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高一数学三角函数正弦、余弦、正切和差角公式


三角函数正弦、余弦、正切和差角公式
教学目的 1 三角函数正弦、余弦、正切和差角公式 2 三角函数正弦、余弦、正切和差角公式的应用 1 三角函数正弦、余弦、正切和差角公式的综合应用

重点难点

教学内容

课前回顾
三角函数诱导公式

?sin(2k? ? x) ? sin x

Ⅰ) ? ?cos(2k? ? x) ? cos x ?tan(2k? ? x) ? tan x ?
?sin(? ? x) ? sin x Ⅳ) ? ?cos(? ? x) ? ? cos x ?tan( ? ? x) ? ? tan x ?

?sin(? x) ? ? sin x Ⅱ) ? ?cos(? x) ? cos x ?tan(? x) ? ? tan x ?
? ? sin( ? ? ) ? cos? ? 2 Ⅴ) ? ? ?cos(? ? ? ) ? sin ? ? 2 ?

Ⅲ)

?sin(? ? x) ? ? sin x ? ?cos(? ? x) ? ? cos x ?tan( ? ? x) ? tan x ?

? ? sin( ? ? ) ? cos? ? 2 Ⅵ) ? ? ?cos(? ? ? ) ? ? sin ? ? 2 ?

知识梳理
自主梳理 1.(1)两角和与差的余弦 cos(α+β)=_____________________________________________, cos(α-β)=_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α+β)=_____________________________________________, sin(α-β)=_____________________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α+β)=_____________________________________________, tan(α-β)=_____________________________________________. π (α,β,α+β,α-β 均不等于 kπ+ ,k∈Z) 2 其变形为: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.二倍角公式及变形 sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin? ? 2sin ? cos? ;

cos2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ; cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 . tan 2? ?

2tan ? 1 ? tan 2 ?

3,当知道正弦、余弦、正切三个中的一个时,另外的两个接可以求出。

精讲精练
一、余弦差公式 例1、利用余弦公式计算 cos15 的值

1

例2、已知 sin ? ?

4 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 的值. 5 13 ?2 ? 点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题.

例 3、 cos ? ? cos ? ?

3 4 sin ? ? sin ? ? ,求cos ?? -? ?的值. 5, 5

二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3 ?? ?? ? ?? ? ? 例1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? 5 ?4 ? ?4 ? ?

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ;

(2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ;

(3)

1 ? tan15 1 ? tan15

三、二倍角的正弦、余弦和正切公式 例1、已知 sin 2? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? , cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

例2、已知 tan 2? ?

1 , 求 tan? 的值. 3

2

四、两角和与差的正弦、余弦、正切(综合练习) ⑴例题: 已知一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0且a ? c) 的两个根为 tan? , tan ? ,求 tan( ? ? ? ) 的值;

变式:求

sin(? ? ? ) 的值.说明:虽然 tan? , tan ? 是方程的两个根,但我们并不需要求出 cos(? ? ? )

⑵求值: (1) cos285 cos15 ? sin 255 sin 15 ; (2) sin 7 cos37 ? sin 83 cos307
? 0 ? 0 ? ? ? ?

⑶求角度: 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且BD:DC:AD=2:3:6,求∠BAC的度数.

⑷求三角函数最值: 已知函数 y ? 3sin x ? cos x, x ? R 当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合.

专题训练
1.在△ABC中,已知 sin A ?

4 5 , cos B ? ,求 cos C 的值. 5 13

2.已知 sin ? ? sin ? ? ? ,cos? ? cos ? ?

1 3

1 ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2

3

3.已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 cos(? ? ? ) 的值.

4.求 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x的最大值

5.(2011· 广州模拟)已知向量 a=(sin x,cos x),向量 b=(1, 3),则|a+b|的最大值为( A.1 B. 3 C.3 D.9

)

π? 33 5 ?π ? 6 已知 α∈? ?0,2?,β∈?2,π?且 sin(α+β)=65,cos β=-13.求 sin α; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7

4


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