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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题一 第1讲 函数图象与性质及函数与方程课件 文


第1讲

函数图象与性质及函数与方程

高考定位

1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、

对数函数为载体,考查函数的定义域、函数的最值与值域、
函数的奇偶性、函数的单调性,或者综合考查函数的相关性 质.2.对函数图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用 图,即利用函数的图象,通

过数形结合的思想解决问题.3.以 基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存

在性定理、数形结合思想,这是高考考查函数的零点与方程
的根的基本方式.

真题感悟 1.(2015· 广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的
是( D ) A.y=x+sin 2x
x

B.y=x2-cos x

1 C.y=2 +2x D.y=x2+sin x 解析 对于 A,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),
为奇函数;对于 B,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为 1 1 x 偶函数;对于 C,f(-x)=2 + -x=2 +2x=f(x),为偶函数;y 2
-x

=x2+sin x 既不是偶函数也不是奇函数,故选 D.

2.(2015· 全国Ⅰ卷)已知函数

x-1 ? ?2 -2,x≤1, f(x)=? 且 ? ?-log2(x+1),x>1,

f(a)

=-3,则 f(6-a)=( A ) 7 A.-4 5 B.-4


3 C.-4


1 D.-4

解析 若 a≤1,f(a)=2a 1-2=-3,2a 1=-1,无解; 若 a>1,f(a)=-log2(a+1)=-3,a=7, 1 7 f(6-a)=f(-1)=2 -2= -2=- . 4 4
-2

1 3.(2015· 全国Ⅱ卷)设函数 f(x)=ln(1+|x|)- 2,则使得 f(x)>f(2x 1+x -1)成立的 x 的取值范围是( A )
?1 ? A.?3,1? ? ? ? 1 1? C.?-3,3? ? ? ? 1? B.?-∞,3?∪(1,+∞) ? ? ? ? 1? ?1 D.?-∞,-3?∪?3,+∞? ? ? ? ?

解析

1 由 f(x)=ln(1+|x|)- 知 f(x)为 R 上的偶函数, 于是 f(x) 2, 1+x

>f(2x-1)即为 f(|x|)>f(|2x-1|). 1 当 x>0 时,f(x)=ln(1+x)- ,所以 f(x)为[0,+∞)上的增函 1+x2 数,则由 f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,平方得 3x2-4x+1<0,解 1 得 <x<1,故选 A. 3

4.(2015· 湖南卷)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b 的取值范围是________. 解析 令y=|2x-2|,作出其图象如图: 由图形知,当0<b<2时,

f(x)=|2x-2|-b有两个零点.
答案 (0,2)

考点整合 1.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质 .证明 函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符

号和下结论 .复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;
(2)奇偶性:①若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);②若f(x) 是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0;③奇函数在对称 的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间 内有相反的单调性;

(3)周期性:①若 y=f(x)对 x∈R,f(x+a)=f(x-a)或 f(x-2a) =f(x)(a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数;② 若 y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线 x=a 对称,则 f(x) 是周期为 2|a|的周期函数;③若 y=f(x)是奇函数,其图象又 关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数;④若
? 1 ? ? f(x+a)=-f(x)?或f(x+a)=f(x)? 则 y=f(x)是周期为 2|a| ?, ? ?

的周期函数.

2.函数的图象
对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本 伸缩变换和对称变换. 3.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x) 的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一;

方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、

②不满足条件时,也可能有零点.

热点一

函数性质的应用 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性 )

[微题型 1]

【例 1-1】(1) (2015· 福建卷)下列函数为奇函数的是( A.y= x C.y=cos x B.y=ex D.y=ex-e
-x

x2-5x+6 (2)(2015· 湖北卷)函数 f(x)= 4-|x|+lg 的定义域 x-3 为( ) B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]

A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]

(3)(2015· 四川卷 ) 设 a , b 为正实数,则“a > b > 1”是“log2a >
log2b>0”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

(1)由奇函数的定义易知 y=ex-e-x 为奇函数,故选 D.

x2-5x+6 (2)依题意,有 4-|x|≥0,解得-4≤x≤4①;且 >0,解得 x-3 x>2 且 x≠3②;由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4].故 选 C. (3)若 a>b>1,那么 log2a>log2b>0;若 log2a>log2b>0,那么 a >b>1,故选 A.

