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千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第99炼 归纳推理与类比推理


第十二章

第 99 炼 归纳推理与类比推理

其它高考考点

第 99 炼 归纳推理与类比推理
一、基础知识: (一)归纳推理: 1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳) ,简言之, 归纳推理是由

部分到整体,由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路: (1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律 (2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构) ,哪些地方是 变化的(找到变量) ,如何变化(变量变化的规律) (3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型: ( 1 ) 函 数 的 迭 代 : 设 f 是 D ? D 的 函 数 , 对 任 意 x?D , 记
? n ?1? ?n? ? f ?0? ? x ? ? x, f ?1? ? x ? ? f ? x ? , f ? 2? ? x ? ? f ? ?x? ? f ? ? f ? x ?? ? ,? f ? f ? x ?? ,则称函数

f ?n ? ? x ? 为 f ? x ? 的 n 次迭代;对于一些特殊的函数解析式,其 f ?n ? ? x ? 通常具备某些特征
(特征与 n )有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数 的特点,以便于从具体例子中寻找到规律,得到 f
?n?

? x ? 的通式

(2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求 出某项或分组(按周期分组)进行求和。 (3) 数列的通项公式 (求和公式) : 从数列所给的条件中, 很难利用所学知识进行变形推导, 从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式) (4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形, 矩形等) ,来确定数阵的规律及求某项。 对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行” ,纵向为“列” ,在项的表示上通 常用二维角标 aij 进行表示,其中 i 代表行, j 代表列。例如: a34 表示第 3 行第 4 列。在题 目中经常会出现关于某个数的位置问题, 解决的方法通常为先抓住选取数的特点, 确定所求 数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项) ,求出前 n 行共含有的项的个数,从 而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。 (二)类比推理:

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1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类 对象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比) 2、常见的类比类型及处理方法: (1)运算的类比:通常是运算级数相对应: ① 加法 ?乘法, ② 数乘(系数与项的乘法) ? 指数幂 ③ 减法 ?除法 (2)运算律的类比:在数学中的其它领域,如果满足加法,乘法的交换律,以及乘法的分 配律,则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ①在向量数量积的运算中,满足交换律与分配律,则: 代 数 中 的 平 方 差 公 式 : a ? b ? ? a ? b?? a ? b? , 和 差 完 全 平 方 公 式 :
2 2

?a ? b?

2

? a 2 ? 2ab ? b2

均 可推 广到 向量 数量 积中 : a ?b ? a ?b a ?b ,

?2

?2

?

?

? ?

??

?

?

? a ? b?

?

?

2

?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? b ? b

②在复数的运算中,满足交换律与分配律,则实数中的运算公式可推广到复数中(甚至是二 项式定理) (3)等差数列与等比数列的类比:等差数列的性质通常伴随着一, 二级运算(加减, 数乘) , 等比数列的性质通常伴随着二,三级运算(乘除,乘方) 。所以在某些性质中体现出运算上 的类比。例如:设 ?an ? 为等差数列,公差为 d ; ?bn ? 为等比数列,公比为 q ,则 ① 递推公式: an ?1 ? an ? d ?

bn ?1 ?q bn
n ?1

② 通项公式: an ? a1 ? ? n ? 1? d ? bn ? b1 ? q

③ 双项性质: m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ? m ? n ? p ? q ? bmbn ? bpbq ④ 等间隔取项,在数列 ?an ? , ?bn ? 中等间隔的取项: 则 ak1 , ak2 ,?akm ,?成等差数列 ? bk1 , bk2 ,?bkm ,? 成等比数列 (4)维度的类比:平面几何(二维)的结论与立体几何(三维)的结论进行类比,当维度 升高时,涉及的要素也将维度升高,例如: ①位置关系:平面中的线的关系 ? 空间中的面的关系,线所成的角 ? 线面角或二面角,

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②度量:线段长度 ? 图形的面积,图形面积 ? 几何体体积,点到线的距离 ? 点到平面距 离 ③衍生图形:内切圆 ? 内切球,外接圆 ? 外接球,面对角线 ? 体对角线 ( 5 )平面坐标与空间坐标的类比:平面直角坐标系坐标 ? x, y ? ? 空间直角坐标系坐标

? x, y, z ? ,在有些坐标运算的问题中,只需加上竖坐标的运算即可完成推广,例如:
① 线段中点坐标公式: 平面:设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB 中点 M ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? 2 ? ? 2 ? x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 ? , , ? 2 2 ? ? 2

空间:设 A? x1, y1, z1 ? , B ? x2 , y2 , z2 ? ,则 AB 中点 M ? ② 两点间距离公式: 平面:设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB ?

