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高中数学基本知识基本思想基本方法1


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高 中 数 学 基 本 知 识 ·基 本 思 想 ·基 本 方 法 一、集合与简易逻辑 1.必 须 弄 清 集 合 的 元 素 是 什 么 , 是 函 数 关 系 中 自 变 量 的 取 值 ? 还 是 因 变 量 的 取

值 ? 还 是 曲 线 上 的 点 ? 如 : {x|y=lgx}, {y|y=lgx}, {( x, y) |y=lgx}.? ; 2.数 形 结 合 是 解 集 合 问 题 的 常 用 方 法 , 解 题 时 要 尽 可 能 地 借 助 数 轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形 象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决; 3.一 个 语 句 是 否 为 命 题 , 关 键 要 看 能 否 判 断 真 假 , 陈 述 句 、 反 诘 问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题; 4.判 断 命 题 的 真 假 要 以 真 值 表 为 依 据 。 原 命 题 与 其 逆 否 命 题 是 等 价 命 题 ,逆 命 题 与 其 否 命 题 是 等 价 命 题 ,一 真 俱 真 ,一 假 俱 假 , 当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假; 5.判 断 命 题 充 要 条 件 的 三 种 方 法 : 1)定 义 法 ; 2)利 用 集 合 间 ( ( 的 包 含 关 系 判 断 ,若 A ? B ,则 A 是 B 的 充 分 条 件 或 B 是 A 的 必 要 条 件 ; 若 A=B, 则 A 是 B 的 充 要 条 件 ; 3) 等 价 法 : 即 利 用 ( 等 价 关 系 " A ? B ? B ? A" 判 断 , 对 于 条 件 或 结 论 是 不 等 关 系 ( 或 否 定式)的命题,一般运用等价法; 6.( 1) 含 n 个 元 素 的 集 合 的 子 集 个 数 为 2 n ,真 子 集 ( 非 空 子 集 ) 个 数 为 2 n - 1; ( 2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; ( 3) CI ( A ? B) ? CI A ? CI B, CI ( A ? B) ? CI A ? CI B; 二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 1.复 合 函 数 的 有 关 问 题 ( 1)复 合 函 数 定 义 域 求 法 : 若 已 知 f(x)的 定 义 域 为 [ a,b],其 复 合 函 数 f[g(x)]的 定 义 域 由 不 等 式 a? g(x)? b 解 出 即 可 ;若 已 知 f[g(x)]的 定 义 域 为 [a,b],求 f(x)的 定 义 域 ,相 当 于 x∈ [a,b] 时 , 求 g(x)的 值 域 ( 即 f(x)的 定 义 域 ) ; ( 2) 复 合 函 数 的 单 调 性 由 “ 同 增 异 减 ” 判 定 ; 2.函 数 的 奇 偶 性 ( 1) 若 f(x)是 偶 函 数 , 那 么 f(x)=f(- x)= f ( x ) ;
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( 2) 定 义 域 含 零 的 奇 函 数 必 过 原 点 ( 可 用 于 求 参 数 ) ; ( 3) 判 断 函 数 奇 偶 性 可 用 定 义 的 等 价 形 式 : f(x)±f(-x)=0 或
f (? x) ? ?1 ( f(x)≠ 0) ; f ( x)

(4)若 所 给 函 数 的 解 析 式 较 为 复 杂 ,应 先 化 简 ,再 判 断 其 奇 偶 性 ; ( 5)奇 函 数 在 对 称 的 单 调 区 间 内 有 相 同 的 单 调 性 ;偶 函 数 在 对 称 的单调区间内有相反的单调性; 3.函 数 图 像 ( 或 方 程 曲 线 的 对 称 性 ) (1)证 明 函 数 图 像 的 对 称 性 , 即 证 明 图 像 上 任 意 点 关 于 对 称 中 心 (对称轴)的对称点仍在图像上; ( 2) 证 明 图 像 C 1 与 C 2 的 对 称 性 , 即 证 明 C 1 上 任 意 点 关 于 对 称 中 心 ( 对 称 轴 ) 的 对 称 点 仍 在 C2 上 , 反 之 亦 然 ; ( 3) 曲 线 C 1 : f(x,y)=0,关 于 y=x+a(y=- x+a)的 对 称 曲 线 C 2 的 方 程 为 f(y- a,x+a)=0(或 f(- y+a,- x+a)=0); ( 4) 曲 线 C 1 :f(x,y)=0 关 于 点 ( a,b) 的 对 称 曲 线 C 2 方 程 为 : f(2a- x,2b- y)=0; ( 5) 若 函 数 y=f(x)对 x∈ R 时 , f(a+x)=f(a- x)恒 成 立 , 则 y=f(x)图 像 关 于 直 线 x=a 对 称 ; ( 6) 数 y=f(x- a)与 y=f(b- x)的 图 像 关 于 直 线 x= 函
a?b 对称; 2

4.函 数 的 周 期 性 (1)y=f(x)对 x∈ R 时 , f(x +a)=f(x- a) 或 f(x- 2a )=f(x) (a>0)恒 成 立 ,则 y=f(x)是 周 期 为 2a 的 周 期 函 数 ; ( 2)若 y=f(x)是 偶 函 数 ,其 图 像 又 关 于 直 线 x=a 对 称 ,则 f(x) 是 周 期 为 2︱ a︱ 的 周 期 函 数 ; ( 3) 若 y=f(x)奇 函 数 , 其 图 像 又 关 于 直 线 x=a 对 称 , 则 f(x) 是 周 期 为 4︱ a︱ 的 周 期 函 数 ; ( 4)若 y=f(x)关 于 点 (a,0),(b,0)对 称 ,则 f(x)是 周 期 为 2 a ? b 的周期函数; ( 5) y=f(x)的 图 象 关 于 直 线 x=a,x=b(a≠ b)对 称 , 则 函 数 y=f(x)是 周 期 为 2 a ? b 的 周 期 函 数 ; ( 6) y=f(x)对 x∈ R 时 , f(x+a)=- f(x)(或 f(x+a)= ? 1 ,
f ( x)

则 y=f(x)是 周 期 为 2 a 的 周 期 函 数 ; 5.方 程 k=f(x)有 解 ? k∈ D(D 为 f(x)的 值 域 );

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6.a? f(x) ? a? [ f(x)] m ax, ;

a? f(x) ? a? [ f(x)] m in ;

