷 q ,试求 板上的电通量。 【分析与解】如图所示,以点电荷 q 为球心,以 R ? d 2 ? r 2 为半径作 一球面,显然,通过圆板的电通量与以圆板周界为周界的球冠面的电通量 是相同的, 球面上电通量 ? e ? 那么圆板上的电通量即为

1

?0



q

?0

, 则球冠面上电通量 ?? e ?

2? R( R ? d ) q d ?e ? (1 ? ) , 2 4? R 2? 0 R

?? e ?

【例 6】在相距 d 的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷,其线密度为 ? ? 及 ? ? 。 求在对称平面上与导线所在平面相距为 x 的一点 P 的电场强度。 【分析与解】我们先利用高斯定理求出与细长导线距离为 r 处的电场 强度。如图所示,细长导线均匀带电,由对称性知各点场强方向均沿 法向, 电场线分布辐向均匀。 现取一以细导线为几何轴、 底面半径为 r 、 高 ?l ? 0 的圆柱面,由高斯定理得该面上的电通量 ? e ? 距轴心 r 的圆柱面上的电场强度

q d (1 ? )。 2 2? 0 r ? d2

? ? ?l ,则 ?0

E?

?e ? ? ?l ? ? ? 。 S 2? 0? r ? ?l 2? 0? r

本题中, P 点场强是两线电荷在该点电场的叠加,如图所示, 两线电荷在 P 点引起的场强大小相同:

E1 ? E2 ?
方向如图所示;合场强

?

d 2? 0? ( ) 2 ? x 2 2



EP ? 2 E1 ?

d d 2 ( )2 ? x2 2

?2

?

d d 2? 0? ( ) 2 ? x 2 2 ( ) 2 ? x 2 2 2

?

d

?

2? d 。 ? 0? (d 2 ? 4 x 2 )

我们面对的各种具体问题,往往情况复杂、对称破缺。解决这类复杂问题的一条重要途 径,便是依据静电场问题的唯一性原:理进行等效变换,设法将复杂问题化解为符合对称性 要求的基本问题,以便利用已知规律最终得解。 等效处理的办法大致可分为两类: A 、对不具有对称性的带电体,用若干具有对称性的带电体做等效替代;或是对具有 弱对称性的带电体,用具有更强对称性的带电体进行等效替代。这种方法我们称之为“等效 对称替代法” 。 B 、对实际导体面或电介质面上的不均匀分布的电荷,用虚设的点电荷或均匀带电球 进行等效替代, 从而将一给定的静电场变换成另一易于计算的等效静电场。 这种方法我们称 之为“等效电像变换法” 先示例“等效对称替代法” 。 【例 7】如图所示,将表面均匀带正电的半球,沿线分成两部分,然后将这两部分移开很远 的距离,设分开后的球表面仍均匀带电,试比较 A? 点与 A?? 点电场强度的大小。

【分析与解】球冠面上正电荷在 A? 点产生的电场以 E1 示,球层面上 正电荷在 A?? 点产生的电场以 E2 示,由对称性容易确定 E1 方向向右,

E2 方向向左,如图所示。乍一看,却似乎无法比较两部分不规则带电
体产生的电场强度的大小,须设法作等效替代,创造出可运用已知规 律的条件。 如图所示,设想以另一表面均匀分布正电荷的完全相同的半球,附 在球层上构成球缺,显然,球缺在 A?? 点产生的电场强度 E3 大于 E2 ; 球缺和球冠构成一完整球,由于均匀带电球面内电场强度处处为零,那 么, 于是, 我们可确定球冠面电荷在 A? E1 与 E3 必然大小相等方向相反, 点产生的电场强度 E1 大于球层面电荷在 A?? 点产生的电场强度 E2 。 【例 8】如图所示,正四面体 ABCD 各面为导体,但又彼此绝缘。已知带电后四个面的静 电势分别为 ?1 、 ?2 、 ?3 和 ?4 ,求四面体中心 O 点的电势 ?0 。 【分析与解】若正四面体的四个面电势相同,四面体就是一个等势 体, 其中心点电势即可确定。 现正四面体 ABCD 各面静电势均不同, 其中心点的电势 ?0 难以直接确定,我们来进行等效替代:另有同样 的三个四个面的静电势分别为 ?1 、 ?2 、 ?3 和 ?4 的正四面体,将它 们适当地叠在一起,使四个面的电势均为 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ,中心点

