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安徽省马鞍山市2014届高三第三次教学质量检测数学(理)试题(扫描版)


数学理科答案
一、选择题: 1. D 2. D 3. C 二、填空题: 1 11. [1 , 9] 12. 3 13. a =-1 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 14. [-3,5] 15.②④ ⑤ 4. B 5. C 6. B 7. A 8. C 9. A 10. B

解: (Ⅰ)由正弦定理: sin A cos C ?

2 sin B cos A ? sin C cos A

?sin(A ? C ) ? 2 sin B cos A

………………………………2 分

? sin B ? 2 sin B cos A ,又 sin B ? 0 ? 1 ? cos A ? 0? A?? ?A? ………………………………6 分 2 3 b a ? ? 2,? b ? 2sin B (Ⅱ)由正弦定理得, sin B sin A
由余弦定理得,

a 3 ?a? AD ? b ? ? ? ? 2 b cos C ? 4sin 2 B ? ? 2 3 sin B cos C ………………8 分 2 4 ?2? 3 2? 3 ? 4sin 2 B ? ? 2 3 sin B cos( ? B) ? sin 2 B ? 3 sin B cos B ? 4 3 4 3 1 5 ? 5 ? sin 2 B ? cos 2 B ? ? sin(2 B ? ) ? ……………………………………10 分 2 2 4 6 4 2 ? ? ? 7 ? ? ? ? ? B ? ? 0, ? ? 2B ? ? ? ? , ? 6 ? 6 6 ? ? 3 ? ? ? 1 ? sin(2 B ? ) ? ? ? ,1? 6 ? 2 ? ? 3 3? ? AD ? ? ? 2 , 2 ? ……………………………………………………………………12 分 ? ?
2 2

2

另解:

AD ?
2

1 ( AB ? AC ) , 2
2 2 1 AB ? 2 AB AC ? AC 4

? AD ?

?

?

下解答同上. 17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由表中数据得 K2 的观测值 42× (16× 12-8× 6)2 252 ? k? ≈4.582>3.841. ……2 分 24× 18× 20× 22 55 所以,据此统计有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关.……4 分

(Ⅱ)①由题可知在“排 球小组”的 18 位同学中,要选取 3 位同学. 方法一:令事件 A 为“甲被抽到”;事件 B 为“乙丙被抽到”,则 C3 C2 3 P(A∩B) ? 3 ,P(A) ? 17 . 3 C18 C18 所以 P(B|A) ? P(A∩B) C 3 2 1 . ? 23 ? ? P(A) 16 136 C17 17× ……7 分

方法二:令事件 C 为“在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽到”, 2 1 C2 则 P(C) ? 22 ? . ? 17× 16 136 C17 ②由题知 X 的可能值为 0,1,2. 2 2 35 5 1 C3 C16 C1 C1 2 16 C2 依题意 P(X ? 0) ? 16 ; P ( X 1) ; P ( X 2) ? ? ? ? ? ? ? . 3 3 3 51 17 51 C18 C18 C18 从而 X 的分布列为 X P 0 35 51 1 5 17 2 1 51 ……10 分 35 5 1 17 1 于是 E(X) ? 0× +1× +2× ? ? . 51 17 51 51 3 18. (本小题 13 分) 解法一: (I)取 AD 的中点 G ,连结 PG、GB、BD . PA ? PD , ? PG ? AD …………2 分 AB ? AD ,且 ?DAB ? 60? , ? ?ABD 是正三角形, BG ? AD , 又 PG BG ? G , ……12 分

P

H

K

F M ? AD ? 平面 PGB . ? AD ? PB . …………………4 分 D (II)取 PB 的中点 F ,连结 MF ,CF . G M 、F 分别为 PA、PB 的中点, 1 A ? MF // AB ,且 MF ? AB . 2 ∵四边形 ABCD 是直角梯形, AB // CD 且 AB ? 2CD , ? MF // CD 且 MF ? CD . …………………………6 分 ∴四边形 CDMF 是平行四边形. ? DM // CF . CF ? 平面 PCB , DM ? 平面 PCB ? DM // 平面 PCB . …………………………8 分 (III)延长 AD 与 BC 交点为 K ,连结 PK . 过 G 作 GH ? PK 于一定 H , 连结 BH ,则 BH ? PK . ??BHG 为平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角. …………10 分
[来源:学科网 ZXXK]

C

B

设 CD ? a ,则 AD ? 2a, KD ? 2a ,

? PK ? 2a 2 ? 4a 2 ? 2 ? 2a ? 2a ? cos135 ? 10a .

