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2014高考数学理复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集:第7讲 三角函数的图像与性质


专题限时集训(七) [第 7 讲 三角函数的图像与性质] (时间:45 分钟)

1.函数 f(x)=sin xcos x 的最小值是( ) 1 1 A.-1 B. C.- D.1 2 2 2.如图 X7-1 所示,点 P 是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω >0)的图像的最高点,M,N → → 是 f(x)的图像与 x 轴的交点,若PM·PN=0,则 ω=( )

图 X7-1 π A. 4 π B. 3 π C. 2 D.8 3.函数 f(x)=lg|sin x|是( ) A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 π 3π 4.下列函数中,周期为π ,且在区间? , ?上单调递增的函数是( 4 ? ?4 A.y=sin 2x B.y=cos 2x C.y=-sin 2x D.y=-cos 2x )

π π 5.函数 f(x)=sin2x+ 3sin x·cos x 在 , 上的最小值是( ) 4 2 1+ 3 A.1 B. 2 3 C.1+ 3 D. 2 π 6.为了得到函数 y=sin2x+ (x∈R)的图像,只需将函数 y=sin x(x∈R)的图像上所有的 3 点( ) π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6

π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π π 2π 7.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,- <φ < 的图像关于直线 x= 对称,周期 2 2 3 是π ,则( ) 1 A.f(x)的图像过点 0, 2 π 2π B.f(x)在? , ?上是减函数 ?12 3 ? 5π C.f(x)的一个对称中心是 ,0 12 D.f(x)的最大值是 4 8.已知函数 f(x)=2sin x( 3cos x-sin x)+1,若 f(x-φ)为偶函数,则 φ 的一个值为( ) π π A. B. 2 3 π π C. D. 4 6 π 3π 9.当 x= 时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数 y=f -x 是( ) 4 4 π A.奇函数且图像关于点 ,0 对称 2 B.偶函数且图像关于点(π ,0)对称 π C.奇函数且图像关于直线 x= 对称 2 π D.偶函数且图像关于点 ,0 对称 2 π 10.已知函数 y=2sin2x+ -cos 2x,则该函数的最小正周期 T 和它的图像的一条对称轴 4 方程是( ) π A.2π ,x= 8 3π B.2π ,x= 8 π C.π ,x= 8 3π D.π ,x= 8 11.已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω>0),如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都 有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2012)成立,则 ω 的最小值为( ) π 1 A. B. 2012 2012 π 1 C. D. 4024 4024 12.已知函数 f(x)=(sin 2x+cos 2x)2-2sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若函数 y=g(x)的图像是由 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位 8 π 长度得到的,当 x∈0, 时,求 y=g(x)的最大值和最小值. 4

13.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α -tan α 的值; π (2)若函数 f(x)=cos(x-α)cos α -sin(x-α)sinα ,求函数 y= 3f? -2x?-2f2(x)在区间 ?2 ? ?0,2π ?上的值域. 3 ? ?

→ 14.已知 O 为坐标原点,对于函数 f(x)=asin x+bcos x,称向量OM=(a,b)为函数 f(x)的 → 伴随向量,同时称函数 f(x)为向量OM的伴随函数. π π → (1)设函数 g(x)=sin +x+2cos -x,试求 g(x)的伴随向量OM的模; 2 2 π → (2)记ON=(1, 3)的伴随函数为 h(x),求使得关于 x 的方程 h(x)-t=0 在 0, 内恒有两 2 个不相等实数解的实数 t 的取值范围.

专题限时集训(七) 1 1 1.C [解析] f(x)=sin xcos x= sin 2x,所以函数 f(x)的最小值为- . 2 2 π π 1 2.A [解析] 由题意,|MN|=4= T= ,所以 ω= . 2 4 ω 3.C [解析] 易知函数的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z},又 f(-x)=lg |sin(-x)|=lg|-sin x| =lg|sin x|=f(x),所以 f(x)是偶函数,又函数 y=|sin x|的周期为π ,所以函数 f(x)是最小正周期 为π 的偶函数. π 3π π 3π π 3π 4. C [解析] 由 ≤x≤ 得 ≤2x≤ , 函数 y=sin 2x 在区间? , ?上单调递减, 4 4 2 2 4 ? ?4 π 3 π 所以函数 y=-sin 2x 在区间? , ?上单调递增,因此选 C. 4 ? ?4 π π 1 1 3 1 5. A [解析] f(x)=sin2x+ 3sin x· cos x= - cos 2x+ sin 2x=sin?2x- ?+ .因为 ≤ 2 2 2 4 6? 2 ? π π π 5π π 5π π x≤ , 所以 ≤2x- ≤ , 所以当 2x- = , 即 x= 时, 函数 f(x)=sin2x+ 3sin x· cos 2 3 6 6 6 6 2 1 1 x 取最小值,且最小值 f(x)min= + =1. 2 2 π π 6.A [解析] 先把函数 y=sin x 图像上的点向左平移 个单位长度得函数 y=sin?x+ ? 3 ? 3? π 1 的图像,再把各点的横坐标缩短到原来的 ,即得函数 y=sin?2x+ ?的图像. 2 3? ? 2π 2π π 5π 7.C [解析] =π ?ω =2,2× +φ=kπ + (k∈Z),得 φ=kπ - (k∈Z),由 3 2 6 ω π 5π π π π - <φ =kπ - < (k∈Z),知 k=1,即 φ= ,所以函数 f(x)=Asin?2x+ ?.根据三角函 2 6 2 6 6? ?

