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立体几何定理大全



立体几何基本定理

知识清单

基本性质 1
图形语言
? B

文字语言

符号语言

A ?

如果一条直线上的两个 A ? l ? B ?l ? ? 点在一个平面内 , 那么这条 ? ? AB ? ? ? 线上的所有点都在这个平面 A ? ? ? B ?? ? ? 平面内. l ??? 我们说:直线在平面内 ? ? P ?? or : 平面经过直线 P ?l ?

作 用
1.是可以用来判定一条直线是否在平面内 2.是可以用来判定点在平面内

知识清单

基本性质 2
图形语言

文字语言

符号语言

?

? ? ?
B

A

经过不在同一条直线上 C ? 直线AB ? 的三点 , 有且只有一个平面. 存在唯一的平面? ,
? A ?? 简单地说成:不共线的 使得 ? B ? ? ? ?C ? ? 三点 , 确定一个平面. ?

C

作 用
确定平面的依据.

知识清单

基本性质 2的推论
图形语言
推 论 1 推 论 2 推 论 3
a a

文字语言

符号语言

?

A ?

?

a

A

b

A ? 直线a ? 经过一条直线和这 条直线外的一点有且只 存在唯一的平面? , ? A ?? 使得 ? 有一个平面. ?a ? ? a ?b ? A ? 经过两条相交直线 存在唯一的平面? , 有且只有一个平面. ?a ? ? 使得 ? ?b ? ?
a∥b ? 经过两条平行直线 存在唯一的平面? , 有且只有一个平面. ?a ? ? 使得 ? ?b ? ?

?

b

知识清单

基本性质 3
图形语言

文字语言
如果两个平面有一个公 共点 , 那么它们还有其它公 共点 , 且所有这些公共点的 集合是一条过这个公共点的 直线.

符号语言
P ?? ? ?
?? ? ? ? l ?? ?P ? l

作 用
2. 是判定点在直线上, ?

1. 是判定两个平面相交, ?

知识清单

基本性质 4
图形语言
a
b

文字语言
如果两条直线都和第三 条直线平行 , 那么这两条直 线平行.

符号语言
a∥b ? ? ? a∥c c∥b ?

c

作 用
判定:线∥线的依据

知识清单

等角定理
图形语言
C'
A' B'

文字语言

符号语言
??? ????? ? AB ∥ A ' B ' ? ? ??? ????? ? ? AC ∥ A ' C '? ?

?'

C

?
B

如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行 , 并 且方向相同 , 那么这两个角 相等. ? ?BAC ? ?B ' A ' C '

A

作 用
判定两个角相等( 或互补) 的依据

知识清单

线∥面的判定定理
图形语言

文字语言
如果平面外一条直线和 这个平面内一条直线平行 , 那么这条直线和这个平面 平行.

符号语言
a ? ?? ? b ? ? ? ? a ∥? a∥b ? ?

作 用
直线∥直线 ? 直线∥平面

知识清单

线∥面的性质定理
图形语言

文字语言

符号语言

如果一条直线和一个平 a∥? ? 面平行 , 经过这条直线的平 ? ? ? a∥b 面和这个平面相交 , 那么这 a ? ? 条直线和交线平行. ? ? ? ? b? ?

作 用
直线∥平面 ? 直线∥直线

知识清单

面∥面的判定定理
图形语言
a A

文字语言
如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平 面 , 那么这两个平面平行.

符号语言
a ∥? ? a?? ? ? ? b ∥? ? ? ? ∥ ? b?? ? ? a ? b ? A? ?

?

b

?

作 用
直线∥平面 ? 平面∥平面

知识清单

面∥面的性质定理
图形语言

文字语言
如果两个平行平面同时 与第三个平面相交 , 那么它 们的交线平行.

符号语言
? ∥? ? ? ? ? ? ? a? ? a ∥ b ? ? ? ? b? ?

作 用
平面∥平面 ? 直线∥直线

知识清单

面∥面的性质定理
图形语言
?
?
a

文字语言
如果两个平面平行,
其中一个平面内的直线平行 另一个平面.

符号语言
?∥? ? ? ? a∥? a ???

作 用
平面∥平面 ? 直线∥ 平面

知识清单

线⊥面的判定定理
图形语言
l

文字语言

符号语言

?

A b a

如果一条直线和一个平 a ?? ? 面内的两条相交直线都垂直 , b ? ? ? ? 那么这条直线垂直于这个平 a ? b ? A? ? l ⊥ ? ? 面. l⊥a ? ? l ⊥b ? ?

作 用
直线 ? 直线 ? 直线 ? 平面

知识清单

线⊥面的判定定理
图形语言
l

文字语言
如果两条平行直线中 , 有一条垂直于平面 , 那么另 一条直线也垂直于这个平面.

符号语言
a∥b ? ? ? b ⊥? a ⊥? ?

m

?

作 用
直线∥直线 ? 直线 ? 平面

知识清单

线⊥面的性质定理
图形语言
l

文字语言
如果一条直线垂直于一 个平面 , 那么这条直线垂直 于这个平面内的任意直线.

符号语言
l ⊥? ? ?? l⊥a a ???

?

a

作 用
直线 ? 平面 ? 直线 ? 直线

知识清单

线⊥面的性质定理
图形语言
l

文字语言
如果两条直线垂直于同 一个平面 , 那么这两条直线 平行.

符号语言
a ⊥? ? ? ? a∥b b ⊥? ?

m

?

作 用
直线 ? 平面 ? 直线//直线

知识清单

面 ⊥面的判定定理
图形语言

文字语言
如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线 , 那么这 两个平面互相垂直.

符号语言
a ?? ? ??? ⊥? a⊥? ?

作 用
直线 ? 平面 ? 平面 ? 平面

知识清单

线⊥面的性质定理
图形语言

文字语言

符号语言

如果两个平面互相垂直, ? ⊥? ? 那么在一个平面内垂直于它? ? ? ? MN ? ? ?? a ? ? 们交线的直线垂直于另一个 a ? ? ? 平面. a ? MN ?
?

作 用
平面 ? 平面 ? 直线 ? 平面

知识清单

面∥面的判定定理
图形语言
l

文字语言
如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平 面 , 那么这两个平面平行.

符号语言
l ??? ? ?? ∥? l ? ??

?
?

A

B

作 用
直线 ? 平面 ? 平面∥平面


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