O 共点,这个叠加而成的四面体是等势体,其中心 O 点电势为 4?0 ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ,于 ? ? ? 2 ? ?3 ? ? 4 是求得和 ?0 ? 1 。 4 【例 9】如图所示,在半径为 R 、体密度为 ? 的均匀带电球体内部挖去半 径为 r 的一个小球,小球球心 O? 与大球球心 O 相距为 a ,试求 O? 点的场
强,并证明空腔内电场均匀。 【分析与解】挖去一个小球而带有空腔的带电体球对称性被破坏,故难以

直接运用库仑定律求出 O? 处的电场强度,须通过等效变换,将该带电体转化为若干个具有 球对称性的带电体。 设想空腔部分的静电场构成是由体电荷密度为 ? 与 ? ? 的两个小均匀带电球复合而成, 于是原带电体便被体电荷密度为 ? 半径为 R 的均匀带正电大球与位于空腔部分的、体密度 为 ? ? 半径为 r 的均匀带负电小球替代,即:将空腔中的电场视作上述两个带电球引起的电 场的叠加。由于此两球的电场均具有辐向对称性,故问题可解。体电荷密度为 ? ? 的小球在 其 球 心 O? 产 生 的 场 强 为 零 ; 体 电 荷 密 度 为 ? 的 大 球 在 O? 处 产 生 的 场 强 大 小 为

4?? 0 a 指向 O? 点。

E?

? ? ? a3
2

4 3

?

?a ?a ,则 O? 点的电场强度 EO? ? ,方向由 O 点 3? 0 3? 0

为了证明空腔内电场均匀, 我们任取空腔内一点 A , A 点对 O 的 矢径为 r1 ,对 O? 的矢径为 r2 ,如图所示,图中 E1 是大球在 A 点引起 的 场 强 , E2 是 小 球 在 A 点 引 起 的 场 强 , 则 A 点 场 强 为

? ? (r1 ? r2 ) ? a ,可知空腔内任一点的场 4?? r 4?? r 3? 0 3? 0 ?a 强方向均沿矢径 a ,即从 O 点指向 O? 点,大小均为 E ? ,可见为一匀强场。 3? 0
E A ? E1 ? E2 ?
3 0 1

? ? ? r13

4 3

? r1 ?

? ? ? r23
3 0 2

4 3

? r2 ?

【例 10】如图所示,在半径为 R 的细圆环上分布有不能移动的正电荷, 总电量为 Q , AB 是它的一条直径,如果要使 AB 上的场强处处为零,则 圆环上的电荷应该如何分布? 【分析与解】由于要求直径 AB 上的场强处处为零,而圆环只对圆心 O 具 有对称性,故可知欲满足题设条件,圆环上的电荷分布是不均匀的。我们 知道,均匀带电球壳内部的场强处处为零,那么其直径上各点的场强自然为零了,现要使带 电圆环在其直径上各点场强具有同样的效果, 那么环上的电荷分布一定与均匀带电球面的电 荷分布有着某种等效关系。 我们对直径 AB 上场强的构成作一分析,如图所示,在均匀带电球 面的直径 AB 上任取一点 M , 若用与 AB 垂直的平面分割球面, 可得一 系列的圆环带,根据对称性可知,每一均匀带电小环在 M 点产生的场 强矢量必沿 AB ,而所有小环在 M 点的合场强为零。现设想把原均匀 分布在每一小环带上的电荷均对半 “撸” 到该小环带上两弧线元 P 1和P 2 上,整个电量 Q 对称地分布到直径 AB 两侧的半圆环上,则 M 点的场 强不变,直径 AB 上的电场强度仍处处为零,不过细圆环上电荷的分布 显然是不均匀的。 如图所示,任取圆环上一点 P , OP 与 AB 的夹角为 ? 。取 P 处极 小段弧长 ?l ,其上分布的电量对应于半径为 R 、电量为 Q 的均匀带电 球面上用垂直于直径 AB 的平面截出的宽 ?l 、周长 2? R sin ? 的小环带 上所带电量的一半,即