数性质逐个检验得选项 C 中的结论正确. 8. B [解析] f(x)=2sin x( 3cos x-sin x)+1= 3sin 2x-(1-cos 2x)+1= 3sin 2x+cos 2x π =2sin?2x+ ?. 6? ? π π π 所以 f(x-φ)=2sin?2x-2φ+ ?,其为偶函数的充要条件是-2φ+ =kπ + (k∈Z), 6 2 6? ? kπ π π 即 φ=- - (k∈Z),取 k=-1,得 φ= . 2 6 3 π 3π 9.C [解析] 因为 A>0,当 x= 时函数 f(x)取得最小值,所以可取 φ=- ,得 f(x)= 4 4 3 π 3 π 3 π 3 π Asin ?x- ? ,则 y = f ? -x? = Asin ?? -x- ?? = Asin( - x) =- Asin x .故函数 y = 4 ? 4 ?? ? ? 4 ? ?? 4 π 3π f? -x?是奇函数且图像关于直线 x= 对称. 2 ? 4 ? π π 10.D [解析] y=2sin2?x+ ?-cos 2x=1-cos 2?x+ ?- ? 4? ? 4? π cos 2x=sin 2x-cos 2x+1= 2sin?2x- ?+1, 4? ? 3π 3π 所以 T=π ,当 x= 时,函数取得最大值,故其一条对称轴方程为 x= . 8 8 11. B [解析] 说明 f(x1)为函数 f(x)的最小值, f(x1+2012)为函数 f(x)的最大值. 即 x1+2012 π π -x1≥ (半个周期),所以ω ≥ . 2012 ω π 12.解:(1)因为 f(x)=(sin 2x+cos 2x)2-2sin22x=sin 4x+cos 4x= 2sin?4x+ ?, 4? ? π 所以函数 f(x)的最小正周期为 . 2 π π π (2)依题意,y=g(x)= 2sin?4?x- ?+ ?+1= 2sin?4x- ?+1. 4 4? ? ? ? 8? ? π π π 3π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤4x- ≤ . 4 4 4 4 π π 3π 当 4x- = ,即 x= 时,g(x)取最大值 2+1; 4 2 16 π π 当 4x- =- ,即 x=0 时,g(x)取最小值 0. 4 4 13.解:(1)∵角 α 的终边经过点 P(-3, 3), 1 3 3 ∴sin α = ,cos α =- ,tan α =- , 2 2 3 3 3 3 ∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- + =- . 2 3 6 (2)∵f(x)=cos(x-α)cos α -sin(x-α)sin α =cos x,x∈R, π π ∴y= 3cos? -2x?-2cos2x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin?2x- ?-1. 6? ?2 ? ? 2π 4π ∵0≤x≤ ,∴0≤2x≤ , 3 3 π π 7π ∴- ≤2x- ≤ , 6 6 6 π 1 ∴- ≤sin?2x- ?≤1, 2 6? ? π ∴-2≤2sin?2x- ?-1≤1. 6? ?

π 2π 故函数 y= 3f? -2x?-2f2(x)在区间?0, ?上的值域是[-2,1]. 3 ? ?2 ? ? π π → 14.解:(1)∵g(x)=sin? +x?+2cos? -x?=2sin x+cos x,∴OM=(2,1). ?2 ? ?2 ? → 故|OM|= 22+12= 5. π (2)由已知可得 h(x)=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ?. ? 3? π π π 5π ∵0≤x≤ ,∴ ≤x+ ≤ , 2 3 3 6 故 h(x)∈[1,2]. π ∵当 x∈?0, ?时,函数 h(x)单调递增,且 h(x)∈[ 3,2]; 6? ? π π 当 x∈? , ?时,函数 h(x)单调递减,且 h(x)∈[1,2). ?6 2? π ∴使得关于 x 的方程 h(x)-t=0 在?0, ?内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为 2? ? t∈[ 3,2).


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