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几何13立体图形和空间想象


0602 奥数周周练——立体图形和空间想象

【例 1】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米 的正方体,做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米?(图中只画出了前面、右面、上面挖去的正 方体)

【例 2】 如图,有一个边长为 20 厘米的大正方体,分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一

个大小相同的小立 方体后,表面积变为 2454 平方厘米,那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米?

【例 3】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体,在正方体上表面的正中,向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体小 1 洞,接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 厘米的正方形小洞,第三个正方形小洞的挖法和前 2 1 两个相同为 厘米,那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 4

【例 4】 ( 《小学生数学报》邀请赛)从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、 高 2 厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?(写出符合要求的全部答案)

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图1

图2

图3

图4

【例 5】 (北京市第十二届迎春杯) 一个正方体木块, 棱长是 15. 从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1、 2、 3、4、5、6、7、8 的小正方体.这个木块剩下部分的表面积最少是多少?

【例 6】 从一个长 8 厘米、宽 7 厘米、高 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图),剩下部分的表 面积之和是 平方厘米.
8 6 6

6

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【例 7】 一个正方体木块,棱长是 1 米,沿着水平方向将它锯成 2 片,每片又锯成 3 长条,每条又锯成 4 小 块,共得到大大小小的长方体 24 块,那么这 24 块长方体的表面积之和是多少?

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【例 8】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为 10 厘米的正方体木块, 如果把它沿虚线切成 8 个正方体, 这些 小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?

【例 9】 有 n 个同样大小的正方体,将它们堆成一个长方体,这个长方体的底面就是原正方体的底面.如果 这个长方体的表面积是 3096 平方厘米, 当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后, 新的长方体的表 面积比原长方体的表面积减少 144 平方厘米,那么 n 为多少?

【例 10】

边长分别是 3、5、8 的三个正方体拼在一起,在各种拼法中,表面积最小多少?

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【例 11】

如图,25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体,表面积最小是多少?

25块积木

【例 12】 用 6 块右图所示(单位:cm)的长方体木块拼成一个大长方体,有许多种拼法,其中表面积最小的 是多少平方厘米?最大是多少平方厘米?

1 3

2

【例 13】 要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体,使打包后表面积最小, 该如何打包? ⑴当 b ? 2h 时,如何打包? ⑵当 b ? 2h 时,如何打包? ⑶当 b ? 2h 时,如何打包?

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【例 14】 图, 在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体, 求这个立体图形的表面积.

【巩固】如右图所示,由三个正方体木块粘合而成的模型,它们的棱长分别为 1 米、2 米、4 米,要在表面涂 刷油漆,如果大正方体的下面不涂油漆,则模型涂刷油漆的面积是多少平方米?

【例 15】 (2008 年“希望杯”五年级第 2 试)如图,棱长分别为 1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 5 厘米的四个正 方体紧贴在一起,则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米.

【例 16】 边长为 1 厘米的正方体,如图这样层层重叠放置,那么当重叠到第 5 层时,这个立体图形的表面 积是多少平方厘米?

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【巩固】按照上题的堆法一直堆到 N 层( N ? 3 ),要想使总表面积恰好是一个完全平方数,则 N 的最小值是 多少?

【例 17】 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起,按右图中的方式拼成一个立体图形.,求这个立体图 形的表面积.

【例 18】 现有一个棱长为 1 厘米的正方体,一个长宽为 1 厘米高为 2 厘米的长方体,三个长宽为 1 厘米高 为 3 厘米的长方体.下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时,从上面、前面、侧面所看到 的图形.试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来,并求出其表面积. 例:

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上面所看 到的图形

前面所看 到的图形

侧面所看 到的图形

【例 19】 一个正方体的棱长为 3 厘米,在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为 1 厘米 的正方体做成一种玩具,求这个玩具的表面积.

【例 20】 如右图,一个边长为 3a 厘米的正方体,分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个 截口是边长为 a 厘米的正方形的长方体(都和对面打通) .如果这个镂空的物体的表面积为 2592 平 方厘米,试求正方形截口 a 的边长.

【例 21】 有一个棱长为 5cm 的正方体木块,从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图),求这 个立体图形的内、外表面的总面积.

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【例 22】 左下图是一个正方体,四边形 APQC 表示用平面截正方体的截面.请在右下方的展开图中画出四 边形 APQC 的四条边.

D A H E P F Q B

C
C G B F

D

H E

G
A

【例 23】 如图,用 455 个棱长为 1 的小正方体粘成一个大的长方体,若拆下沿棱的小正方体,则余下 371 个小正方体,问:所堆成的大长方体的棱长各是多少?拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是 多少?

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【例 24】 (第四届《小数报》数学竞赛决赛)一根长方体木料,体积是 0.078 立方米.已知这根木料长 1.3 米.宽为 3 分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为 3 分米.这样,这根木料的体积要比 0.078 立方米多多少?

【例 25】 (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条 (如图所示)在三个方向上的加固.所用尼龙编织条分别为 365 厘米,405 厘米,485 厘米.若每个尼 龙加固时接头重叠都是 5 厘米.问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?


宽 长

【例 26】 (第十届“迎春杯”)一个长方体的表面积是 33.66 平方分米,其中一个面的长是 2.3 分米,宽是 2.1 分米,它的体积是_____立方分米.

【例 27】 (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长 2.4 米的长方体木料锯成 5 段(如图),表面积比原来增加 了 96 平方厘米.这根木料原来的体积是_____立方厘米.

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2.4米

【例 28】 (第五届《小数报》数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半(如图).将 这个长方体切成 12 个小长方体, 这些小长方体的表面之和为 600 平方分米. 求这个大长方体的体积.

【例 29】 有三个大小一样的正方体,将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状,表面积比原来减少了 16 平方厘米.求所成形体的体积.

【例 30】

(第十一届“迎春杯”)有一个长方体,长是宽的 2 倍,宽是高的 3 倍;长的 1 与高的 1 之和比 2 3 宽多 1 厘米.这个长方体的体积是 立方厘米.

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【例 31】 把 11 块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体,已知每块砖的体积是 288cm 3 ,则大长方体 的表面积为多少?

【例 32】 有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是 6 米、3 米、2 米.把两堆碎石分别沉没在 中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水 池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?

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【例 33】 一个正方体容器,容器内部边长为 24 厘米,存有若干水,水深 17.2 厘米,现将一些碎铁块放入 容器中,铁块沉入水底,水面上升 2.5 厘米,如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱,重 新放入池中,则水面升高几厘米?

【例 34】 (2009 年迎春杯初赛六年级)如图,有一个棱长为 10 厘米的正方体铁块,现已在每两个对面 的中央钻一个边长为 4 厘米的正方形孔(边平行于正方体的棱) ,且穿透.另有一长方体容器,从内 部量,长、宽、高分别为 15 厘米、12 厘米、9 厘米,内部有水,水深 3 厘米.若将正方体铁块平放 入长方体容器中,则铁块在水下部分的体积为 立方厘米.

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