1 Q Q sin ? ? ? 2? R sin ? ? ?l ? ? ?l , 2 2 4? R 4R ?Q Q ? ? sin ? 。这就是令半径为 R 的细圆环一 那么,该元弧段上的电荷线密度为 ? ? ?l 4 R 直径上场强处处为零,电量 Q 在环上分布应遵从的规律。 ?Q ?
下面展示“电像变换法” 。

【例 11】如图所示,无限大的接地导体板,在距板 d 处的 A 点有 一个电量为 Q 的正电荷, 求板上的感应电荷对点电荷 Q 的作用力。 【分析与解】由于导体板接地,板上的电势为零,在点电荷 Q 的 作用下,板的右侧出现感应电荷,但其电量及分布未知,故无法 直接求出它们对电荷 Q 的作用力。然而,由于导体为一等势面, 从点电荷 Q 出发的电场线应处处与导体面正交而终止,因而导体 板右侧电场线分布大致如图所示。 这使我们联想到等量异种电荷的电场: 两点电荷联线的垂 直平分面为一零电势面,电场线还包括图中用虚线画出的另一半。因此,导体板上感应电荷 对板右侧电场的影响,可用与点电荷 Q 关于导体面成镜像对称的另一虚设点电荷 ?Q 替代, 板上感应电荷对 Q 的作用亦等效于像电荷 ?Q 对 Q 发生的作用,于是,由库仑定律容易得 到,板上感应电荷对点电荷 Q 的作用力大小为 F ?

Q2 Q2 。 ? 4?? 0 (2d )2 16?? 0 d 2

这里求解所用的方法, 多用于接地导体或保持电势不变的导体外有一个或多个点电荷的 情况。 通常根据导体面及点电荷的几何位置关系, 推断在所考察区域适当放置一个或多个量 值合适的电荷, 使之能够满足导体面上给定的场强及电势条件、 模拟感应电荷对空间电场的 贡献。这些虚拟的电荷称为像电荷,通过等效电像变换的方法,使实际问题易于解决,而其 可靠性则源于静电学的重要原理——唯一性原理。 【例 12】如图所示,设在一接地导体球的右侧 P 点, 有一点电荷 q , 它与球心的距离为 d , 球的半径为 R , 求导体球上的感应电荷为多少?点电荷 q 受到的电场 力为多大? 【分析与解】先来确定导体球上感应电荷的像电荷电量及位置。如图所示,感应电荷在球上 的分布不均匀,靠近 P 点一侧较密,关于 OP 对称,故大致位置在 OP 连线上,距 O 为 r 的 P? 点。由于导体球接地,球心 O 处的电势为零,根据电势叠加原理可知,导体表面感应电 荷总电量 q? 在 O 点引起的电势与点电荷 q 在 O 点引起的电势之和为零, 即有

kq kq? ? ? 0, d R

根据唯一性原理可知,等效的像电荷电量即此。像电荷位置,令其在球面上任意点引起的电 势与 q 在同一点的电势叠加为零,即满足

kq? R 2 ? r 2 ? 2 Rr cos ?
将 q? ? ?

?

kq R 2 ? d 2 ? 2Rd cos ?



R q 代入,两边平方后有 d d 2 ( R2 ? r 2 ? 2Rr cos ? ) ? R2 ( R2 ? d 2 ? 2Rd cos ? ) ,

d 2r 2 ? R4 ? (2Rrd 2 ? 2R3d )cos ? ,
R2 ,这样确定了像电荷的位置,于是可求出球表面 d kq?q kRdq2 感应电荷对 q 的作用力—它等同于像电荷对 q 的库仑力 F ? ,是引 ? ( d ? r )2 ( d 2 ? R 2 ) 2
对于任意的 ? 角,等式均成立,则 r ? 力。 电荷与电场的相互关系包括两个方面: 静电荷产生静电场及电荷在静电场中受力。 电荷 在给定电场中受到力的作用将发生运动, 在经典物理范畴内, 带电质点的运动遵守牛顿运动 定律。 带电粒子在静电场中的运动有着广泛的科技应用背景, 如利用电子枪或离子枪加速带 电粒子、示波器和电子显微镜中采用静电场来聚焦粒子束、用电子束或离子束做技术加工、 静电除尘与静电喷漆,等等。这里援引第 32 届 IPhO 的一道试题,介绍带电粒子在静电场 中运动的一种实际应用。 【例 13】如图所示,速调管用于甚高频信号的放大。速调管主要由两个相距为 b 的腔组成,