答案 (1)D (2)C (3)A 探究提高 牢记函数的奇偶性、单调性的定义以及求函数定义域

的基本条件,这是解决函数性质问题的关键点.

[微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性

【例1-2】 (1)(2015· 天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|
- 1(m 为实数 ) 为偶函数,记 a = f(log0.53) , b = f(log25) , c = f(2m),则a,b,c的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b ) C.a<c<b D.c<b<a

(2)(2015· 福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x), 且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于_____.

解析 (1)由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0, 所以f(x)=2|x|-1,当x>0时,f(x)为增函数,log0.53=-log23,

∴log25>|-log23|>0,
∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故选B. (2)∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为 x=1,∴a=1,f(x)= 2|x-1|, ∴f(x) 的 增 区 间 为 [1 , + ∞) , ∵[m , + ∞)?[1 , + ∞) ,

∴m≥1.∴m的最小值为1.
答案 (1)B (2)1

探究提高

函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性

和周期性以及函数图象的对称性,在解题中根据问题
的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系, 推证函数的性质,根据函数的性质解决问题.

【训练1】(1)(2015· 湖南卷)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 则f(x)是( )

A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 (2)(2015· 衡水中学调研)已知函数f(x)是R上的偶函数,若

对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=
log8(x+1),则f(2 014)+f(-2 015)=________.

解析

(1)易知函数定义域为(-1,1),

又 f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数,又 f(x)
? 2 ? ? =ln?-1-x-1? ?,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是 ? ?

增函数.故选 A. (2)当 x≥0 时,有 f(x+2)=-f(x)知 f(x)的周期为 4, ∴f(2 014)=f(4×503+2)=f(2), 1 f(-2 015)=f(2 015)=f(4×503+3)=f(3)=f(-1)=f(1).而 f(1)=3, f(2)=f(0+2)=-f(0)=0, 1 所以 f(2 014)+f(-2 015)= . 3 1 答案 (1)A (2) 3

热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别
xln|x| 【例 2-1】 (1)函数 y= |x| 的图象可能是( )

(2)(2015· 浙江卷)函数 象可能为( )

? 1? f(x)=?x-x ?cos ? ?

x(-π≤x≤π 且 x≠0)的图

解析

(1)法一

xln|x| 函数 y= 的图象过点(e,1),排除 C,D;函数 |x|

xln|x| y= |x| 的图象过点(-e,-1),排除 A,选 B. 法二 xln|x| 由已知,设 f(x)= |x| ,定义域为{x|x≠0}.则 f(-x)=-f(x),

故函数 f(x)为奇函数,排除 A,C;当 x>0 时,f(x)=ln x 在(0,+∞) 上为增函数,排除 D,故选 B. 1 (2)∵f(x)=(x-x )cos x, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数,排除 A,B;当 x→π 时,f(x)<0,排除 C.故选 D.

答案 (1)B (2)D

探究提高 根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义 域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数 图象进行全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助 推断,这是解决函数图象判断类试题的基本方法.

[微题型2] 函数图象的应用
【例 2-2】 (1)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对 称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立, 设 a=f b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c )
? 1? ?- ?, ? 2?

(2)(2015· 全国 Ⅰ卷) 设函数 y =f(x)的图象与 y = 2x+ a 的图象关 于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )

A.-1

B.1

C.2

D.4

解析

(1)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关

于 y 轴对称, 故函数 y=f(x)的图象本身关于直线 x=1 对称, 所以 a=f
? 1? ?5? ?- ?=f ? ?,当 ? 2? ?2?

x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成

立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>a>c.选 D. (2)设 f(x)上任意一点为(x,y)关于 y=-x 的对称点为(-y,-x), 将(-y,-x)代入 y=2x+a,所以 y=a-log2(-x),由 f(-2)+f(- 4)=1,得 a-1+a-2=1,2a=4,a=2.

