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《对数函数的图象与性质》


《对数函数的图象与性质》 教学目标: (一)知识目标: 1、理解对数函数的概念。 2、会画出对数函数的图象。 3、掌握对数函数的性质。 4、掌握底数互为倒数的两个对数函数的图象的对称性。 (二)能力目标: 通过引导学生运用实验、观察、比较、分析的方法探究对数函数的图象与性质,使学生领会 数形结合、运动变化的数学思想,提高他们分析问题解决问题的能力。 (三)情感目标: 通过 TI 图形计算器与教学内容的结合, 使学生体会数学中的对称美, 培养自主学习的能力。 教学重点、难点: 教学重点:使学生在理解对数函数相关概念的基础上,掌握对数函数的图象和性质。 教学难点:使学生深刻理解底数 a 对对数函数及其图象和性质的影响。 教学手段:TI 图形计算器与计算机相结合辅助教学 教学方法:启发探究式 教学过程: 一、创设情境,激发兴趣 某种细胞分裂时, 由 1 个分裂成 2 个, 2 个分裂成 4 个, ┄┄, 1 个这样的细胞分裂 x 次后, 得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系的解析式是 y=2x。 现在来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到 1 万个、10 万 个、┄┄细胞,那么分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数。请学生写出函数解析式。 结合学生的回答,给出对数函数的定义: 我们把形如 的函数叫做对数函数。 教师引导学生根据互为反函数的两个函数之间的关系, 写出对数函数的定义域和值域。 根据 互为反函数的两个函数图象之间的关系类比指数函数的性质,猜想对数函数 具有哪些性 质? 二、新课讲授 第一阶段:学生通过实验(动手作图和利用 TI 图形计算器作图)和对图象的观察类比,归 纳对数函数的性质。 1、自主画图,形成思维 作出函数 与 的图象(简图) 请同学们思考:作函数图象的基本方法是什么? (描点法作图,利用函数图象变换作图) 下面请同学们利用描点作图法作出函数 的图象。 在学生作图基本完成后,教师选择几个典型的案例进行展示并请同学们指出其优点和不足, 再请一名学生叙述作图过程: 在直角坐标系内画出 等几个点,再将这些点用一条光滑曲线连接起来,就 得到了函数 的图象。 请大家进一步思考:我们能否利用函数图象变换作出函数 的图象呢? (请学生回答)因为互为反函数的两个函数图象关于直线 对称,所以可以利用函数图象的

对称变换作出函数 的图象。 请学生详细叙述作图步骤:首先在平面直角坐标系内作出 等关键点,用一条光滑曲线连结 这些点,作出指数函数 的图象,然后分别作出这几个点关于直线 y=x 的对称点,再用一条 光滑曲线将这些点连结起来,就得到了函数 的图象。 教师结合学生的回答利用计算机进行演示:在函数 y=2x 的图象上任取一点 A,再作出该点 关于直线 y=x 的对称点 A。 ,随着点 A 在指数函数 y=2x 的图象上运动,点 A。运动形成的轨 迹就是函数 的图象。 下面我们再来研究对数函数 的图象的作法。 根据上面的教学,归纳函数 的图象的几种作法: (1)?????????????? 描点作图法:先在直角坐标系内画出 等几个特殊点,再将这些点用一 条光滑曲线连结起来即可。 (2) ?????????????? 根据互为反函数的两函数图象之间的对称关系作图。 先作出函数 的图 象,再作出它关于直线 对称的图象即可。 (3)?????????????? 根据对数的换底公式可得: 。所以可以先作出函数 的图象, 再作出它关于 x 轴对称的图象即可。 (总结出底数互为倒数的两个对数函数图象的对称性) 2、数形结合,探究新知 刚才我们利用描点法和图象变换的方法作出了函数 的图象,下面我们将借助对数函数的图 象研究它的性质。 请同学们任意给指数函数 与对数函数 的解析式中的底数 赋值,并根据自己所取的 a 值利 用 TI 图形计算器作出几组函数的图象。 给学生一定的时间利用 TI 图形计算器作图。(类比指数函数的研究策略,学生容易想到将 对数函数进行分类研究。) 教师巡视学生的作图情况,对学生进行个别指导,启发他们按 和 0< 进行分类研究。根据 学生情况教师还可以引导他们展开适当讨论, 互相交流作图情况。 最后由学生进行归纳说明。 请同学们思考: (1)每一组的两个函数图象之间有什么关系? (2)上面三个对数函数的解析式中的底数有什么共同特征? 学生容易回答: (1)每一组的两个函数图象都关于直线 y=x 对称; (2)上面三个对数函数解析式中的底数都大于 1. 进一步地,请大家将自己选择的对数函数的图象画在同一坐标系内,观察图象并思考问题: 上面三个对数函数的图象有什么共同特征? 请学生结合他的作图情况回答这个问题,其他同学进行补充. 实际上,将三个对数函数 y=log2x,y=log3x,y=lgx 的图象画在同一坐标系内,学生容易观察 它们的共同特征是:

①图象都分布在 y 轴的右侧; ②图象都经过(1,0)点;(指数函数图象过(0,1)点) ③在 上都是增函数;(与指数函数具有相同的单调性) 教师进一步引导学生观察图象,总结下面的性质. ④在底数 a>l 的情况下: 若 x>1,则对于同一 x 取值,从上到下随函数值的减小,底数增大;

若 ,则对于同一 x 取值,从上到下随函数值的减小,底数也减小. 至此,我们就完成了在底数 a>l 的情况下的对数函数图象和性质的探究,下面请同学们类 比这一探究过程,结合下面的问题自己探究底数 0<a<l 的情况下对数函数的图象和性质。 首先请同学们利用 TI 图形计算器在同一坐标系内作出几个底数 a∈(0,1)的对数函数的图 象(如:函数 然后观察图象,类比底数 a>1 的情形完成下表 第二阶段:学生通过实验和对图象的观察类比,总结对数函数的性质 请同学们根据第一阶段的总结归纳填写下表以加深对对数函数图象和性质的理解, 填表完毕 后,可用投影仪展示学生填的表,并安排学生之间进行交流。 ? ? ? ? ? ? 对数函数的图象和性质 ? ? a>1 0<a<1 ? 图 象

x=1 ? ? ? ? ? ?

x=1

? ?

性 ? 质 (1)定义域:(0,+ ) (2)值域:R (3)都经过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0 ? ? (4)当 x>1 时,y>0 0<x<1 时,y<0 (4)当 x>1 时,y<0 0<x<1 时,y>0 ? (5) 在(0, )上是增函数 ? (5) 在(0, )上是减函数 ? 第三阶段:通过对问题的思考交流、分析讲解,使学生进一步理解并掌握对数函数的图象和 性质. 例: 已知右图中的曲线是对数函数 的图象,若 a 的取值为 ,则相应于 的 a 值依次为 ______________ C4 C3 C2 C1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 通过该问题的解决使学生进一步掌握对数函数的图象和性质,提高他们读图、识图的能力。 三、归纳小结、深化知识 首先师生共同回顾本节课探究对数函数图象和性质的过程和方法, 然后从以下几个方面 对本课时的教学进行小结。 1.作对数函数图象(简图)的基本方法: (1)描点作图法:在直角坐标系内画出几个特殊点,再将这些点用一条光滑曲线连结起 来,就得到了函数 的图象。 (2)利用函数图象的对称变换作图: ①根据互为反函数的两函数图象之间的关系; ②根据换底公式可得: 2.回顾对数函数的图象和性质(结合表);


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