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三角形的五心一次看个够


三角形的五心一次看个够
三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”,在解题时有很多应用,在这里 分别给予介绍. 一、三角形外心的性质 A 外心定理的证明:如图,设 AB、BC 的中垂线交于点 O,则有 OA=OB=OC,故 O 也在 A 的中垂线上,因为 O 到三顶点的距离 相等,故点 O 是Δ ABC 外接圆的圆心.因而称为外心. O 设⊿ ABC 的外接圆为

☉ G(R) ,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , B C p=(a+b+c)/2 . 1 :( 1 )锐角三角形的外心在三角形内; ( 2 )直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合; ( 3 )钝角三角形的外心在三角形外 . 2 :∠ BGC=2 ∠ A ,(或∠ BGC=2(180 ° - ∠ A). 3 :点 G 是平面 ABC 上一点,那么点 G 是⊿ ABC 外心的充要条件是: 点 G 是 ?ABC 的外心 ? GA ? GB ? GC (或 GA 2= GB 2= GC 2)(点 G 到三顶点距离相等)

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

? ( GA + GB )· AB =( GB + GC )· BC =( GC + GA )· CA =0( G 为三边垂直平分线的交点)
4 :点 G 是平面 ABC 上一点,点 P 是平面 ABC 上任意一点,那么点 G 是⊿ ABC 外心 的充要条件是:
???? ??? ? ??? ? ??? ? PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC). ???? ??? ? ??? ? ??? ? 或 PG =(cosA/2sinBsinC) PA +(cosB/2sinCsinA) PB +(cosC/2sinAsinB) PC .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ????

??? ?

???? ??? ?

??? ?

5 : R=abc/4S ⊿ ABC. 正弦定理: 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。
6.外心坐标: 给定 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 求外接圆心坐标 O(x,y) ①. 首先, 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 我们根据圆心到顶点的距离相等, 可以列出以下方程:

( x1 ? x)2 ? ( y1 ? y)2 ? ( x2 ? x)2 ? ( y2 ? y)2 ( x3 ? x)2 ? ( y3 ? y)2 ? ( x2 ? x)2 ? ( y2 ? y)2
②.化简得到:
2 2 2( x2 ? x1 ) x ? 2( y2 ? y1 ) y ? x2 ? y2 ? x12 ? y12 2 2 2 2 2( x2 ? x3 ) x ? 2( y2 ? y3 ) y ? x2 ? y2 ? x3 ? y3

令A 1

2 2 ? 2( x2 ? x1 ) ; B1 ? 2( y2 ? y1 ) ; C1 ? x2 ? y2 ? x12 ? y12

2 2 2 2 A2 ? 2( x2 ? x3 ) ; B2 ? 2( y2 ? y3 ) ; C2 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3



A1 x ? B1 y ? C1 ; A2 x ? B2 y ? C2 ;
③.最后根据克拉默法则:

x?
因此,x,y 为最终结果;

C1B2 ? C2 B1 A C ? A2C1 ,y? 1 2 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

7.若 O 是△ABC 的外心, 则 S△BOC: S△AOC: S△AOB=sin∠BOC: sin∠AOC: sin∠AOB=sin ??? ? ??? ? ??? ? ? ∠2A:sin∠2B:sin∠2C 故 sin∠2A· OA +sin∠2B· OB +sin∠2C· OC = 0 证明:设 O 点在 ?ABC内部,由向量基本定理,有

mOA ? nOB ? rOC ? 0 m, n, r ? R? ,则 S?BOC : S?COA : S AOB ? m : n : r 设:
mOA ? OD, nOB ? OE, rOC ? OF ,则点 O 为△DEF 的重心, 又
S?BOC ? 1 1 1 S?EOF , S?AOC ? S?DOF , S?AOB ? S?DOE ,∴ nr mr mn

?

?

