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第16讲 圆的方程


第 16 讲
一、基础梳理

圆的方程

1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 2.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 3.圆的一般方程
2 2 ? D?2 ? E?2 D +E -4F 方程 x +y +Dx+Ey+F=0 可变形为?x+ 2 ? +?y+ 2 ? = .故有: 4 ? ? ? ? 2 2

D2+E2-4F E? ? D (1)当 D +E -4F>0 时,方程表示以?- 2 ,- 2 ?为圆心,以 为半径的圆; 2 ? ?
2 2

E? ? D (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点?- 2 ,- 2 ?; ? ? (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形. 4.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点 P 在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点 P 在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点 P 在圆内. 一种方法:确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独 立方程. (2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不 存在的情况. 三个性质:确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;

1

(2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 二、双基自测 1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) ). D.(2,-3) ).

2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a>1 或 a<-1 D.a=± 1

3.在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.5 2 三、题型解析 题型一 求圆的方程 【例 1】已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( ). ). C.15 2 D.20 2

B.10 2

A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要素,即圆心和 半径,待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简 化计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点的垂直平分线上,解题时要注 意平面几何知识的应用. 【练 1】 经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为________. 题型二 与圆有关的最值问题 y-1 【例 2】 已知点 P(x, y)在圆 x2+(y-1)2=1 上运动, 则 的最大值与最小值分别为________. x-2 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b ①形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 形式 x-a 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题, 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

2

【练 2】 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的 差是( ). D.5 2 题型三 圆的综合应用 【例 3】已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.

A.30 B.18 C.6 2

(1)在解决与圆有关的问题中, 借助于圆的几何性质, 往往会使得思路简捷明了, 简化思路,简便运算. (2)本题中两种解法都是用方程思想求 m 值,即两种解法围绕“列出 m 的方程”求 m 值. 【练 3】 (2012· 广州模拟)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶 点,已知|AB|=2|OA|,且点 B 的纵坐标大于 0.

【练 4】 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1), 则圆 C 的方程为________.

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A.(x-2)2+y2=5

圆的方程强化训练
) D.x2+(y+2)2=5 ) C.(x+2)2+(y+2)2=5

1.圆(x+2)2+y2=5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为( B.x2+(y-2)2=5

2.若圆 x2+y2-2x+6y+5a=0,关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范围是( A.(-∞,4) B.(-∞,0) C.(-4,+∞) D.(4,+∞)

1 1 3. 已知点 P(2,2), 点 M 是圆 O1: x2+(y-1)2= 上的动点, 点 N 是圆 O2: (x-2)2+y2= 上的动点, 4 4 则|PN|-|PM|的最大值是( A. 5-1 ) D.3- 5
3

B. 5-2 C.2- 5

4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 =1

) D.(x+2)2+(y-1)2

B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4

5.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程 是( ) 7?2 A.(x-3)2+? ?y-3? =1 =1 6.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点,则|MN|的最 小值是( 9 A. 5 ) B.1 4 C. 5 13 D. 5 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 3?2 2 D.? ?x-2? +(y-1)

7.由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当|PT|最小时,点 P 的坐标是( A.(-1,1) ) B.(0,2) C.(-2,0) D.(1,3)

8. 如果三角形三个顶点分别是 O(0,0), A(0,15), B(-8,0), 则它的内切圆方程为________________. y-2 9.已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为________. x-1 10.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D, 且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程;(2)求圆 P 的方程.

11.已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆; (2)在(1)的条件下,若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且|MN|= 4 5 ,求 m 的值. 5

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12.已知圆 M 过两点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点, PA、 PB 是圆 M 的两条切线, A、 B 为切点, 求四边形 PAMB 面积的最小值.