答案 (1)D (2)C

探究提高

(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理

解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉

图象所能够表达的函数的性质.
(2)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质, 透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质,并以 此为依据进行分析、推断,才是正确的做法.

【训练 2】 (2015· 全国Ⅱ卷)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将 动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为( )

解析 当点 P 沿着边 BC 运动, π 即 0≤x≤4时,在 Rt△POB 中,|PB|=|OB|tan∠POB=tan x,在 Rt△PAB 中,|PA|= |AB|2+|PB|2= 4+tan2x, 则 f(x)=|PA|+|PB|= 4+tan2x+tan x, 它不是关于 x 的一次函数, 图象不是线段,故排除 A 和 C;

?π? π 当点 P 与点 C 重合,即 x=4时,由上得 f ?4?= ? ?

π 4+tan 4+tan4=



5+1, π 又当点 P 与边 CD 的中点重合, 即 x=2时, △PAO 与△PBO 是全等 的腰长为 1 的等腰直角三角形, 故f 知f
?π? ?π? ? ?<f ? ?,故又可排除 ?2? ?4? ?π? ? ?=|PA|+|PB|= ?2?

2+ 2=2 2,

D.综上,选 B.

答案 B

热点三 以函数零点为背景的函数问题
[微题型1] 函数零点个数的求解

【例3-1】函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(
A.0 B.1 C.2 D.3 解析 法一 函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数

)

即函数y1=2x-2与y2=-x3的图象在区间(0,1)内的交点个数.
作图,可知在(0,+∞)内最多有一个交点,故排除C,D项; 当x=0时,y1=-1<y2=0,当x=1时,y1=0>y2=-1,因 此在区间(0,1)内一定会有一个交点,所以A项错误.选B.

法二

因为 f(0) = 1 + 0 - 2 =- 1 , f(1) = 2 + 13 - 2 = 1 ,所以

f(0)· f(1)<0.又函数f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)在(0,1) 内的零点个数是1. 答案 B 探究提高 在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时,

要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数
求函数的零点个数难度很大,也不是初等数学能轻易解决的, 所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函 数,再利用数形结合求解.

[微题型2] 由函数零点(或方程根)的情况求参数
【例 3-2】 (2015· 安徽卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点, 则 a 的值为________.

解析 函数 y=|x-a|-1 的大致图象如图所示, ∴若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点,只需 2a=-1,可得 1 a=-2.

1 答案 -2

探究提高 解决由函数零点的存在情况求参数的值或
取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合 思想,构建关于参数的方程或不等式求解.

1 【训练 3】 (2015· 南阳模拟)已知函数 f(x)= -m|x|有三个零点, 则 x+2 实数 m 的取值范围为________.

解析 实根.

1 函数 f(x)有三个零点等价于方程 =m|x| 有且仅有三个 x+2

1 1 ∵ =m|x|?m=|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图象,如图所 x+2 1 示,由图象可知 m 应满足 0<m<1, 故 m>1.

答案 (1,+∞)

1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数 1 f(x)=xln x的定义域时,只考虑 x>0,忽视 ln x≠0 的限制. 2.函数定义域不同,两个函数不同;对应关系不同,两个函数也不 同;定义域和值域相同,也不一定是相同的函数. 3.如果一个奇函数 f(x)的原点处有意义,即 f(0)有意义,那么一定 有 f(0)=0.
4.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性,偶函数在两

个对称的区间上有相反的单调性.

5.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,它们的实质 是相同的,在解题时经常要互相转化 . 在解决函数问题时,尤 其是较为繁琐的(如分类讨论求参数的取值范围等 )问题时,要

注意充分发挥图象的直观作用.
6.不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质,如讨论指数 函数y=ax(a>0,a≠1)的单调性时,不讨论底数的取值;忽视

ax>0的隐含条件;幂函数的性质记忆不准确等.
7. 函数的零点和函数图象与 x 轴的交点混淆,不能把函数零点、 方程的解、不等式解集的端点值等准确互化. 8.用二分法求函数零点近似值的口诀:定区间,找中点,中值计 算两边看;同号等,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么

办,精确度上来判断.


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