7.( 1) loga b ? logan b n (a>0,a≠ 1,b>0,n∈ R + ); (2) l og
a

N=

lo gb N ( a>0,a≠ 1,b>0,b≠ 1); lo gb a

(3) l og a b 的 符 号 由 口 诀 “ 同 正 异 负 ” 记 忆 ; (4) a log a N = N ( a>0,a≠ 1,N>0 ); 8.能 熟 练 地 用 定 义 证 明 函 数 的 单 调 性 , 求 反 函 数 , 判 断 函 数 的 奇 偶性。 9.判 断 对 应 是 否 为 映 射 时 , 抓 住 两 点 : 1) A 中 元 素 必 须 都 有 象 ( 且 唯 一 ; 2) B 中 元 素 不 一 定 都 有 原 象 , 并 且 A 中 不 同 元 素 在 B ( 中可以有相同的象; 10.对 于 反 函 数 , 应 掌 握 以 下 一 些 结 论 : 1) 定 义 域 上 的 单 调 函 ( 数 必 有 反 函 数 ; 2)奇 函 数 的 反 函 数 也 是 奇 函 数 ; 3)定 义 域 为 ( ( 非 单 元 素 集 的 偶 函 数 不 存 在 反 函 数 ; 4)周 期 函 数 不 存 在 反 函 数 ; ( ( 5) 互 为 反 函 数 的 两 个 函 数 具 有 相 同 的 单 调 性 ; (5) y=f(x)与 y=f -1 (x)互 为 反 函 数 , 设 f(x)的 定 义 域 为 A, 值 域 为 B, 则 有 f[f -1 (x)]=x(x∈ B),f -1 [f(x)]=x(x∈ A). 11.处 理 二 次 函 数 的 问 题 勿 忘 数 形 结 合 ; 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 必 有 最 值 ,求 最 值 问 题 用“ 两 看 法 ” :一 看 开 口 方 向 ;二 看 对 称 轴 与 所给区间的相对位置关系; 12.恒 成 立 问 题 的 处 理 方 法 : 1) 分 离 参 数 法 ; 2) 转 化 为 一 元 ( ( 二 次 方 程 的 根 的 分 布 列 不 等 式 (组 )求 解 ; 13.依 据 单 调 性 , 利 用 一 次 函 数 在 区 间 上 的 保 号 性 可 解 决 求 一 类 参数的范围问题:

?f(a) ? 0 ?f(a) ? 0 f (u) ? g ( x)u ? h( x) ? 0(或 ? 0) ? u ? b) ? ? (a (或? ); f(b) ? 0 ?f(b) ? 0 ?
14.掌 握 函 数 y ? 函 数 (b – ac≠ 0)
ax ? b b ? ac ?a? (b ? ac ? 0); y ? x ? x?c x?c ax ? b b ? ac y? ? a? x?c x?c c (c ? 0) 的 图 象 和 性 质 ; x a y ? x ? (a ? 0 ) x

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定 义 域 值 域 奇 偶 性

(??,?c) ? (c,??) (??, a) ? (a,??)

(??,0) ? (0,??)

(??,?2 a ] ? [2 a ,??)
奇函数 在 (??,? a ],[ a ,??) 上单调递增; 在 [? a, 0),(0, a ] 上 单 调递增;

非奇非偶函数 当 b-ac>0 时 : 分别在

单 调 性

(??,?c), (c,??) 上 单 调

递减; 当 b-ac<0 时 : 分别在
(??,?c), (c,??) 上 单 调

递增;
y y o X=-c o X x



Y= a



三、数列 1.由 S n 求 a n , a n ={
S1 (n ? 1) Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N * )

注 意 验 证 a1 是 否 包 含 在

后 面 a n 的 公 式 中 ,若 不 符 合 要 单 独 列 出 。一 般 已 知 条 件 中 含 a n 与 Sn 的 关 系 的 数 列 题 均 可 考 虑 用 上 述 公 式 ; 2.等 差 数 列
{an} an ? an ?1 ? d (d为常数) 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N*) ? ?

? an ? an ? b ? sn ? An2 ? Bn ;

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3.等 比 数 列 {a n } ? a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N) ? a n ? a1 ? q n-1 ;
2

4.首 项 为 正( 或 为 负 )的 递 减( 或 递 增 )的 等 差 数 列 前 n 项 和 的 最 大 ( 或 最 小 ) 问 题 , 转 化 为 解 不 等 式 ?an ? 0 ? 或 ?an ? 0 ? 解 决 ; ? ? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ? 5.熟 记 等 差 、等 比 数 列 的 定 义 ,通 项 公 式 ,前 n 项 和 公 式 ,在 用 等比数列前 n 项和公式时,勿忘分类讨论思想; 6.等 差 数 列 中 , a m =a n + (n- m)d, a n =a m q n-m ; q= n ? m a n ;
am
d? am ? an m?n

; 等比数列中,

7.当 m+n=p+q( m、n、p、q∈ N * )时 ,对 等 差 数 列{ a n }有 : a m +a n =a p +a q ; 对 等 比 数 列 { a n } 有 : a m a n =a p a q ; 8.若 {a n }、{b n }是 等 差 数 列 ,则 {ka n +bb n }(k、b、a 是 非 零 常 数 )是 等 差 数 列 ;若 {a n }、{b n }是 等 比 数 列 ,则{ ka n } 、{a n b n } 等也是等比数列; 9.等 差( 或 等 比 )数 列 的“ 间 隔 相 等 的 连 续 等 长 片 断 和 序 列 ” 如 ( a 1 +a 2 +a 3 ,a 4 +a 5 +a 6 ,a 7 +a 8 +a 9 …) 仍 是 等 差 ( 或 等 比 ) 数 列 ; 10.对 等 差 数 列 { a n } ,当 项 数 为 2n 时 , S 偶 — S 奇 = nd; 项 数 为 2n- 1 时 , S 奇 - S 偶 = a 中 ( n∈ N*) ; 11.若 一 阶 线 性 递 归 数 列 a n =ka n - 1 +b( k≠ 0,k≠ 1) ,则 总 可 以 将 其 改 写 变 形 成 如 下 形 式 : an ? b ? k (an ?1 ? b ) (n? 2), 于 是 可 依 据
k ?1 k ?1

等比数列的定义求出其通项公式; 四、三角函数 1.三 角 函 数 符 号 规 律 记 忆 口 诀 : 一 全 正 , 二 正 弦 , 三 是 切 , 四 余 弦; 2.对 于 诱 导 公 式 , 可 用 “ 奇 变 偶 不 变 , 符 号 看 象 限 ” 概 括 ; 3.记 住 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 , 熟 练 掌 握 三 角 函 数 的 定 义 、 图 像、性质; 4.熟 知 正 弦 、 余 弦 、 正 切 的 和 、 差 、 倍 公 式 , 正 余 弦 定 理 , 处 理 三 角 形 内 的 三 角 函 数 问 题 勿 忘 三 内 角 和 等 于 180 0 , 一 般 用 正 余 弦定理实施边角互化; 5.正 弦 型 函 数 y ? A sin(?x ? ? ) 的 对 称 轴 为
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x?

k? ?

?
2

??

?

(k ? Z ) ; 对

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称中心为 (

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ;类 似 可 得 余 弦 函 数 型 的 对 称 轴 和 对 称 中 ?

