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§2.3:幂函数及性质(1)


幂 函 数
(1)

一、幂函数的定义 一般地, 形如y ? x (? ? R )的函数 称为幂函数, 其中x为自变量,? 为常数.
注意: ? 幂函数的解析式必须是 y ? x 的形式,即 (1)自变量为底; (2)指数为常数; (3)自变量前的系数为1; (4)幂前的系数为1。
?

练习 : 1.下列

函数是否为幂函数 1 3 ①y ? ? x ②y ? x 3 ?3 ③y ? (2 ? x) ④y ? x ? x ⑤y ? x
0

⑥y ? 1

2.已知幂函数f ( x )的图象经过点( 2, 2 ), 试求出这个函数的解析式.

二.幂函数的图象 作出下列函数的图象 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x .
2 3 1 2 ?1

幂函数的性质




y=x R R 奇 增

y=x2 R [0,+∞) 偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减
(1,1)

y=x3 R R 奇 增
(1,1)

y?x

1 2

y=x-1

定义域 值域 奇偶性 单调性

[0,+∞) [0,+∞)

?x|x ? R且x ? 0? ? y|y ? R且y ? 0?
奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)

非奇非 偶

(1,1)

公共点 (1,1)

幂函数y ? x 在第一象限的图象

?

练习 : 求下列函数的定义域并判断其奇偶性 (1) y ? x ;    ( 2) y ? x ;    (3) y ? x
1 2 ?2 3 5

例1.幂函数y ? x 在第一象限内的图象 1 如图所示,已知? 取1, ?1, 2, 四个值, 2 则相应的曲线C1 , C 2 , C3 , C 4的? 依次是 怎样的?

?

例2.证明幂函数f ( x ) ? x 在 ? 0, ? ??上 是增函数.

?2? 例3.比较a ? 2 , b ? ? ? 的大小. ?3? 3 3 变式1.若a ? (3 ? 2a ) , 求a的取值范围. 变式2.若a ? (3 ? 2a ) , 求a的取值范围. 变式3.若a ? (3 ? 2a ) , 求a的取值范围.
?1 ?1 1 2 1 2

1 2

1 ? 2

练习:判断下列各值的大小 (1)5.20.8 与5.30.8 ( 2)0.20.3 与0.30.3 (3)2.5 与2.7
? 2 3 ? 2 5 ? 2 5 ? 2 3

( 4)( 2 ? a 2 ) 与2

探究 : 讨论函数y ? x 的定义域、奇偶性, 作出图象,并说明其单调性、值域.
2 3

练习 : 已知幂函数y ? x
m 2 ? 2 m ?3

( m ? Z )的图象

与x , y轴都无公共点,且关于y轴对称, 求m的值, 并画出大致图象.


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