S?BOC : S?COA : S AOB ? m : n : r
若 O 是△ABC 的外心, 则 S△BOC: S△AOC: S△AOB=sin∠BOC: sin∠AOC: sin∠AOB=sin ∠2A:sin∠2B:sin∠2C
??? ? ??? ? ??? ? ? 故 sin∠2A·OA +sin∠2B·OB +sin∠2C·OC = 0

二、三角形的内心 内心定理的证明:如图,设∠A、∠C 的平分线相交于 I、过 I 作 ID⊥BC,IE⊥AC,IF ⊥AB 则有 IE=IF=ID.因此 I 也在∠C 的平分线上,即三角形三 A 内角平分线交于一点.上述定理的证法完全适用于旁心定理, 请同学们自己完成. M 设△ ABC 的内切圆为☉O(半径 r), 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、c,p=(a+b+c)/2。 1、三角形的三个角平分线交于一点,该点即为三角形的内心。 2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径 r。 3、r=S/p。 证明:S△ ABC=S△ OAB+S△ OAC+S△ OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。 4、△ ABC 中,∠C=90° ,r=(a+b-c)/2。 5、∠BOC=90° +∠A/2。 6、点 O 是平面 ABC 上任意一点,点 O 是△ ABC 内心的充要条件是:
B F I D H E K C

??? ? ??? ? ??? ? ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 。
7、点 O 是平面 ABC 上任意一点,点 L 是△ ABC 内心的充要条件是:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OL ? (aOA ? bOB ? cOC) /(a+b+c)。
8、△ ABC 中, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3, y3) ,那么△ ABC 内心 L 的坐标是:

? ax1 ? bx2 ? cx3 ay1 ? by2 ? cy3 ? , ? ?。 a?b?c ? ? a?b?c
9、(欧拉定理)△ ABC 中,R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径,O 和 I 分别为其外 心和内心,则 OL2=R2-2Rr。 10、内角平分线分三边长度关系:如图:△ ABC 中,AD 是∠A 的角平分线,D 在 BC 上,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,d=AD。设 R1 是△ ABD 的外接圆半径,R2 是△ ACD 的外接圆半径,则有:BD/CD=AB/AC 证明:由正弦定理得 b/sinB=c/sinC,d=2R1sinB=2R2sinC, ∴R1/R2=sinC/sinB=c/b. 又 BD=2R1sinBAD, CD=2R2sinCAD, ∠CAD=∠BAD, ∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC

11、内切圆半径 r= 三、三角形的重心 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 2.重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3.重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即 其坐标为 ?
F B D G C A E

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? , ?。 3 3 ? ?

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 6.(莱布尼兹公式)三角形 ABC 的重心为 G,点 P 为其内部任意一点,则

PG 2 ?

AP 2 ? BP 2 ? CP 2 AB 2 ? BC 2 ? CA2 ? 3 9

7. 在三角形 ABC 中,过重心 G 的直线交 AB 、 AC 所在直线分别于 P 、 Q ,则 AB/AP+AC/AQ=3 8.从三角形 ABC 的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线,所得的 6 个切点

为 Pi ,则 Pi 均在以重心 G 为圆心, r ?

AB 2 ? BC 2 ? CA2 为半径的圆周上 18

四、三角形的垂心 证明垂心定理 分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图,AD、BE、CF 为Δ ABC 三条高,过点 A、B、C 分别作对边的平行线相交成Δ A'B'C', 显然 AD 为 B'C'的中垂线; 同理 BE、 CF 也分别为 A'C'、A'B'的中垂线,由外心定理,它们交于一 点,命题得证.