心; 6.( 1) 正 弦 平 方 差 公 式 : sin 2 A- sin 2 B=sin(A+B)sin(A- B); ( 2) 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 r= 径 2R=
2 S ?A B C ; 3) 三 角 形 的 外 接 圆 直 ( a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

五、平面向量 1.两 个 向 量 平 行 的 充 要 条 件 ,设 a=(x 1 ,y 1 ),b=(x 2 ,y 2 ), ? 为 实 数 。 1)向 量 式 :a∥ b(b≠ 0) ? a= ? b;( 2)坐 标 式 :a∥ b(b ( ≠ 0) ? x 1 y 2 - x 2 y 1 =0; 2.两 个 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 , 设 a=(x 1 ,y 1 ),b=(x 2 ,y 2 ), ( 1) 向 量 式 : a⊥ b(b≠ 0) ? a ? b=0; ( 2) 坐 标 式 : a⊥ b ? x 1 x 2 +y 1 y 2 =0; 3.设 a=(x 1 ,y 1 ),b=(x 2 ,y 2 ),则 a ? b= a b cos? =x 1 x 2 +y 1 y 2 ;其 几何意义是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; 4.设 A( x 1 ,x 2 ) B(x 2 ,y 2 ), 则 S ⊿ AOB = 1 x1 y 2 ? x 2 y1 ; 、
2

5.平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 : ( 1) 若 a=(x 1 ,y 1 ),b=(x 2 ,y 2 ),则 a ? b=x 1 x 2 +y 1 y 2 ; AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;
? ( 2) 若 a=(x,y),则 a 2 =a ? a=x 2 +y 2 , a ? x2 ? y2 ;

六、不等式 1.掌 握 不 等 式 性 质 , 注 意 使 用 条 件 ; 2.掌 握 几 类 不 等 式 ( 一 元 一 次 、 二 次 、 绝 对 值 不 等 式 、 简 单 的 指 数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数 的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法; 3.掌 握 用 均 值 不 等 式 求 最 值 的 方 法 , 在 使 用 a+b? ;注 意 均 值 不 等 式 2 ab (a>0,b>0)时 要 符 合“ 一 正 二 定 三 相 等 ”
2 2 的 一 些 变 形 , 如 a ? b ? ( a ? b ) 2 ; ab ? ( a ? b ) 2 ;

2

2

2

七、直线和圆的方程

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1.设 三 角 形 的 三 个 顶 点 是 A( x 1 ,y 1 ) B(x 2 ,y 2 )、 C( x 3 ,y 3 ) , 、 则 ⊿ ABC 的 重 心 G 为 ( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y 2 ? y3 ) ;
3 3

2.直 线 l 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0 与 l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 =0 垂 直 的 充 要 条 件 是 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0; 3.两 条 平 行 线 Ax+By+C 1 =0 与 Ax+By+C 2 =0 的 距 离 是
d ? C1 ? C 2 A2 ? B 2



4.Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 表 示 圆 的 充 要 条 件 :A=C≠ 0 且 B=0 且 D 2 +E 2 - 4AF>0; 5.过 圆 x 2 +y 2 =r 2 上 的 点 M(x 0 ,y 0 )的 切 线 方 程 为 : 0 x+y 0 y=r 2 ; x 6.以 A(x 1 , y 2 )、 B(x 2 ,y 2 )为 直 径 的 圆 的 方 程 是 (x- x 1 )(x- x 2 )+(y- y 1 )(y- y 2 )=0; 7.求 解 线 性 规 划 问 题 的 步 骤 是 : 1)根 据 实 际 问 题 的 约 束 条 件 列 ( 出 不 等 式 ; 2)作 出 可 行 域 ,写 出 目 标 函 数 ; 3)确 定 目 标 函 数 ( ( 的最优位置,从而获得最优解; 八、圆锥曲线方程
2 2 1.椭 圆 焦 半 径 公 式 :设 P( x 0 ,y 0 )为 椭 圆 x 2 ? y 2 ? 1( a>b>0)上

a

b

任 一 点 ,焦 点 为 F 1 (-c,0),F 2 (c,0),则 PF ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0( e 1 为离心率) ;
2 2 2.双 曲 线 焦 半 径 公 式 : P x 0 ,y 0 ) 双 曲 线 x 2 ? y 2 ?( a>0,b>0) 设 ( 为 1

a

b

上 任 一 点 , 焦 点 为 F 1 (-c,0),F 2 (c,0),则 : ( 1) 当 P 点 在 右 支 上 时 , PF ? a ? ex0 , PF2 ? ?a ? ex0 ; 1 ( 2) 当 P 点 在 左 支 上 时 , PF ? ?a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 ; e 为 离 心 ( 1 率) ;
2 2 2 2 另 :双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1( a>0,b>0)的 渐 进 线 方 程 为 x 2 ? y 2 ? 0 ;

a

b

3.抛 物 线 焦 半 径 公 式 : 设 P( x 0 ,y 0 ) 为 抛 物 线 y =2px(p>0)上 p 任 意 一 点 , F 为 焦 点 , 则 PF ? x 0 ? ; y 2 =2px(p< 0)上 任 意 一 2
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2

a

b

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p ; 2 4.涉 及 圆 锥 曲 线 的 问 题 勿 忘 用 定 义 解 题 ;

点 , F 为 焦 点 , 则 PF ? ? x0 ?

2 2 b 5.共 渐 进 线 y ? ? x 的 双 曲 线 标 准 方 程 为 x 2 ? y 2 ? ? (? 为 参 数 , ? ≠

a

a

b

0) ; 6.计 算 焦 点 弦 长 可 利 用 上 面 的 焦 半 径 公 式 , 一 般 地 ,若 斜 率 为 k 的 直 线 被 圆 锥 曲 线 所 截 得 的 弦 为 AB, A、 B 两 点 分 别 为 A(x 1 , y 1 )、 B(x 2 ,y 2 ), 则 弦 长
AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ,这 里 体 现 了 解 析 几 何 2 k k
2b 2 a
2

“设而不求”的解题思想; 7.椭 圆 、双 曲 线 的 通 径( 最 短 弦 )为 ,焦 准 距 为 p= b ,抛 物
2

c
2

线 的 通 径 为 2p,焦 准 距 为 p; 双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1( a>0,b>0)的
a b

焦 点 到 渐 进 线 的 距 离 为 b; 8.中 心 在 原 点 , 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 , 双 曲 线 方 程 可 设 为 Ax 2 +Bx 2 = 1; 9.抛 物 线 y 2 =2px(p>0)的 焦 点 弦 ( 过 焦 点 的 弦 ) 为 AB, A ( x 1 ,y 1 ) B(x 2 ,y 2 ),则 有 如 下 结 论 : 1) AB = x 1 +x 2 +p;( 2) 、 (
2 y 1 y 2 =- p 2 , x 1 x 2 = p ;

4

10.过 椭 圆 x 2 ? y 2 ? 1 ( a>b>0) 左 焦 点 的 焦 点 弦 为 AB, 则
a b

2

2

AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) , 过 右 焦 点 的 弦 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ;
2 y0 11.对 于 y =2px(p≠ 0)抛 物 线 上 的 点 的 坐 标 可 设 为( ,y 0 ), 2p