每个腔有一对平行板。初始速度为 v0 的一束电子通过板上的小孔横穿整个系统。要放大的

高频信号以一定的相位差(一个周期对应于 2? 相位)分别加在两对电极板上,从而在每个 腔中产生交变水平电场。当输入腔中的电场方向向右时,进入腔中的电子被减速;反之,电 场方向向左时,电子被加速,这样,从输入腔中射出的电子经过一定的距离后将叠加成短电 子束。如果输出腔位于该短电子束形成处,那么,只要加于其上的电压相位选择恰当,输出
?9 腔中的电场将从电子束中吸收能量。设电压信号为周期 T ? 1.0 ?10 s 、电压 U ? 0.5V 的

方波。电子束的初始速度 v0 ? 2.0 ?106 m / s ,电子荷质比 e / m ? 1.76 ?1011 C / kg 。假定间 距 a 很小,电子渡越腔的时间可忽略不计。保留 4 位有效数字,计算:

⑴使电子能叠加成短电子束的距离 b ; ⑵由相移器提供的所需的输出腔与输入腔之间的相位差。 【分析与解】 ⑴通过输入腔的电子在电场方向向左时被电场加速, 在电场方向向右时被减速, 由动能定理 ? eU ?

1 2 1 2 2eU 2 mvt ? mv0 得电子离开输入腔时速度 vt ? v0 ;要形成短电 ? 2 2 m

子束,应使后半周期通过输入腔被加速的电子经过一段距离 b 在输出腔“追”上前半周期通 过输入腔被减速的电子,从而叠加成短电子束,故此应有

b 2eU 2 v0 ? m


?

T ? 2

b 2eU 2 v0 ? m



b?

T 1.0 ?10?1 1.956 ? 2.044 ? ?10?9 ? ?106 m ? 2.272 ? 10?2 m 2 2 2.044 ? 1.956 2eU 2eU 2 2 v0 ? ? v0 ? m m ?

4 v0 ?(

2eU 2 ) m

⑵为使输出腔中的电场从短电子束中吸收能量, 应使电场方向向右, 电场力对电子束做 负功。当输入腔电场方向向右时满足

b 2eU T v ? m
2 0

? 2? ? ?? ? 2k? ,



? ? ? ? b 2.272 ?10?2 ?? ? ? ? ? k ? 2? ? ?( ? k )2? ? ?(11.62 ? k )2? , 1.956 ?106 ?1.0 ?10?9 2eU ? ? 2 T v0 ? ? ? m ? ?

?? ? ?0.62 ? 2? ? ?2230 ,或 ?? ? ?0.38 ? 2? ? ?1370 。

1、 如图所示, 正点电荷 Q1 和正点电荷 Q2 分别放置在 A 、B 两点, 两点间相距 L 。现以 L 为直径作一半圆,电荷在此半圆上有一电 势 最 小 的 位 置 P , 设 PA 与 AB 的 夹 角 为 ? , 则 (用三角函数表示) ? ? ____________。 2、如图所示,有“无限长”均匀带电圆柱面,半径为 R ,电荷面密度为 ? ,试求其场强, 并作 E (r ) 图。

3、在一厚度为 d 的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷,其密度为 ? ,求在平板层内及平 板层外的电场强度 E ,并作 E (r ) 图。

4、 一点电荷 q 位于一立方体中心, 立方体边长为 a , 试问通过立方体一面的电通量是多少? 如果点电荷移至立方体的一个角上,这时通过立方体每个面的电通量各是多少?

5、如图所示,电场线从正点电荷 ? q1 出发,与正点电荷及负点电荷的连线成 ? 角,则该电 场线进入负点电荷 ? q2 的角度 ? 是多大?

6、准确地画出两点电荷 ? q 及 ?4q 的电场线分布示意图。

7、电荷均匀分布在半球面上,它在这半球的中心 O 处的电场强度等于 E0 。两个平面通过 同一条直径,夹角为 ? ,从半球中分出一部分球面,如图所示。试求所分出的这部分球面 上(在“小瓣”上)的电荷在 O 处的电场强度 E 。

8、半径为 R2 的导电球壳包围半径为 R1 的金属球,金属球原来具有的电势为 U ,如果让球 壳接地,则金属球的电势变为多少?