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ?
2

2

空间:设 A? x1, y1, z1 ? , B ? x2 , y2 , z2 ? ,则 AB ?

? x1 ? x2 ?

? ? y1 ? y2 ? ? ? z1 ? z2 ?
2

2

3、同一个命题,不同的角度类比得到的结论可能不同,通常类比只是提供一个思路与方向, 猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。 在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为 类比的结论 二、典型例题:
' ' x ' f x ? f x , f x ? f x , ? , f x ? f x ,定义 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 n ? 1 n ? ? ? ? , ex 1? x x?2 3? x , f 3 ? x ? ? x ,?, 照此规律,则 f 2015 ?1? ? ( 经计算 f1 ? x ? ? x , f 2 ? x ? ? ) x e e e 2014 2014 A. ?2015 B. 2015 C. D. ? e e

例 1:已知 f ? x ? ?

思路:由定义可知: f n ? x ? 即为 fn ?1 ? x ? 的导函数,通过所给例子的结果可以推断出

f n ? x ? ? ? ?1?
答案:C

n

x?n 2015 ? x 2014 ,从而 f 2015 ? x ? ? ,所以 f 2015 ?1? ? x x e e e

例 2:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形, 如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,第六幅图的蜂巢总数为( )

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A.

61

B.

90

C.

91

D.

127

思路:从所给图中可发现第 n 个图可以视为在前一个图的基础上,外面围上一个正六边形, 且这个正六边形的每条边有 n 个小正方形, 设第 n 个图的蜂巢总数为 f ? n ? , 则可知 f ? n ? 比 即 6n ? 6 (每条边 n 个, 其中顶点被计算了两次, f ? n ? 1? 多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。 所以要减 6 ) ,所以有 f ? n ? ? f ? n ? 1? ? 6 ? n ? 1? ,联想到数列中用到的累加法,从而由
2 f ? n ? ? f ?1? ? 6 ? ? ?? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? ? 1? ? ? 3n ? 3n ,且 f ?1? ? 1 则

f ? n ? ? 3n2 ? 3n ? 1。代入 n ? 6 可得 f ?6? ? 3 ? 62 ? 3 ? 6 ? 1 ? 91
答案:C 例 3:将正整数排成数阵(如图所示) ,则数表中的数字 2014 出现在( A. 第 44 行第 78 列 C. 第 44 行第 77 列 B. 第 45 行第 78 列 D. 第 45 行第 77 列 )

思路: 从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数, 即第

k 行最后一个数为 k 2 ,所以考虑离 2014 较近的完全平方数: 442 ? 1936,452 ? 2025 ,所
以 2014 位于第 45 行,因为 1936 是第 44 行的最后一个数,所以 2014 为第 45 行中第

? 2014 ? 1936? ?
答案:B

个数,即位于第 45 行第 78 列 78

例 4: 已知结论: “在 ? ABC 中, 各边和它所对角的正弦比相等, 即

a b c ? ? ” , sin A sin B sin C

若把该结论推广到空间,则结论为: “在三棱锥 A ? BCD 中,侧棱 AB 与平面 ACD ,平面

BCD 所成的角为 ? , ? ,则有(
A.



BC AD ? sin ? sin ? S? BCD S? ACD ? sin ? sin ?

B.

AD BC ? sin ? sin ? S? ACD S? BCD ? sin ? sin ?

C.

D.

思路:本题为维度推广题,平面中的线段所成的夹角推广为线面角,所以可将正弦定理的边 长(一维度量)类比推广为面积(二维度量) ,正弦定理中为角所对的边长,则在三棱锥中 推广为线面角所对的侧面面积, 即 ? 所对的侧面为平面 BCD ,? 所对的侧面为平面 ACD ,

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所以猜测

S? BCD S? ACD ,再考虑证明其正确性。证明过程如下: ? sin ? sin ?

