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导数综合


导数综合训练
1.函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 f ( x) 的解析式可能是 ( )

A. y ? x 2 ? 2 x

B. y ?

1 3 x ? x2 3

C. y ? x 2 ? 2 x

D. y ?

1 3 x ? x2 3


2.若函数 y ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 1 在区间(-∞,2 ] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [ - 3 ,+∞)
2
2

B. (-∞,- 3 ]
2

C. [ 3 ,+∞)
2

D. (-∞, 3 ]
2

3.若曲线 y= x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程式 x ? y ? 1 =0,则( A. a ? 1 , b ? 1 C. a ? 1 , b ? ?1 B. a ? ?1 , b ? 1 D. a ? ?1 b ? ?1



4.已知函数 f ( x) ? e x ? mx ? 1 的图像为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? ex 垂直的切线,则实数 m 的取值 范围为( A. [e,??) ) B. (e,??)

1 C. ( ,??) e

1 D. (??, ) e

5.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ?a, b ? ,导函数 ... f ?( x) 在 ?a, b ? 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间

?a, b ? 内的极小值 点的个数为 ...

个.

6.设函数 f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 的图象过点 A(2,1) ,且在点 A 处的切线方程为 2 x ? y ? a ? 0 , 则a?b?c ? .
(0,? ) 上 , 其 导 函 数 为

7 . 设 奇 函 数 f ( x) 定 义 在 (?? , 0)

f ' ( x) , 且 f ( ? ) ? 0 , 当 0 ? x ? ? 时 ,
2

f ' ( x)sin x ? f ( x) cos x ? 0 ,则关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 f ( ? ) sin x 的解集为________.
6
8.由直线 x ?

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围成的图形的面积是___________. x 2
.

9.3.当 x ? (?2,?1) 时,不等式 x 4 ? mx 2 ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是

x ? ax . ln x (1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,求实数 a 的最小值;
10.设函数 f ( x) ?
2 (2)若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

a ln x ? (a ? 1) x 2 ? 1 . 2 1 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求 f ( x) 在区间 [ , e] 上的最小值; 2 e (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; a (Ⅲ)当 ?1 ? a ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ? ln(? a ) 恒成立,求 a 的取值范围. 4
11.已知函数 f ( x) ?

12.已知函数 f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? x ? 1 ,其中 m 为实数. (1)当 m ? 1 时,求函数

f ( x) 在区间 [?1, ] 上的最大值和最小值;
7 恒成立,其中 f '( x) 为 f ( x) 的导函数,求实数 m 的取值范围. 4

4 3

(2)若对一切的实数 x ,有 f '( x) ?| x | ?

x2 ? 2x ? 5 . 2 (1)求函数 f ( x) 的单调递增、递减区间;
13. 设 f ( x) ? x 3 ?

(2)求函数 f ( x) 在区间 [?1, 2] 上的最大值和最小值.

14.已知 f ( x) ? ? 1 ax 2 ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 2 (1)若 x ? 3 是函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值是 0,求 a 的取值范围。

1 3 1 x ? (b ? 1) x 2 ? bx, x ? R 3 2 (1)当 b ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)当 f ( x) 在 R 上有且仅有一个零点时,求 b 的取值范围.
15.设 f ( x) ?

16 .已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx 在 x ? 1 处的切线方程为 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 , f '( x) 为 f ( x) 的导函数,

g ( x) ? a ? e x ( a, b, c ? R , e 为自然对数的底)

(1)求 b, c 的值; (2)若 ?x ? ? 0, 2? ,使 g ( x) ? f '( x) 成立,求 a 的取值范围.

17.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉 6 吨,每吨面粉价格为 1800 元,面粉的保管费为平 均每天每 6 吨 18 元(从面粉进厂起开始收保管费,不足 6 吨按 6 吨算) ,购面粉每次需要支付运费 900 元,设该厂每 x 天购买一次面粉。 (注:该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天) (Ⅰ)计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少? (Ⅱ)试求 x 值,使平均每天所支付总费用最少?并计算每天最少费用是多少?

18.某公司计划 2015 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元。 甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟。假定甲、乙两个电视台为该公司所做的 每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元。问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的 广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?


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