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江西省瑞金一中2009学年高二摸底考试暨必修部分学业水平测试


瑞金一中 2009 学年高二摸底考试暨必修部分学业水平测试 数学试卷
满分 150 分,考试时间 120 分钟
命题人:李文靖 审题人:高二数学备课组

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ={ x | y ? 1 ? x 2 , x ? Z }, B ? { y | y ? x 2 ? 1, x

? A} ,则 A ? B 为 ( A. ? B. ?0,??? C.{1} D.{ 0,1 ) ( } ) )

2.如果点 P (sin 2? , cos ? ) 位于第三象限,那么角 ? 所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知平面向量 a ? (2m ? 1,3),b ? (2, m) ,且 a ∥ b ,则实数 m 的值等于( A. 2 或 ?



3 2

B.

3 2

C. ? 2 或

3 2

D. ?

2 7


4.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a2 ? a9 的值是( A. 12 B. 24 C .16 ) D.28 D. 48

5.如右图,该程序运行后输出的结果为 ( A.1 B.10 C .19

开始

20

A=1,S=1

20 正视图

20 侧视图

A≤2 是



10

S=S+9

输出 S

10 20 俯视图

A=A+1

结束

(第 5 题) 6.已知某个几何体的三视图如上,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( A.



4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

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7.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了 该校 100 名高三学生的视力情况, 得到频率分布直方图, 如右,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数 成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为
频率 组距

a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a, b 的值
分别为( ) B.0,27,83 D.2.7,83

0.3 0.1
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

视力

A.0,27,78 C.2.7,78

8.对于不重合的两个平面 ?与? ,给定下列条件:①存在平面 ? ,使得 ? , ? 都垂直于 ? ;②存在平面 ? , 使得 ? , ? 都平行于 ? ;③存在直线 l ? ? ,直线 m ? ? ,使得 l // m ;④存在异面直线 l 、 m ,使得

l // ? , l // ? , m // ? , m // ? . 其中,可以判定 α 与 β 平行的条件有
A.1 个 B.2 个 C.3 个

( D.4 个



9.某次考试,班长算出了全班 40 人数学成绩的平均分 M ,如果把 M 当成一个同学的成绩与原来的 40 个分数加在一起,算出这 41 个分数的平均值为 N ,那么 M : N 为( ) A.40:41 B.41:40 C.2 D.1 10.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半,则此截面分圆锥的高为上 、下两段的比为( ) A. 1: ( 2 ?1) B.1:2 C.1:

2

.1:4

11.不等式 ax2+bx+c>0(a,b,c∈Z)的解集为( ? (A)10 (B)-10

1 1 , ) ,则 a+b 的值可能为( 2 3
(D)-14



(C)14

?y ? 0 y ?1 ? 12.实数 x、y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则 w ? 的取值范围 ( x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.[-1,

)

1 ] 3

B.[-

1 1 , ] 2 3

C. ??

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

D. ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
0 13.在 ? ABC 中, B ? 45 , D 是 BC 边上的一点, AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ,则 AB ?

2 2 14.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是

15.定义一种运算“ ? ”对于正整数满足以下运算性质: (1) 2 ? 2006 ? 1 ; (2) (2n ? 2) ? 2006 ? 3 ? [(2n) ? 2006] ,则 2008 ? 2006 的值是

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16

王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
·2007·

函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是 3?

(填写正确结论的序号)① ..

图象 C 关于直线 x ?

11 ? 2π ? ? π 5π ? π 对称;②图象 C 关于点 ? ,? 对称;③函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增 0 12 ? 3 ? ? 12 12 ? π 个单位长度可以得到图象 C 3
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函数;④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移

新疆奎屯
·2007·

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 log(2 x?3) ( x2 ? 3) ? 0

18.(本小题满分 12 分)已知 a ? (sin x, 3 cos x) , b ? (cosx, cos x) , f ( x) ? a ? b (1)若 a ? b ,求 x 的解集; (2)求 f (x) 的周期及增区间.

?

?

? ?

?

?

19. (本小题满分 12 分)如图,已知棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,且 AA1 ? 面 ABCD ,

?DAB ? 60? , AD ? AA1 , F 为棱 AA 的中点, M 为线段 BD1 的中点, 1
(1)求证: MF // 面 ABCD ; (2)求证: MF ? 面 BDD1 B1 . A1

D1 B1 M F D B

C1

C

A

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20.已知 A(4,1) ,B(0,4)两点和直线 L:y=3x-1 , (1)在直线 L 上找一点 M,使|MA|+|MB|最小,求出 M 点坐标和最小值; (2)在直线 L 上找一点 N,使||NA| - |NB||最大,求出 N 点坐标和最大值。

21. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项的和记为 Sn .如果 a4 ? ?12, a8 ? ?4 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求 Sn 的最小值及其相应的 n 的值; (3)从数列 {an } 中依次取出 a1 , a2 , a4 , a8 ,..., a2n?1 ,... ,构成一个新的数列 {bn } ,求 {bn } 的前 n 项和。

22.已知函数 f(x)=| -1| (1)判断 f(x)在 [1, ? ?) 上的单调性,并证明你的结论; (2)若存在实数 a、b(a<b),使得集合{y | y=f(x),a≤x≤b}=[ma,mb],求非零实数 m 的取值范围.

1 x

.