证明:分别过 B, A 作平面 ACD ,平面 BCD 的垂线,垂足分别为 E , F 由线面角的定义可知: ?BAE ? ? , ?ABF ? ?

1 1 ?VB ? ACD ? ? S? ACD ? BE ? ? S? ACD ? AB ? sin ? 3 3 1 1 同理:?VA ? BCD ? ? S? BCD ? AE ? ? S? BCD ? AB ? sin ? 3 3 1 1 ? ? S? ACD ? AB ? sin ? ? ? S? BCD ? AB ? sin ? ? S? ACD ? sin ? ? S? BCD ? sin ? 3 3

?

S? BCD S? ACD 得证 ? sin ? sin ?

答案:C 例 5:三角形的面积 S ?

1 ? a ? b ? c ? ? r ,其中 a, b, c 为其边长, r 为内切圆半径,利用类 2


比法可以得出四面体的体积为( A.

V?

1 ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? ? r (其中 S1 ? S2 ? S3 ? S4 分别为四个面的面积, r 为内切 2

球的半径)

1 S ? h ( S 为底面面积, h 为四面体的高) 3 1 C. V ? ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? ? r (其中 S1 ? S2 ? S3 ? S4 分别为四个面的面积, r 为内切球 3
B. V ? 的半径) D. V ?

1 ? ab ? bc ? ac ? ? h ( a, b, c 为底面边长, h 为四面体的高) 3

思路:本题为维度题,在三角形中,面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中,内切 圆类比成内切球,边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关,即在 A,C 中挑选。考虑在三角形中,可通过连接内心与各顶点,将三角形分割为三个小三角形, 底边为各边边长,高均为半径 r ,所以面积 S ?

1 1 ? a ? b ? c ? ? r ,其中系数 来源于三角形 2 2 1 1 ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? ? r 。系数 3 3

面积公式。进而类比到四面体中,可通过连接内切球的球心与各顶点,将四面体分割为 4 个小四面体,以各面为底面,内切球半径为高。从而 V ? 来源于棱锥体积公式 答案:C

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例 6:若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 bn ?

n

a1a2 ? ? ? an ? n ? N ? ? 也是等比数


列.若数列 ?an ?是等差数列,可类比得到关于等差数列的一个性质为( A. bn ? C. bn ?

a1a2 ? ? ? an 是等差数列 n
n

B. bn ? D. bn ?

a1 ? a2 ? ? ? an 是等差数列 n
n

a1a2 ? ? ? an 是等差数列

a1 ? a2 ? ? ? an 是等差数列 n

思路:考虑在等比数列中,很多性质为应用二三级运算(乘除法,乘方开方) ,到了等差数 列中,很多性质可类比为一二级运算(加减,数乘) 。在本题中所给等比数列用到了乘法与 开方,所以可联想到类比等差数列,乘法运算对应类比为加法,开方运算对应类比为除法。 所以该性质为:若数列 ?an ? 是等差数列,则 bn ? 是正确的,证明如下: 证明:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a1 ? a2 ? ? ? an 是等差数列。这个命题 n

bn ?1 ? bn ?

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 a1 ? a2 ? ? ? an ? n ?1 n

?

n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? ? ? n ? 1?? a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? n ? 1? ? nan ?1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? n ? 1?

?

? an ?1 ? a1 ? ? ? an ? a1 ? ? ? ? ? an ?1 ? an ? n ? n ? 1?

??an ?为等差数列

?an ?1 ? ai ? ? n ? 1 ? i ? d , ?i ? 1,2,?, n ?
d?

n ? n ? 1? nd ? ? n ? 1? d ? ? ? d d ?1 ? 2 ? ? ? n ? d 2 ? bn ?1 ? bn ? ? ? ? n ? n ? 1? n ? n ? 1? n ? n ? 1? 2

??bn ? 为公差是
答案:B

d 的等差数列 2

3 5? , 例 7:对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂” : 2=
3

33 ? 7 ? 9 ? 11 , 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,?,仿此,若 m 3 的“分裂数”中有一个是 61 ,
则 m 的值是( A. ) B.