第 16 讲
一、基础梳理

圆的方程

1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 2.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 3.圆的一般方程

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2 2 ? D?2 ? E?2 D +E -4F 方程 x +y +Dx+Ey+F=0 可变形为?x+ 2 ? +?y+ 2 ? = .故有: 4 ? ? ? ? 2 2

D2+E2-4F E? ? D (1)当 D +E -4F>0 时,方程表示以?- 2 ,- 2 ?为圆心,以 为半径的圆; 2 ? ?
2 2

E? ? D (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点?- 2 ,- 2 ?; ? ? (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形. 4.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点 P 在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点 P 在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点 P 在圆内. 一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独 立方程. (2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不 存在的情况. 三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 二、双基自测 1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) 解析 B.(-2,3) C.(-2,-3) ). D.(2,-3) D

由 x2+y2-4x+6y=0 得(x-2)2+(y+3)2=13.故圆心坐标为(2,-3).答案
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2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 解析 B.0<a<1 C.a>1 或 a<-1 D.a=± 1

).

因为点(1,1)在圆的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1.答案

A

3.在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.5 2 解析 ). C.15 2 D.20 2

B.10 2

由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内,故过点

E(0,1)的最短弦长|BD|=2 10-?12+22?=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点 的弦),过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD,因此四边形 1 1 ABCD 的面积等于2|AC|×|BD|=2×2 10×2 5=10 2,选 B. 三、题型解析 题型一 求圆的方程

【例 1】已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( ). B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+

A.(x+1)2+(y-1)2=2 (y+1)2=2 解析

法一 设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可. |a-?-a?| |a-?-a?-4| = ,即|a|=|a-2|,解得 a=1,故圆心坐 2 2

设圆心坐标为(a,-a),则 标为(1,-1),半径 r= 法二

2 = 2,故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 2

题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离 d=

4 =2 2;圆心是直线 x+y=0 与这两条平行线交点的中点,直线 x+y=0 与直线 x-y=0 2 的交点坐标是(0,0)、与直线 x-y-4=0 的交点坐标是(2,-2),故所求的圆的圆心坐标是 (1,-1),所求的圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2. 法三 作为选择题也可以验证解答,圆心在 x+y=0 上,排除选项 C、D,再验证选项 A、 B

B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可.答案

求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要素,即圆心和
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半径,待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简 化计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点的垂直平分线上,解题时要注 意平面几何知识的应用. 【练 1】 经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为________. 解析 ∵圆经过点 A(5,2),B(3,2),∴圆心在 x=4 上,又圆心在 2x-y-3=0 上,

∴圆心为(4,5),可设圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=r2,又圆过 B(3,2),即(3-4)2+(2-5)2 = r2 , ∴r2=10,∴圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10. 题型二 与圆有关的最值问题 y-1 【例 2】 已知点 P(x, y)在圆 x2+(y-1)2=1 上运动, 则 的最大值与最小值分别为________. x-2 y-1 [审题视点] 找出 的几何意义,运用几何法求解.解析 x-2 设 y-1 =k,则 k 表示点 P(x, x-2 |2k| =1,解 k2+1

y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,k 取得最大值与最小值.由 3 得 k=± 3 . 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:

y-b ①形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 形式 x-a 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题, 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【练 2】 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的 差是( ). D.5 2

A.30 B.18 C.6 2 解析

由圆 x2+y2-4x-4y-10=0 知圆心坐标为(2,2),半径为 3 2.则圆上的点到直线 x

|2+2-14| +y-14=0 的最大距离为: +3 2=5 2+3 2,最小距离为:5 2-3 2,故最 2 大距离与最小距离的差为 6 2. 题型三 圆的综合应用

8

【例 3】已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 解 法一 将 x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5y2-20y+12+m=0.

12+m 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件:y1+y2=4,y1y2= 5 . ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. -27+4m ∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= . 5 故 -27+4m 12+m 5 ? 1 ? ?-2,3?,半径 r= . + = 0 ,解得 m = 3 ,此时 Δ > 0 ,圆心坐标为 5 5 2 ? ?