2

以简化计算; 12.处 理 椭 圆 、双 曲 线 、抛 物 线 的 弦 中 点 问 题 常 用 代 点 相 减 法 ,设
2 2 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )为 椭 圆 x 2 ? y 2 ? 1( a>b>0)上 不 同 的 两 点 ,

a

b

2 2 2 M(x 0 ,y 0 )是 AB 的 中 点 , 则 K AB K OM = ? b 2 ; 对 于 双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1

a

a

b

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2

( a>0, b>0) 类 似 可 得 : K AB .K OM = b 2 ; 对 于 y 2 =2px(p≠ 0) ,
a

抛 物 线 有 K AB =

2p y1 ? y 2

13.求 轨 迹 的 常 用 方 法 : ( 1)直 接 法 :直 接 通 过 建 立 x、y 之 间 的 关 系 ,构 成 F(x,y)= 0, 是求轨迹的最基本的方法; ( 2) 待 定 系 数 法 : 所 求 曲 线 是 所 学 过 的 曲 线 : 如 直 线 , 圆 锥 曲 线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定 系数,代回所列的方程即可; ( 3)代 入 法( 相 关 点 法 或 转 移 法 ) :若 动 点 P(x,y)依 赖 于 另 一 动 点 Q(x 1 ,y 1 )的 变 化 而 变 化 , 并 且 Q(x 1 ,y 1 )又 在 某 已 知 曲 线 上 , 则 可 先 用 x、y 的 代 数 式 表 示 x 1 、y 1 ,再 将 x 1 、y 1 带 入 已 知 曲 线 得要求的轨迹方程; ( 4)定 义 法 :如 果 能 够 确 定 动 点 的 轨 迹 满 足 某 已 知 曲 线 的 定 义 , 则可由曲线的定义直接写出方程; ( 5) 参 数 法 : 当 动 点 P( x,y) 坐 标 之 间 的 关 系 不 易 直 接 找 到 , 也 没 有 相 关 动 点 可 用 时 ,可 考 虑 将 x、y 均 用 一 中 间 变 量( 参 数 ) 表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 九、直线、平面、简单几何体 1.从 一 点 O 出 发 的 三 条 射 线 OA、OB、OC,若 ∠ AOB=∠ AOC, 则 点 A 在 平 面 ∠ BOC 上 的 射 影 在 ∠ BOC 的 平 分 线 上 ; 2. 已 知 :直 二 面 角 M- AB- N 中 , AE ? M, ? N,∠ EAB= ? 1 , BF ∠ ABF= ? 2 , 面 直 线 AE 与 BF 所 成 的 角 为 ? , c ? ? c ?1 c ? 2; 异 则o s o s o s 3.立 平 斜 公 式 : 如 图 , AB 和 平 面 所 成 的 角 是 ? 1 , AC 在 平 面 内 , AC 和 AB 的 射 影 AB 成 ? 2 , ∠ BAC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; 设 4.异 面 直 线 所 成 角 的 求 法 : ( 1) 平 移 法 : 在 异 面 直 线 中 的 一 条 直 线 中 选 择 一 特 殊 点 , 作 另 一条的平行线; ( 2) 补 形 法 : 把 空 间 图 形 补 成 熟 悉 的 或 完 整 的 几 何 体 , 如 正 方 体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线 间的关系; 5.直 线 与 平 面 所 成 的 角
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斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别 是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜 线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生 线面角的关键; 6.二 面 角 的 求 法 ( 1)定 义 法 :直 接 在 二 面 角 的 棱 上 取 一 点( 特 殊 点 ) ,分 别 在 两 个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察 图形的特性; ( 2)三 垂 线 法 :已 知 二 面 角 其 中 一 个 面 内 一 点 到 一 个 面 的 垂 线 , 用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角; ( 3) 垂 面 法 : 已 知 二 面 角 内 一 点 到 两 个 面 的 垂 线 时 , 过 两 垂 线 作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二 面角的平面角所在的平面与棱垂直; ( 4)射 影 法 :利 用 面 积 射 影 公 式 S 射 = S 原 cos ? ,其 中 ? 为 平 面 角 的大小,此方法不必在图形中画出平面角; 特 别 :对 于 一 类 没 有 给 出 棱 的 二 面 角 ,应 先 延 伸 两 个 半 平 面 ,使 之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 7.空 间 距 离 的 求 法 ( 1) 两 异 面 直 线 间 的 距 离 , 高 考 要 求 是 给 出 公 垂 线 , 所 以 一 般 先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算; ( 2) 求 点 到 直 线 的 距 离 , 一 般 用 三 垂 线 定 理 作 出 垂 线 再 求 解 ; ( 3) 求 点 到 平 面 的 距 离 , 一 是 用 垂 面 法 , 借 助 面 面 垂 直 的 性 质 来作,因此,确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转 化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解; 8.正 棱 锥 的 各 侧 面 与 底 面 所 成 的 角 相 等 ,记 为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; 9.已 知 :长 方 体 的 体 对 角 线 与 过 同 一 顶 点 的 三 条 棱 所 成 的 角 分 别 为

? , ? , ? , 因 此 有 cos 2 ? +cos 2 ? +cos 2 ? =1; 若 长 方 体 的 体 对 角 线 与
过 同 一 顶 点 的 三 侧 面 所 成 的 角 分 别 为 ?, ? ,? , 则 有 cos 2 ? +cos 2 ? +cos 2 ? =2; 10.正 方 体 和 长 方 体 的 外 接 球 的 直 径 等 与 其 体 对 角 线 长 ; 11.欧 拉 公 式 : 如 果 简 单 多 面 体 的 顶 点 数 为 V,面 数 为 F,棱 数 为 E. 那 么 V+F- E=2; 并 且 棱 数 E= 各 顶 点 连 着 的 棱 数 和 的 一 半 = 各 面边数和的一半; 12.球 的 体 积 公 式 V= ?R 3 ,表 面 积 公 式 S ? 4?R 2 ; 掌 握 球 面 上 两
4 3

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点 A、 B 间 的 距 离 求 法 : 1) 计 算 线 段 AB 的 长 , 2) 计 算 球 心 ( ( 角 ∠ AOB 的 弧 度 数 ; (3)用 弧 长 公 式 计 算 劣 弧 AB 的 长 ; 十、排列组合和概率
m 1.排 列 数 公 式 : An =n(n-1)(n-2)? (n-m+ 1)=

n! ( n ? m )! (m? n,m、

n n∈ N*),当 m=n 时 为 全 排 列 An =n(n-1)(n-2)? 3.2.1;
m 2.组 合 数 公 式 : Cnm ? An ?

m!

n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) ( m? m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1

0 n n) , Cn ? Cn ? 1;

m n ?m r r ?1 r 3.组 合 数 性 质 : Cn ? Cn ; Cn ? Cn ? Cn?1 ;

4.常 用 性 质 : n.n!=(n+1)!-n!;即
r ?1 n n?1 n nAn ? An?1 ? An ; Crr ? Crr?1 ? ? ? ? ? Cn ? Crr?1 ; ( 1? r? n) ;

5. 二 项 式 定 理 :( 1 ) 掌 握 二 项 展 开 式 的 通 项 :
r Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,1,2,...,n);