又因为 PK ? GH ? PG ? GK , GK ? 3a ,

? 10a ? GH ? a ? 3a, ? GH ?

3 10a 10

? tan ?GHB ?

BG 3a 30 ? ? GH 3 10a 3 10
39 13 39 . …………13 分 13

? cos ?GHB ?

? 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为
[来源:学科网]

解法二: (I)同解法一 (II) ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , ? PG ? 底面 ABCD . 又 PG ? AD , ? PG ? BG . ∴直线 GA、GB、GP 两两互相垂直, 故以 G 为原点,直线 GA、GB、GP 所在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 G ? xyz . 设 PG ? a ,则可求得 P

z

P(0,0, a), A(a,0,0), B(0, 3a,0), D(?a,0,0) ,
3 3 C ( ? a, a, 0) . 2 2 3 3 ? BC ? (? a, ? a, 0) . 2 2
设 n ? ( x0 , y0 , z0 ) 是 平 面 PBC 的 法 向 量 , 则 M D G A B C

x

y

n ? B C? 0 且 n ? PB ? 0 .
? ? 3 3 3 y0 , ay0 ? 0, ? ? ax0 ? ? x0 ? ? ?? 2 ?? 3 2 ? 3ay ? az ? 0. ?z ? 3y . 0 0 ? 0 ? 0
取 y0 ? 3 ,得 n ? (?1, 3,3) . …………6 分

a a M 是 AP 的中点, ? M ( , 0, ) . 2 2 a a 3 a ? DM ? ( , 0, ) ? (?a, 0, 0) ? ( a, 0, ) . 2 2 2 2 3 a DM ? n ? ( a, 0, ) ? (?1, 3,3) ? 0 . 2 2

? DM ? n .
DM ? 平面 PCB , ? DM // 平面 PCB . ………………………8 分
(III)又 平面 PAD 的法向量 n1 ? GB ? (0, 3a,0) ,
[来源:学科网]

设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 ? , 则 cos ? ?

n ? n1 n ? n1

?

3a 39 ? ,…………10 分 13 1 ? 3 ? 9 ? 3a

? 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为
19.(本小题 12 分) 解: (Ⅰ) ?

39 .…………13 分 13

?an?1 ? Sn ? n ? 3 ?an ? Sn ?1 ? (n ? 1) ? 3 (n ? 2)

? an?1 ? an ? an ?1 ? an?1 ?1 ? 2(an ?1)

??an ?1? 从第二项起为公比等于 2 的等比数列…………………………3 分
(Ⅱ) a2 ? S1 ?1 ? 3 ? 4, a1 ? 2

a2 ?1 ? 2 ? a1 ?1?

[来源:学科网]

(n ? 1) ?2, ………………………………………6 分 ? an ? ? n?2 (n ? 2, n ? N * ) ?3 ? 2 ? 1,
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 Sn ? an?1 ? n ? 3 ? 3 ? 2n?1 ? n ? 2

n ……………………………………………………………………8 分 3 ? 2n ?1 1? 1 2 n ? Tn ? ? 0 ? 1 ? ? n ?1 ? 3? 2 2 2 ? ? bn ?

1 1? 1 2 Tn ? ? 1 ? 2 ? 2 3? 2 2

?

n? ? 2n ?

1 1? 1 1 1 n? ? Tn ? ?1 ? 1 ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 3? 2 2 2 2 ? 1 ? ? 1 ? ( )n ? 1 n 2 ? ? ? 1?2? n? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ? 1? 1 2n ? 3 ? 2n ? ? 2 ? 4 2n ? 4 ?Tn ? ? ………………………………………………………………10 分 3 3 2n 1 bn ? 0 ?Tn ? T1 ? 3 1 4 ? ? Tn ? ……………………………………………………………………12 分 3 3
20. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)设 M (m, ? p) ,两切点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由 x2 ? 4 py 得 y ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x. 4p 2p 1 x1 ( x ? x1 ) ① 2p y ? y2 ? 1 x 2( x ? x ) 2 ② ………2 分 2p

∴两条切线方程为 y ? y1 ?

对于方程①,代入点 M (m, ? p) 得, ? p ? y1 ? ∴?p?

1 1 2 x1 (m ? x1 ) ,又 y1 ? x1 , 2p 4p

1 2 1 x1 ? x1 (m ? x1 ) 整理得: x12 ? 2mx1 ? 4 p2 ? 0 , 4p 2p

2 同理对方程②有 x2 ? 2mx2 ? 4 p2 ? 0 ,即 x1 , x2 为方程 x2 ? 2mx ? 4 p2 ? 0 的两根.