法二

如图所示,设弦 PQ 中点为 M,设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由法一知,y1 x1+x2 y1+y2 2 =-1,y0= 2 =2.解得 M 的坐标为(-1,2).则以

+y2=4,x1+x2=-2,∴x0=

PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上.∴ (0+1)2+(0-2)2=r2, 1+?-6?2-4m ? 1 ?2 即 r =5,|MQ| =r .在 Rt△O1MQ 中,|O1Q| =|O1M| +|MQ| .∴ =?-2+1? 4 ? ?
2 2 2 2 2 2

5 ? 1 ? +(3-2)2+5.∴m=3,∴半径为2,圆心为?-2,3?. ? ? (1)在解决与圆有关的问题中, 借助于圆的几何性质, 往往会使得思路简捷明了, 简化思路,简便运算. (2)本题中两种解法都是用方程思想求 m 值,即两种解法围绕“列出 m 的方程”求 m 值. 【练 3】 (2012· 广州模拟)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶 点,已知|AB|=2|OA|,且点 B 的纵坐标大于 0. → 的坐标;(2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程. (1)求AB 解
2 2 ?x +y =100, → → → (1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB· OA=0,得? ?4x-3y=0,

?x=6, ?x=-6, 解得? 或? ?y=8 ?y=-8,

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x=-6, → =(-6,-8),则 y =-11 与 y >0 矛盾,所以? → =(6,8). ? 若AB 舍去.即AB B B ?y=-8 (2)圆 x2-6x+y2+2y=0, 即(x-3)2+(y+1)2=( 10)2, 其圆心为 C(3, -1), 半径 r= 10, → =OA → +AB → =(4,-3)+(6,8)=(10,5),∴直线 OB 的方程为 y=1x. ∵OB 2 b+1 ? ?a-3=-2, 的对称点的坐标为(a,b),则? b-1 1 a+3 ? ? 2 =2· 2 ,

1 设圆心 C(3,-1)关于直线 y=2x

解得

?a=1, ? 则所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. b = 3 , ? 【练 3】 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1), 则圆 C 的方程为________. [解析] 由已知圆 C 过 A(4,1),B(2,1)两点,∴直线 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心 C,

又圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1), ∴kBC=-1, ∴直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2), ?y=-x+3, ?x=3, 得 y =- x + 3 ,由 ? 解得 ? 得圆心 C 的坐标为 (3,0) ,∴ r = |BC| = ?x=3, ?y=0, ?3-2?2+?0-1?2= 2, ∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.

第 16 讲
A.(x-2)2+y2=5

圆的方程强化训练
C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 )

1.圆(x+2)2+y2=5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为( A ) B.x2+(y-2)2=5

2. 若圆 x2+y2-2x+6y+5a=0, 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形, 则 a-b 的取值范围是( A A.(-∞,4) B.(-∞,0) C.(-4,+∞) D.(4,+∞)

1 1 3. 已知点 P(2,2), 点 M 是圆 O1: x2+(y-1)2= 上的动点, 点 N 是圆 O2: (x-2)2+y2= 上的动点, 4 4 则|PN|-|PM|的最大值是( A. 5-1 ) D.3- 5

B. 5-2 C.2- 5

1 1 |PO1|- ?=|PO2|-|PO1|+1=2- 5+1=3- 5. 3.选 D |PN|-|PM|的最大值是|PO2|+ -? 2? 2 ? 4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 ) D.(x+2)2+(y-1)2

B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4

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=1 x , ?x=4+ 2 设圆上任一点为 Q(x , y ), PQ 的中点为 M(x, y), 则? -2+y ?y= 2 ,
0 0 0 0

4. 选A

? ?x0=2x-4, 解得? ?y0=2y+2. ?