( 2) 注 意 第 r+ 1 项 二 项 式 系 数 与 第 r+ 1 系 数 的 区 别 ; 6.二 项 式 系 数 具 有 下 列 性 质 : (1) 与首末两端等距离的二项式系数相等; n (2) 若 n 为 偶 数 ,中 间 一 项( 第 + 1 项 )的 二 项 式 系 数 最 大 ;若 2 n ?1 n ?1 n 为奇数,中间两项(第 和 +1 项)的二项式系数最大; 2 2
0 1 2 n 0 2 1 3 ( 3) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1 ;

7.F(x)=(ax+b) n 展 开 式 的 各 项 系 数 和 为 f(1);奇 数 项 系 数 和 为 1 1 [ f (1) ? f ( ?1)] ; 偶 数 项 的 系 数 和 为 [ f (1) ? f (?1)] ; 2 2 8.等 可 能 事 件 的 概 率 公 式 : 1) P( A) = n ; 2) 互 斥 事 件 分 ( (
m

别 发 生 的 概 率 公 式 为 : P(A+B)=P(A)+P(B); 3) 相 互 独 立 事 ( 件 同 时 发 生 的 概 率 公 式 为 P(AB)= P(A)P(B); 4) 独 立 重 复 试 (
k 验 概 率 公 式 Pn(k)= Cn ? p k (1 ? p) n?k ; (5)如 果 事 件 A、 B 互 斥 , 那

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么 事 件 A 与 B 、 A 与 B 及 事 件 A 与 B 也 都 是 互 斥 事 件 ; 6)如 果 ( 事 件 A、 B 相 互 独 立 , 那 么 事 件 A、 B 至 少 有 一 个 不 发 生 的 概 率 是 1- P( AB)= 1- P(A)P(B); 6)如 果 事 件 A、B 相 互 独 立 , ( 那 么 事 件 A、 B 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 是 1- P( A ? B ) = 1- P( A )P( B ); 理科选修内容基本知识 十、概率与统计 1.理 解 随 机 变 量 , 离 散 型 随 机 变 量 的 定 义 , 能 够 写 出 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 ,由 概 率 的 性 质 可 知 ,任 意 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 都 具 有 下 述 两 个 性 质 : 1) p i ? 0,i=1,2,? ; (2) p 1 +p 2 +? ( =1; 2.二 项 分 布 : 记 作 ? ~ B( n,p) ,其 中 n,p 为 参 数 ,
k k P(? ? k ) ? Cn p k q n?k , 并 记 Cn p k q n?k ? b(k; n, p) ;

3.记 住 以 下 重 要 公 式 和 结 论 :

?
1

x
2

X

?
n

x

?

P
1

P
2

P

? n

P

?

( 1) 期 望 值 E ? = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ? + x n p n + ? ; ( 2) 方 差 D ? = ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ? ? ? ? ? ( xn ? E? )2 pn ? ? ? ? ; ( 3) 标 准 差 ?? ? D? ; E(a? ? b) ? aE? ? b; D(a? ? b) ? a2 D? ; ( 4) 若 ? ~ B( n,p) ,则 E ? = np, D ? = npq,这 里 q=1- p; 4.掌 握 抽 样 的 三 种 方 法 : 1)简 单 随 机 抽 样( 包 括 抽 签 法 和 随 机 ( 数 表 法 ) ( 2) 系 统 抽 样 , 也 叫 等 距 离 抽 样 ; 3) 分 层 抽 样 , 常 ; ( 用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形; 5.总 体 分 布 的 估 计 : 用 样 本 估 计 总 体 , 是 研 究 统 计 问 题 的 一 个 基 本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求 能画出频率分布表和频率分布直方图;

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( x?? )2

6.正 态 总 体 的 概 率 密 度 函 数 : f ( x) ?

1 2? ?

e

2? 2

, x ? R, 式 中 ? , ? 是 参

数,分别表示总体的平均数与标准差; 7.正 态 曲 线 的 性 质 : 1)曲 线 在 x= ? 时 处 于 最 高 点 ,由 这 一 点 ( 向 左 、向 右 两 边 延 伸 时 ,曲 线 逐 渐 降 低 ; 2)曲 线 的 对 称 轴 位 置 ( 由确定;曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;反过来曲线越 高 瘦 ; 3) 曲 线 在 x 轴 上 方 , 并 且 关 于 直 线 x= ? 对 称 ; ( 8. 利 用 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 数 值 表 计 算 一 般 正 态 分 布 x?? ?t 而 得 N (?,? 2 ) 的 概 率 P ( x 1 < ? <x 2 ) , 可 由 变 换 ?
F ( x) ? ? ( x??

?

) , 于 是 有 P( x 1 < ? <x 2 ) = ? (

x2 ? ?

?

) ? ?(

x1 ? ?

?

);

9.假 设 检 验 的 基 本 思 想 : 1)提 出 统 计 假 设 ,确 定 随 机 变 量 服 从 ( 正 态 分 布 N (?,? 2 ) ; 2) 确 定 一 次 试 验 中 的 取 值 a 是 否 落 入 范 围 (
(? ? 3? , ? ? 3? ) ; 3)作 出 推 断 :如 果 a∈ (? ? 3? , ? ? 3? ) ,接 受 统 (

计 假 设 ; 如 果 a ? (? ? 3? , ? ? 3? ) ,由 于 这 是 小 概 率 事 件 , 就 拒 绝 假 设; 十一、极限 1.与 自 然 数 有 关 的 命 题 常 用 数 学 归 纳 法 证 明 ,其 步 骤 是 : 1)验 ( 证 命 题 对 于 第 一 个 自 然 数 n= n 0 (k? n 0 )时 成 立 ; (2)假 设 n=k 时 成 立 , 从 而 证 明 当 n=k+1 时 命 题 也 成 立 , 3) 得 出 结 论 。 数 ( 学归纳法是一种完全归纳法,其中两步在推理中的作用是:第一 步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不可。第二步 证明时要一凑假设,二凑结论; 2. 数 列 极 限( 1)掌 握 数 列 极 限 的 直 观 描 述 性 定 义 ; 2)掌 握 数 ( 列 极 限 的 四 则 运 算 法 则 ,注 意 其 适 用 条 件 :一 是 数 列{ a n }{b n } 的极限都存在;二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对 于 无 限 个 数 列 的 和 ( 或 积 ) 应 先 求 和 ( 或 积 ) 再 求 极 限 ; 3) , , ( 常 用 的 几 个 数 列 极 限 :lim C ? C( C 为 常 数 ) lim ;
n ??
n ??

1 ?0 n

,lim q n ? 0
n ??

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( a <1,q 为 常 数 ) ; (4) 无 穷 递 缩 等 比 数 列 各 项 和 公 式
S ? lim Sn ?
n ??

a1 1? q

( 0< q ? 1 ) ;

3.函 数 的 极 限 : ( 1) 当 x 趋 向 于 无 穷 大 时 , 函 数 的 极 限 为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a
n ? ?? n ? ??