9、有两个异种点电荷,其电量之比为 n ,相互间距离为 d 。试证明它们的电场中电势为零 的等势面为一球面,并求此等势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离 r 。

10、两个电量为 q 的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧,且与板的距离均为 d ,两点 电荷之间的距离为 2 d 。求在两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向。

11、半径分别为 R1 和 R2 的两个同心半球相对放置,如图所示,两个半球面均匀带电,电荷 密度分别为 ?1 和 ? 2 ,试求大的半球面所对应底面圆直径 AOB 上电势的分布。

12、有一半径为 R 、带电量为 Q 的均匀带电球面,试求其上的表面张力系数 ? , ? 定义为 面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力。

13、两个半球合在一起组成一个完整的金属球,球的半径为 R ,如图所示,求这两个半球 间斥力。

14、如图所示,在一开口的原不带电的导体球壳中心 O 点有一点电荷 Q 。球壳内、外表面 的半径分别为 a 和 b 。欲将电荷 Q 通过小孔缓慢地从 O 移到无穷远处,应做多少功?

15、如图所示,两个以 O 为球心的同心金属球壳都接地,半径分别是 r 、 R 。现在离 O 为 l ( r ? l ? R )的地方放一个点电荷 q 。问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少?

16、如图所示,半径相同的两个金属球 A 、 B 相距很远,原来不带电,球 C 先与远处电池 正极接触(负极接地) ,接着与球 A 接触,再与球 B 接触;然后又与电池正极接触,重复上 述过程, 反复不已。 已知球 C 第一次与电池接触后的带电量为 q , 第一次与 A 球接触后 A 球 的带电量为 Q1 ,求⑴ A 球与 B 球最后的带电量 Q 与 Q? ;⑵设 球接触后, A 球的带电量可达最后带电量的一半?

Q1 9 ? ,至少经过几次与 C q 10

17、在强度为正的均匀电场中放着一个均匀的金属球,其半径为 R ,由于感应,在球上产 生了表面密度为 ? 的电荷, ? 与图中标出的角 ? 有关系。求关系式 ? (? ) 。

18、如图所示,平面上有一段长为 l 的均匀带电直线 AB ,在该平面取直角坐标 Oxy ,原点

O 为 AB 中点, AB 沿 x 轴。⑴试证明该平面上任一点 P 的电场线方向沿 ?APB 的角平分 线;⑵试求该平面上的电场线方程;⑶试求该平面上的等势线方程。

19、如图所示, N 个一价正离子和 N 个一价负离子交错排列成一维点阵,相邻离子间相距 (N ??) a 。计算这个相互静电作用的点阵的总静电能。

20、如图所示,质子加速器使每个质子得到的动能为 E 。很细的质子束从加速器射向一个 远离加速器的半径为 r 的金属球,并留在球上。球中心并不在加速器发射出的质子运动方向 的直线上,而与该直线的距离为 d ,且 d ? r ,加速器工作足够长时间后,球能充电到多高 的电势?计算中取 E ? 2keV , d ?

r 。 2

21、需要净化空气中的灰尘,但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的,为此可利用这样一 个事实,即灰尘是带电的。为模拟净化过程,提出两种装置。 第一个装置是:将含有灰尘空气的玻璃圆桶(高 h ? 1m ,半径 R ? 0.1m ,如图所示) 放在场强为 E1 ? 1?104V / m 的电场中, 场强方向沿着圆柱形桶的轴向。 经时间 t1 ? 120s 后, 可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部。 第二个装置是:沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线,且将此导线跟高压电源相连,电源 电压是这样选取的,使在容器壁上场强值恰好等于第一个装置的场强值 1?10 V / m 。已知
4

在这种情况下场强 E ?

1 , r 为离轴线的距离。 r

假设尘粒是同种的, 其所带电荷量也相等, 试确定第二个装置中尘粒沉积到容器壁所需 时间。由于空气中的尘粒不多,体电荷可以忽略,认为尘粒沉积过程动态平衡,空气阻力与 速度成正比,不计重力。


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