因为点 Q 在圆 x2+y2=4 上,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1. 5.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程 是( ) 7?2 A.(x-3)2+? ?y-3? =1 =1 |4a-3| 5.选 B 依题意设圆心 C(a,1)(a>0),由圆 C 与直线 4x-3y=0 相切,得 =1,解得 a=2, 5 则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 6.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点,则|MN|的最 小值是( 9 A. 5 ) B.1 4 C. 5 13 D. 5 |-3-4-2| 9 = , 5 5 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 3?2 2 D.? ?x-2? +(y-1)

6. 选 C 圆心(-1, -1)到点 M 的距离的最小值为点(-1, -1)到直线的距离 d= 4 故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= . 5

7.由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当|PT|最小时,点 P 的坐标是( A.(-1,1) ) B.(0,2) C.(-2,0) D.(1,3)

7. 选 B 根据切线长、 圆的半径和圆心到点 P 的距离的关系, 可知|PT|= |PC|2-1, 故|PT|最小时, 即|PC|最小,此时 PC 垂直于直线 y=x+2,则直线 PC 的方程为 y+2=-(x-4),即 y=-x+2,联立
?y=x+2, ? 方程? 解得点 P 的坐标为(0,2). ? ?y=-x+2,

8. 如果三角形三个顶点分别是 O(0,0), A(0,15), B(-8,0), 则它的内切圆方程为________________. |OA|+|OB|-|AB| 15+8-17 8.解析:因为△AOB 是直角三角形,所以内切圆半径为 r= = =3,圆 2 2 心坐标为(-3,3),故内切圆方程为(x+3)2+(y-3)2=9. y-2 9.已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为________. x-1

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y-2 y-2 解析: 表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,所以 的最小值是直线 PQ 与圆相切时 x-1 x-1 的斜率. 设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1)即 kx-y+2-k=0.由 3 3 ≥ ,故最小值为 . 4 4 10.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D, 且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程;(2)求圆 P 的方程. 解:(1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2).则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x +y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0.①又∵直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10,∴(a+ 1)2+b2=40.②
?a=-3, ?a=5, ? ? 由①②解得? 或? ∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2).∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2 ? ? b = 6 b =- 2. ? ?

|2-k|
2

y-2 3 =1 得 k= , 结合图形可知, 4 x-1 k +1

=40 或(x-5)2+(y+2)2=40. 12.已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆; (2)在(1)的条件下,若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且|MN|= 4 5 ,求 m 的值. 5

解:(1)方程 C 可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,显然只要 5-m>0,即 m<5 时方程 C 表示圆. (2)因为圆 C 的方程为(x-1)2+(y-2)2=5-m,其中 m<5,所以圆心 C(1,2),半径 r= 5-m, |1+2×2-4| 1 4 5 1 则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为 d= ,因为|MN|= ,所以 |MN| 2 2 = 5 2 5 1 +2 = 2 5 , 5 所以 5-m=? 1 ?2 ?2 5?2 + ,解得 m=4. ? 5? ? 5 ?

12.已知圆 M 过两点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点, PA、 PB 是圆 M 的两条切线, A、 B 为切点, 求四边形 PAMB 面积的最小值. 解:(1)设圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意,得

12

?1-a? +?-1-b? =r ? ? ??-1-a?2+?1-b?2=r2 ? ?a+b-2=0

2

2

2

,解得 a=b=1,r=2,故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

1 1 (2)由题知, 四边形 PAMB 的面积为 S=S△PAM+S△PBM= |AM|· |PA|+ |BM|· |PB|.又|AM|=|BM|=2, |PA| 2 2 =|PB|, 所以 S=2|PA|,而|PA|= |PM|2-|AM|2= |PM|2-4,即 S=2 |PM|2-4.因此要求 S 的最小值,只需 求 |PM| 的最小值即可,即在直线 3x + 4y + 8 = 0 上找一点 P ,使得 |PM| 的值最小,所以 |PM|min = |3×1+4×1+8| =3, 32+42
2 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S=2 |PM|2 min-4=2 3 -4=2 5.

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