( 2) 当 x ? x0 时 函 数 的 极 限 为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a : ? ?
x ? x0 x ? x0

( 3) 掌 握 函 数 极 限 的 四 则 运 算 法 则 ; 4.函 数 的 连 续 性 : 1) 如 果 对 函 数 f(x)在 点 x=x 0 处 及 其 附 近 有 ( 定 义 , 而 且 还 有 lim f ( x) ? f ( x0 ) , 就 说 函 数 f(x)在 点 x 0 处 连 续 ;
x ? x0

( 2) 若 f(x)与 g(x)都 在 点 x 0 处 连 续 , 则 f(x)± g(x),f(x)g(x),
f ( x) (g(x)≠ 0)也 在 点 x 0 处 连 续 ; 3) 若 u(x) ( g ( x)

在 点 x 0 处 连 续 , f(u)在 u 0 =u(x 0 )处 连 续 , 复 合 函 数 f[u(x)] 且 则 在 点 x0 处 也 连 续 ; 5.初 等 函 数 的 连 续 性 : ① 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 三 角 函 数 等 都 属 于 基 初 等 函 数 ,基 本 初 等 函 数 在 定 义 域 内 每 一 点 处 都 连 续 ;② 基 本 初 等 函 数 及 常 数 函 数 经 有 限 次 四 则 运 算 和 复 合 后 所 得 到 的 函 数 ,都 是 初 等 函 数 .初 等 函 数 在 定 义 域 内 每 一 点 处 都 连 续 ;③ 连 续 函 数 的 极 限 运 算 :如 果 函 数 在 点 x 0 处 有 极 限 , 那 么 lim f ( x) ? f ( x0 ) ;
x ? x0

十二、导数 1.导 数 的 定 义 : f(x)在 点 x 0 处 的 导 数 记 作
y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

2.根 据 导 数 的 定 义 , 求 函 数 的 导 数 步 骤 为 : ( 1) 求 函 数 的 增 量 ( 2) ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求 平 均 变 化 率 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?x ?x

( 3) 取 极 限 ,得 导 数 f ?( x) ? lim ?y ; ?x ? 0
?x

3.可 导 与 连 续 的 关 系 : 如 果 函 数 y=f(x)在 点 x 0 处 可 导 , 那 么 函 数 y=f(x)在 点 x 0 处 连 续 ; 但 是 y=f(x)在 点 x 0 处 连 续 却 不 一 定 可导;

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4.导 数 的 几 何 意 义 : 曲 线 y= f( x) 在 点 P( x 0 ,f(x 0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ?( x0 ).相 应 地 , 切 线 方 程 是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ); 5.导 数 的 四 则 运 算 法 则 : (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ? 6.常 见 函 数 的 导 数 公 式 : C? ? 0(C为常数);(xm )? ? mxm-1 (m ? Q);(sinx)? ? cosx;
(cosx )? ? -sinx; (e x )? ? e x ; (a x ) ? a x lna; (lnx )? ? 1 1 x ; (log a )? ? log e ; a x x

u v

u ?v ? uv ? ; v2

? x 7.复 合 函 数 的 导 数 : y ? ? yu ? u ? ; x

8.导 数 的 应 用 : ( 1)利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 :设 函 数 y= f( x)在 某 个 区 间 内 可 导 , 果 f ?( x) ? 0, 那 么 f(x)为 增 函 数 ; 果 f ?( x) ? 0, 那 么 f(x) 如 如 为 减 函 数 ; 如 果 在 某 个 区 间 内 恒 有 f ?( x) ? 0, 那 么 f(x)为 常 数 ; ( 2)求 可 导 函 数 极 值 的 步 骤 :① 求 导 数 f ?(x) ;② 求 方 程 f ?( x) ? 0 的 根 ; ③ 检 验 f ?(x) 在 方 程 f ?( x) ? 0 根 的 左 右 的 符 号 , 如 果 左 正 右 负 ,那 么 函 数 y=f(x)在 这 个 根 处 取 得 最 大 值 ;如 果 左 负 右 正 ,那 么 函 数 y=f(x)在 这 个 根 处 取 得 最 小 值 ; ( 3) 求 可 导 函 数 最 大 值 与 最 小 值 的 步 骤 : ① 求 y=f(x)在 (a,b) 内 的 极 值 ;② 将 y=f(x)在 各 极 值 点 的 极 值 与 f( a) 、f( b)比 较 , 其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。 十四、复数 1.理 解 复 数 、 实 数 、 虚 数 、 纯 虚 数 、 模 、 辐 角 、 辐 角 主 值 、 共 轭 复数的概念和复数的几何表示; 2.熟 练 掌 握 、 灵 活 运 用 以 下 结 论 : (1)a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈ R);(2)复 数 是 实 数 的 条 件 : z=a+bi∈ R ? b=0 ① 2 (a,b∈ R);② z∈ R ? z= z ;③ z∈ R ? z ? 0; 3.复 数 是 纯 虚 数 的 条 件 : ① z=a+bi 是 纯 虚 数 ? a=0 且 b≠ 0(a,b∈ R); ② z 是 纯 虚 数 ? z+ z = 0( z≠ 0) ;③ z 是 纯 虚 数 ? z 2 <0; 4.解 答 复 数 问 题 , 要 学 会 从 整 体 的 角 度 出 发 去 分 析 和 求 解 ( 整 体
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思 想 贯 穿 整 个 复 数 内 容 ) 如 果 遇 到 复 数 就 设 z=a+bi(a,b∈ R), 。 则有时会给问题的解答带来不必要的运算上困难,若能把握住复 数的整体性质,充分运用整体思想,则能事半功倍; 5.复 数 的 代 数 形 式 及 其 运 算 : 1) 复 数 的 加 、减 、 乘 、 除 运 算 按 ( 以 下 法 则 进 行 , 设 z 1 = a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d∈ R) ; z 1 ± z 2 = (a + b) ± (c + d)i. z 1 .z 2 = (a+bi)· (c+di)=( ac-bd)+ (ad+bc)I ; z 1 ÷z 2 = ac ? bd ? bc ? ad i (z 2 2 2 2 2
c ?d c ?d

≠ 0) ; 6.几 个 重 要 的 结 论 :
(1) z1 ? z 2
2

? z1 ? z 2

2

? 2( z1 ? z 2 ); (2) z ? z ? z ? z ; (3)若z为虚数,则 z ? z 2 ;
2 2 2 2 2

6.运 算 律 仍 然 成 立 : 1) (
z m ? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z 2 ) m ? z1 z 2 (m, n ? N );
m m

7.进 行 复 数 的 运 算 时 , 常 要 注 意 i, ?的性质, 或 适 当 变 形 创 造 条 件 , 从 而 转 化 为 关 于 i, ?的 计 算 问 题 .注 意 以 下 结 论 的 灵 活 应 用 :

?1?(1 ? i) 2 ? ?2i; ?2? 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;
1? i 1? i

(3)? n ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? 0(n ? N ); (4)i n ? i n ?1 ? i n ? 2 ? i n ? 3 ? 0(n ? N );

1 8. z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? ; z 文科选修内容基本知识 十、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差 1.掌 握 抽 样 的 二 种 方 法 : 1)简 单 随 机 抽 样( 包 括 抽 签 符 和 随 机 ( 数 表 法 ) ( 2) 分 层 抽 样 , 常 用 于 某 个 总 体 由 差 异 明 显 的 几 部 分 ; 组成的情形; 2.总 体 分 布 的 估 计 : 用 样 本 估 计 总 体 , 是 研 究 统 计 问 题 的 一 个 基 本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估计就 越精确,要求 能画出频率分布表和频率分布直方图; 3.总 体 特 征 数 的 估 计 : 1) 学 会 用 样 本 平 均 数 (
x? 1 1 n ( ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? ? x i 去 估 计 总 体 平 均 数 ; 2) 学 会 用 样 本 方 n n i ?1
? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n

差 S2

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2

?