∴ x1 ? x2 ? 2m , x1x2 ? ?4 p2 设直线 AB 的斜率为 k , k ?



………………………………………4 分

2 y2 ? y1 x2 ? x12 1 ? ? ( x1 ? x2 ) , x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4 p

所以直线 AB 的方程为 y ?

x12 1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,展开得: 4p 4p

y? y?

xx 1 ( x1 ? x2 ) x ? 1 2 ,代入③得: 4p 4p m x ? p ,∴直线恒过定点 (0, p) . ……………… ………………………6 分 2p 1 x1 ( x ? x1 ) ① 2p y ? y2 ? 1 x 2( x ? x ) 2② 2p

另解:同 上得两条切线方程为 y ? y1 ?

1 ? ? ?? p ? y1 ? 2 p x1 (m ? x1 ) ?? p ? ? ? 得? ?? 1 ?? p ? y ? x2 (m ? x2 ) ?? p ? 2 ? ? 2 p ? ?

1 mx1 ? y1 2p 1 mx2 ? y2 2p

∴AB 方程为 ? p ?

1 1 mx ? y 即 y ? mx +p 2p 2p

∴直线恒过定点 (0, p) .

…………………6 分

(Ⅱ)证明:由( Ⅰ)的结论,设 M (m, ? p) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且有 x1 ? x2 ? 2m , x1x2 ? ?4 p2 , ∴ kMA ?

y1 ? p y ?p , , kMB ? 2 x1 ? m x2 ? m



x ? m x2 ? m x1 ? m x ? m 4 p ( x1 ? m) 4 p ( x2 ? m) 1 1 ? ? 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? ?? 1 x2 y1 ? p y2 ? p x1 x1 ? 4 p 2 x2 ? 4 p 2 kMA kMB ?p ?p 4p 4p

=

4 p( x1 ? m) 4 p( x2 ? m) 4 p( x1 ? m) x2 ? 4 p( x2 ? m) x1 4 pm 4 pm m ? 2 ? ? ? ?? , 2 2 x1 ? x1 x2 x2 ? x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) x1 x2 ?4 p p
又∵

1 kMF

?

m m , ?? ?p? p 2p

所以

1 1 2 . ? ? kMA kMB kMF

即直线 MA, MF , MB 的斜率倒数成等差数列.…………………13 分 另解:设切线方程为 y ? p ? k ( x ? m) 由?
? y ? p ? k ( x ? m)
2 ? x ? 4 py

? x 2 ? 4kpx ? 4 p(km ? p) ? 0

因为直线与抛物线相切
2 ? 4 ? 4 p(km ? p) ? 0 ? pk 2 ? mk - p ? 0 ………………① 所以 ?=(? 4kp)

知切线 MA,MB 的斜率是方程①的两个根
m kMA ? kMB 1 1 m p ? ? ? ?? 所以 kMA kMB kMA kMB ?1 p

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]



1 m m ? ?? k PF ? p ? p 2p

1 1 2 ? ? 即直线 MA, MF , MB 的斜率倒数成等差数列.…………………13 分 k MA k MB k MF

21. (本 小题 13 分) 解: (I) f '( x) ?

1 a ?bx 2 ? x ? a ?b ? 2 ? x x x2 f '(1) ? ?b ? 1 ? a ? 0 ∴ a ? b ? ?1 …………………4 分 (II) a ? ?2,b ? ?1 2 f ( x) ? ln x ? x ? x 1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? ? 2 ? 1 ? ? ( x ? 0) x x x2 x2 ? f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ??? 上单调递增 ? f ( x) 在 ? 0, +? ? 内有唯一极小值,也就是 f ( x ) 在 ? 0, +? ? 内的最小值

…………………8 分 ? f ( x)min =f (1)=3 (III)由(II)知? f ( x)min =f (1)=3 且 f ( x ) 在 ? 0,1? 上单调递减 n 0? ?1 n ?1 n n 2(n ? 1) n ?f( ) ? ln ? ? ? f (1)=3 n ?1 n ?1 n n ?1 n 2 1 n n?2 ? ? ? 0 ∴ ln ? ?0 ∴ ln n ?1 n n ?1 n ? 1 n(n ? 1) n n n ( n ?1) 1 ? ?(n ? 2) ) ? ( ) n ? 2 ………………(13 分) ∴ n(n ? 1) ln ∴( n ?1 n ?1 e


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