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高二数学学业水平测试答案
一、选择题 1.C 2.B 7.A 8.B 二、填空题 13. 3.C 9.D 4.B 5.C 6.B 10.A 11.D 12.D

5 6 2

14. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

15.

31003

16.①②③

三、解答题 17.解:由 ?

? x2 ? 3 ? 1

?0 ? x 2 ? 3 ? 1 或? 得 x ? 2或 3 ? x ? 2 , ? 2 x ? 3 ? 1 ?0 ? 2 x ? 3 ? 1

? x ? ( 3, 2) ? (2, ??)
18. 解: (1)? a ? b ,

?

?

? ? ?a ?b ? 0. ? ? ? a ? b ? sin x ? cos x ? 3 cos2 x

?

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?? 3 ? ? sin? 2 x ? ? ? ?0 3? 2 ?
? 2x ? ?x ?

?

?

4 ? ? ? 2k? 3 3 ? k? 或 ?



2x ?

?
3

??

?
3

? 2k?

?
3

2

? k?

? ? ? ? ? 所求解集为 ? x x ? ? k?或 ? ? k? , k ? Z ? 2 3 ? ?
(2) f ( x) ? a ? b ? sin? 2 x ?

? ?

? ?

??

3 ?? 3? 2

?T ?

2? ?? 2

? ?? ? ? f ( x) ? sin x 的增区间为 ?2k? ? ,2k? ? ? 2 2? ?
? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

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5? ? ? x ? k? ? 12 12 5? ? , k? ? ] ?k ? Z ? ? 原函数增区间为 [k? ? 12 12 19、 (1)证明:连结 AC 、 BD 交于点 O ,再连结 MO 1 1 1 ? OM // A1 A 且 OM ? A1 A , 又? AF ? A1 A , 2 2 2 ? OM // AF 且 OM ? AF ? k? ?

? 四边形 MOAF 是平行四边形,? MF // OA
又? OA ? 面 ABCD

? MF // 面 ABCD
(2)证明:? 底面是菱形, ? AC ? BD 又? B1 B ? 面 ABCD , AC ? 面 ABCD

? AC ? B1 B ,? AC ? 面 BDD1 B1
又? MF // AC

? MF ? 面 BDD1 B1
20、解: (1)直线 AB 与直线 L 的交点即为所求的点 M。 直线 AB 的方程为 y ?

?3 x?4, 4

由方程组

?3 ? 4 ?y ? x?4 得 M( ,3) 。此时|MA|+|MB|的最小值为|AB|=5 ? 4 3 ? y ? 3x ? 1 ?
(2)设 A(4,1)关于直线 L:y=3x-1 的对称点为 C(x,y)

? y ?1 ? x ? 4 ? 3 ? ?1 得 C(-2,3) ? y ?1 x?4 ? ? 3? ?1 2 ? 2
直线 BC 与 L 的交点即为所求的点 N

BC 的方程为 y ?

1 x?4 2

? y ? 3x ? 1 ? ? y ? 1 x ? 4 得 N(2,5)此时||NA| - |NB||最大即为|BC|= 5 ? 2 ?
21.(1)设公差为 d,由题意,可得

?a4 ? ?12 ?a1 ? 3d ? ?12 ? d ?2 ,解得 ? ,所以 an ? 2n ? 20 ??????4 分 ?? ? ? a1 ? ?18 ? a1 ? 7d ? ?4 ? a8 ? ?4
(2)由数列 {an } 的通项公式可知,

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当 n ? 9 时, an ? 0 ,当 n ? 10 时, an ? 0 ,当 n ? 11 时, an ? 0 。 所以当 n=9 或 n=10 时, Sn 取得最小值为 S9 ? S10 ? ?90 。??????????8 分 (3)记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,由题意可知

bn ? a2n?1 ? ?18 ? (2n?1 ?1) ? 2 ? 2n ? 20
所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? (21 ? 20) ? (22 ? 20) ? (23 ? 20) ? ? ? (2n ? 20) ? (21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 20n
? 2 ? 2n ?1 ? 20n ? 2n ?1 ? 20n ? 2 1? 2
???????????12 分

22.(1)f(x)在 [1, ? ?) 上为增函数. ∵x≥1 时,f(x)=1-

1 x

对任意的 x1,x2,当 1≤x1<x2 时 ∵x1x2>0,x1-x2<0

f(x1)- f(x2)=(1-

1 1 1 1 x1 ? x2 )-(1- )= ? ? x1 x2 x2 x1 x1 x2



x1 ? x2 ?0 x1 x2

∴f(x1)< f(x2) ∴f(x)在 [1, ? ?) 上为增函数. (2)∵a<b,ma<mb,∴m>0 ∵f(x)≥0, ∴ma≥0,又 a≠0,∴a>0 1° 0<a<b≤1,由图象知,f(x)当 x ? [a,b]递减,

?1 ? a ? 1 ? mb ? ? a ? b 与 a<b 矛盾 ∴? 1 ? ? 1 ? ma ?b ?
2° 0<a<1<b,这时 f(1)=0,则 ma=0,而 ma>0 这亦与题设不符;
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3° 1≤a<b,f(x)当 x ? [a,b]递增

? 1 ?1 ? a ? ma ? 2 可知 mx -x+1=0 在 [1, ??) 内有两不等实根 ? ?1 ? 1 ? mb ? b ?
??0


1 1 ?1 ,得 0 ? m ? 4 2m 2 m ?1 ? 1 ? 1 ? 0
1 4

综上可知 m ? (0, )

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