1 n 1 n ? ( xi ? x ) 2 ? n ? ( xi2 ? nx 2 ) 去 估 计 总 体 方 差 ? n i ?1 i ?1

及 总 体 标 准 差 ; 2)学 (

2 会 用 修 正 的 样 本 方 差 S * ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] 去 估

n ?1

计总体方差 ? 2 ,会用 S *去估计 ? ; 十一、导数及应用 1.导 数 的 定 义 : f(x)在 点 x 0 处 的 导 数 记 作
y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

2.根 据 导 数 的 定 义 , 求 函 数 的 导 数 步 骤 为 : ( 1) 求 函 数 的 增 量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求 平 均 变 化 率 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?x ?x

(3)取 极 限 ,得 导 数 f ?( x) ? lim ?y ; ?x ? 0
?x

3.导 数 的 几 何 意 义 : 曲 线 y= f( x) 在 点 P( x 0 ,f(x 0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ?( x0 ).相 应 地 , 切 线 方 程 是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ); 4.常 见 函 数 的 导 数 公 式 : C ? ? 0(C为常数); (x m )? ? mxm-1 (m ? Q); 5.导 数 的 应 用 : 1) 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 :设 函 数 y= f x) ( 利 ( 在 某 个 区 间 内 可 导 , 如 果 f ?( x) ? 0, 那 么 f(x)为 增 函 数 ; 如 果
f ?( x) ? 0, 那 么 f(x)为 减 函 数 ; 果 在 某 个 区 间 内 恒 有 f ?( x) ? 0, 那 么 如

f(x)为 常 数 ; ( 2)求 可 导 函 数 极 值 的 步 骤 :① 求 导 数 f ?(x) ;② 求 方 程 f ?( x) ? 0 的 根 ; ③ 检 验 f ?(x) 在 方 程 f ?( x) ? 0 根 的 左 右 的 符 号 , 如 果 左 正 右 负 ,那 么 函 数 y=f(x)在 这 个 根 处 取 得 最 大 值 ;如 果 左 负 右 正 ,那 么 函 数 y=f(x)在 这 个 根 处 取 得 最 小 值 ; ( 3) 求 可 导 函 数 最 大 值 与 最 小 值 的 步 骤 : ① 求 y=f(x)在 (a,b) 内 的 极 值 ;② 将 y=f(x)在 各 极 值 点 的 极 值 与 f( a) 、f( b)比 较 , 其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。
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中学数学重要数学思想 一、 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间 的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想。 1.函 数 思 想 : 把 某 变 化 过 程 中 的 一 些 相 互 制 约 的 变 量 用 函 数 关 系 表 达 出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数 思想; 2.应 用 函 数 思 想 解 题 , 确 立 变 量 之 间 的 函 数 关 系 是 一 关 键 步 骤 , 大 体 可 分 为 下 面 两 个 步 骤 : 1)根 据 题 意 建 立 变 量 之 间 的 函 数 关 系 式 ,把 ( 问 题 转 化 为 相 应 的 函 数 问 题 ; 2)根 据 需 要 构 造 函 数 ,利 用 函 数 的 相 ( 关 知 识 解 决 问 题 ; 3)方 程 思 想 :在 某 变 化 过 程 中 ,往 往 需 要 根 据 一 ( 些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程 组) 通过解方程(或方程组)求出它们,这就是方程思想; , 3.函 数 与 方 程 是 两 个 有 着 密 切 联 系 的 数 学 概 念 , 它 们 之 间 相 互 渗 透 , 很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需 要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方 程思想。 二、 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问 题 ,有 时 可 研 究 其 对 应 几 何 的 性 质 使 问 题 得 以 解 决( 以 形 助 数 ) ;或 者 对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解 决(以数助形) 这种解决问题的方法称之为数形结合。 , 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路 的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。 2.恩格斯是这样来定义数学的:数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的 “ 科学” 。这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和 形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学 的精髓和灵魂。 3.数 形 结 合 的 本 质 是 : 几 何 图 形 的 性 质 反 映 了 数 量 关 系 , 数 量 关 系 决 定了几何图形的性质。 4.华 罗 庚 先 生 曾 指 出 : 数 缺 性 时 少 直 观 ,形 少 数 时 难 入 微 ;数 形 结 合 “ 百 般 好 ,隔 裂 分 家 万 事 非 。 ”数 形 结 合 作 为 一 种 数 学 思 想 方 法 的 应 用 大 致 分 为 两 种 情 形 : 借 助 于 数 的 精 确 性 来 阐 明 形 的 某 些 属 性 ,或 者 借 助 或 于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关 于这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题) 。而以形为手段的数形结合 在高考客观题中体现。 6.我 们 要 抓 住 以 下 几 点 数 形 结 合 的 解 题 要 领 : (1) 对 于 研 究 距 离 、角 或 面 积 的 问 题 ,可 直 接 从 几 何 图 形 入 手 进 行 求