6

7

C.

8

D.

9

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思路: 观察这几个等式不难发现以下特征: (1)n 可分解为 n 个连续奇数的和, (2) 从2 开 始这些奇 数是按 3,5,7,9,? 顺次 排列的。所 以在第 n 个数时,所用的 奇数的总数 为

3

3

2 ? 3 ??? n ?

? n ? 2 ?? n ? 1?
2

个。从 3 开始算起, 61 是第

61 ? 3 ? 1 ? 30 个奇数。当 2

n ? 7 ,可知所用的奇数总数为 27 个,当 n ? 8 ,可知所用的奇数总数为 35 个。所以 m ? 8
答案:C 例 8:从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移 动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以 为( A. )

2097

B.

2112

C.

2012

D.

2090
?

思路:当三角形在移动时,观察其规律,内部的数如果设第一行的数为 a ? N ,则第二行 的 数 为

a ? 7 , a ? 8 a,? , 其 9 和 为 3? a ? 8? , 第 三 行 的 数 为

a ? 14, a ? 15, a ? 16, a ? 17, a ? 18 , 其 和 为 5? a ? 1 ? 6, 所 以 这 九 个 数 的 和 为

S ? a ? 3? a ? 8? ? 5? a ? 16? ? 9a ? 104 ,代入到各个选项中看能否算出 a 即可。通过计算
可得: 9a ? 104 ? 2012 时, a ? 212 符合题意 答案:C

A 例 9:某种游戏中,黑,白两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点
出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段” ,黑“电子狗”爬行的路线是

AA 1 ? A 1D 1 ? ? ,白“电子狗”爬行的路线是 AB ? BB 1 ? ? ,它们都遵循如下规则:
所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i ? N ) ,设黑“电子狗”爬完 2012 段,白“电子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白“电子 狗”间的距离是_____________
?

D1 A1 B1 D A B

C1

D1 A1 D B1

C1

C

C A B

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思路:首先根据题目中所给规则,观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所 走的路线为 AA 1 ? A 1D 1 ?D 1C1 ? C1C ? CB ? BA ,然后周而复始,以 6 为周期;白 “电子狗”所走的路线为 AB ? BB1 ? B1C1 ? C1D1 ? D1D ? DA ,也是以 6 为周期。 从而由周期性的规律可得:2012 ? 6 ? 335?2 , 则黑电子狗到达 D1 ;2011 ? 6 ? 335?1 , 所以白电子狗到达 B ,所以只需计算 BD1 即可,由正方体性质可知 BD1 ? 答案: 3 例 10:把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵,设

3

aij ? i, j ? N ? ? 是位于这个三角形数中从上往下数第 i 行,从左往右
数第 j 列的数,如 a32 ? 5, 若 aij ? 2015 ,则 i ? j ? ( A. 111 B. 110 C. ) 108 D. 105

思路:观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数,偶数行均为偶数。所以可知 aij ? 2015 一定在奇数行中, 先确定 i 的值, 因为奇数构成首项为 1, 公差为 2 的等差数列, 所以第 k 个 奇数 ak ? 1 ? ? k ? 1? ? 2 ,因为 2005 ? 1 ? 2 ?1008 ? 1? ,所以可得 2015 为第 1008 个奇数, 考虑 2015 前面的奇数共占了多少行。由第 i 行由 i 个奇数可得:前 31 个奇数行内奇数共有

31 ? 1 ?

31 ? ? 31 ? 1? 2

? 961 ,前 31 个奇数行内奇数共有 32 ? 1 ?

32 ? ? 32 ? 1? 2

? 1024 ,而

961 ? 1008 ? 1024 ,所以 2015 在第 32 个奇数行中,即 i ? 63 ,再考虑 j 的值,第 31 个
奇数行最后一个奇数为 961 ? 2 ? 1 ? 1921 ,因为

2015 ? 1921 ? 47 ,所以 2015 为第 32 个 2

奇数行的第 47 个数,即 j ? 47 ,从而 i ? j ? 110 答案:C


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