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解即可; (2) 对 于 研 究 函 数 、 方 程 或 不 等 式( 最 值 )的 问 题 ,可 通 过 函 数 的 图 象求解(函数的零点,顶点是关键点) 作好知识的迁移与综合运用; , (3) 对 于 以 下 类 型 的 问 题 需 要 注 意 : y?a (1) ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ; (2) ; (3) Ax ? By ; (4) F (cos? , sin? );(5)a2 ? ab ? b2 ; 可 x?b 分 别 通 过 构 造 距 离 函 数 、 斜 率 函 数 、 截 距 函 数 、 单 位 圆 x 2 +y 2 =1 上 的 点 ( c o ? , si n? ) 及 余 弦 定 理 进 行 转 化 达 到 解 题 目 的 。 s 三、 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研 究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出 每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1.有 关 分 类 讨 论 的 数 学 问 题 需 要 运 用 分 类 讨 论 思 想 来 解 决 , 引 起 分 类 讨论的原因大致可归纳为如下几种: ( 1) 涉 及 的 数 学 概 念 是 分 类 讨 论 的 ; ( 2) 运 用 的 数 学 定 理 、 公 式 、 或 运 算 性 质 、 法 则 是 分 类 给 出 的 ; ( 3) 求 解 的 数 学 问 题 的 结 论 有 多 种 情 况 或 多 种 可 能 性 ; ( 4) 数 学 问 题 中 含 有 参 变 量 , 这 些 参 变 量 的 不 同 取 值 导 致 不 同 的 结 果的; ( 5) 较 复 杂 或 非 常 规 的 数 学 问 题 , 需 要 采 取 分 类 讨 论 的 解 题 策 略 来 解决的。 2.分 类 讨 论 是 一 种 逻 辑 方 法 , 在 中 学 数 学 中 有 极 广 泛 的 应 用 。 根 据 不 同标准可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不 重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究。 四、 化归与转化思想 所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段 将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法。一般总是将复 杂的问题通过变化转化为简单的问题,将难解问题通过变换转化为容 易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题。 立体几何中常用的转化手段有 1.通 过 辅 助 平 面 转 化 为 平 面 问 题 , 把 已 知 元 素 和 未 知 元 素 聚 集 在 一 个 平面内,实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化; 2.平 移 和 射 影 , 过 平 移 或 射 影 达 到 将 立 体 几 何 问 题 转 化 为 平 面 问 题 , 通 化未知为已知的目的; 3.等 积 与 割 补 ; 4.类 比 和 联 想 ;
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5.曲 与 直 的 转 化 ; 6.体 积 比 , 面 积 比 , 长 度 比 的 转 化 ; 7.解 析 几 何 本 身 的 创 建 过 程 就 是“ 数 ”与“ 形 ”之 间 互 相 转 化 的 过 程 。 解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代 数与几何融合为一体。 中学数学常用解题方法 1. 配 方 法 配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式, 其 基 本 形 式 是 : ax 2 +bx+c= a( x ? b ) 2 ? 4ac ? b (a ? 0) .高 考 中 常 见 的
2

2a

4a

基本配方形式有: ( 1) a 2 +b 2 = (a + b) 2 - 2a b = (a -b) 2 + 2 ab; ( 2) ( 2) a 2 + b 2 + ab = (a ? 1 b) 2 ? ( 3 b) 2 ; ( 3) ( 3) a 2 + b 2 +c 2 = (a+ b + c) 2 - 2 ab – 2 a c – 2 bc; ( 4) (4) a 2 + b 2 + c 2 - a b – bc – a c = - c) 2 + (a - c) 2 ]; ( 5) x 2 ?
1 1 ? ( x ? )2 ? 2 ; 2 x x 1 [ ( a 2
2 2

- b) 2 + (b

配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的 讨论,求解与证明及二次曲线的讨论。 2.待 定 系 数 法 ㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题,通过引入一些待 定的系数,转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是: ( 1) 项 式 f(x)=g(x)的 充 要 条 件 是 :对 于 任 意 一 个 值 a,都 有 f a) 多 ( = g(a); ( 2)多 项 式 f(x) ≡ g(x)的 充 要 条 件 是 :两 个 多 项 式 各 同 类 项 的 系 数 对应相等; ㈡ 运用待定系数法的步骤是: ( 1) 确 定 所 给 问 题 含 待 定 系 数 的 解 析 式 ( 或 曲 线 方 程 等 ) ; ( 2) 根 据 恒 等 条 件 , 列 出 一 组 含 待 定 系 数 的 方 程 ; ( 3) 解 方 程 或 消 去 待 定 系 数 , 从 而 使 问 题 得 到 解 决 ; ㈢ 待定系数法主要适用于:求函数的解析式,求曲线的方程,因式 分解等。 3.换 元 法 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式) , 对新的变量求出结果之后,返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素 将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系

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起来,或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要 有以下两类: ( 1)整 体 换 元 :以“ 元 ”换“ 式 ” ; ( 2)三 角 换 元 ,以“ 式 ” 换“元” ; ( 3) 此 外 , 还 有 对 称 换 元 、 均 值 换 元 、 万 能 换 元 等 ; 换 元 法 应 用 比 较广泛。如解方程,解不等式,证明不等式,求函数的值域,求数列 的通项与和等,另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题 时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。 4.向 量 法 向量法是运用向量知识解决问题的一种方法, 题常用下列知识: 解 ( 1) 向 量 的 几 何 表 示 , 两 个 向 量 共 线 的 充 要 条 件 ; 2) 平 面 向 量 基 ( 本定理及其理论; ( 3) 利 用 向 量 的 数 量 积 处 理 有 关 长 度 、 角 度 和 垂 直 的 问 题 ; ( 4) 两 点 间 距 离 公 式 、 线 段 的 定 比 分 点 公 式 、 平 移 公 式 ; 5.分 析 法 、 综 合 法 ( 1) 分 析 法 是 从 所 求 证 的 结 果 出 发 , 逐 步 推 出 能 使 它 成 立 的 条 件 , 直至已知的事实为止;分析法是一种“执果索因”的直接证法。 ( 2) 综 合 法 是 从 已 经 证 明 的 结 论 、 公 式 出 发 , 逐 步 推 出 所 要 求 证 的 结论。综合法是一种“由因导果” 叙述流畅的直接证法。 , ( 3)分 析 法 、 综 合 法 是 证 明 数 学 问 题 的 两 大 最 基 本 的 方 法 。分 析 法 “执果索因”的分析方法,思路清晰,容易找到解题路子,但书写格 式要求较高,不容易叙述清楚,所以分析法、综合法常常交替使用。 分析法、 综合法应用很广,几乎所有题都可以用这两个方法来解。 6.反 证 法 反证法是数学证明的一种重要方法,因为命题 p 与它的否定非 p 的真假相反,所以要证一个命题为真,只要证它的否定为假即可。这 种从证明矛盾命题(即命题的否定)为假进而证明命题为真的证明方 法叫做反证法。 ㈠ 反证法证明的一般步骤是: ( 1) 反 设 : 假 设 命 题 的 结 论 不 成 立 , 即 假 设 结 论 的 反 面 成 立 ; ( 2) 归 谬 : 从 命 题 的 条 件 和 所 作 的 结 论 出 发 ,经 过 正 确 的 推 理 论 证 , 得出矛盾的结果; ( 3) 结 论 : 有 矛 盾 判 定 假 设 不 正 确 , 从 而 肯 定 的 结 论 正 确 ; ㈡ 反 证 法 的 适 用 范 围 : 1) 已 知 条 件 很 少 或 由 已 知 条 件 能 推 得 的 结 ( 论很少时的命题; ( 2) 结 论 的 反 面 是 比 原 结 论 更 具 体 、 更 简 单 的 命 题 , 特 别 是 结 论 是 否 定 形 式( 不 是 ” “ 不 可 能 ” “ 不 可 得 ” “ 、 、 )等 的 命 题 ; 3) 涉 及 各 种 (
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无 限 结 论 的 命 题 ; 4)以“ 最 多( 少 ) ( 、若 干 个 ”为 结 论 的 命 题 ; 5) ( 存 在 性 命 题 ; 6) 唯 一 性 命 题 ; 7) 某 些 定 理 的 逆 定 理 ; ( ( ( 8) 一 般 关 系 不 明 确 或 难 于 直 接 证 明 的 不 等 式 等 。 ㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律” 。 7.另 外 :还 有 数 学 归 纳 法 、 同 一 法 、 整 体 代 换 法 等 .


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