C' F

A E

B'

B

D

C

A'

设△ ABC 的三条高为 AD、BE、CF,其中 D、 E、F 为垂足,垂心为 H,角 A、B、C 的对边分别 为 a、b、c,p=(a+b+c)/2. 1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角 形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角 形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或 者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心; 3、 垂心 H 关于三边的对称点,均在△ ABC 的外接圆上。 4 、 △ ABC 中 , 有 六 组 四 点 共 圆 , 有 三 组 ( 每 组 四 个 ) 相 似 的 直 角 三 角 形 , 且 AH· HD=BH· HE=CH· HF。 5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为 一—垂心组)。 6、 △ ABC,△ ABH,△ BCH,△ ACH 的外接圆是等圆。 7 、 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB 、 AC 所在直线分别于 P 、 Q ,则 AB/AP· tanB+AC/AQ· tanC=tanA+tanB+tanC。 8、 设 O,H 分别为△ ABC 的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠ BCO=∠HCA。 9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。 10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三 角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形,最早在古希腊时期由海伦发 现) 。 11、西姆松定理(西姆松线) :从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件 是该点落在三角形的外接圆上。 12 、 设 锐 角 △ ABC 内 有 一 点 P , 那 么 P 是 垂 心 的 充 分 必 要 条 件 是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

13、设 H 为非直角三角形的垂心,且 D、E、F 分别为 H 在 BC,CA,AB 上的射影, H1,H2,H3 分别为△ AEF,△ BDF,△ CDE 的垂心,则△ DEF≌△H1H2H3。 14、 三角形垂心 H 的垂足三角形的三边, 分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。 15、 三角形任一顶点到垂心的距离, 等于外心到对边的距离的 2 倍。 (垂心伴随外接圆, 必有平行四边形) 推 论 ( 垂 心 余 弦 定 理 ): 锐 角 三 角 形 ABC 的 垂 心 为 H , 则 AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R(可引入有向距,推广到任意三角形) 16、等边三角形的垂心把三角形的高分成 2:1 两段,靠近顶点的那段长度为高的三分 之二。 17、垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量(与外心一样) : d1,d2,d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。 c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。 垂心坐标:( c1/c,c2/c,c3/c ) △ ABC 中, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3, y3) ,垂心 H(m,n); 分别做高线: AH⊥BC;BH⊥AC;

y1 ? n y2 ? y3 y ? n y1 ? y3 ? ? ?1且 2 ? ? ?1 x1 ? m x2 ? x3 x2 ? m x1 ? x3
解得:
2 2 2 2 x2 x1 y1 ? x3 x2 y2 ? x1 x3 y3 ? x1 x3 y1 ? x1 x2 y2 ? x2 x3 y3 ? y12 y2 ? y2 y3 ? y3 y1 ? y2 y1 ? y12 y3 ? y3 y2 x1 y3 ? x2 y1 ? x3 y2 ? x1 y2 ? x2 y3 ? x3 y1

m?

2 2 2 2 x1 y1 y2 ? x2 y2 y3 ? x3 y3 y1 ? x1 y1 y3 ? x2 y2 y1 ? x3 y3 y2 ? x12 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ? x2 x1 ? x12 x3 ? x3 x2 n? x1 y2 ? x2 y3 ? x3 y1 ? x1 y3 ? x2 y1 ? x3 y2

五、三角形的旁心 1 : 三角形的一条内角平分线 与其他两个角的外角平分线交于 一点,该点即为三角形的旁心。 2:旁心到三角形三边的距离 相等。 3:三角形有三个旁切圆,三 个旁心。旁心一定在三角形外。 4:直角三角形斜边上的旁切 圆的半径等于三角形周长的一半。

I3 K

A
I2 F I E

B
M

D

C

N

I1

5: ?ABC 的 内 心 为 I , 而

BC , CA, AB 边外的旁心分别为 I1 , I 2 , I3 ;

AD, BE , CF 分别是三条内角平分线, AI 交三角形外接圆于 M ,I 2 I 3 交外接圆于 K , AI 2
交 BC 于 N ,显然,三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直,并且有

(1) 、 ?BIC ?

A A , ?BI 2C ? ; 2 2 2 AB BD BN ? ? (2) 、 ; AC DC NC ?

?

(3) 、 MI ? MI1 ? MB ? MC ; KI 2 ? KI3 ? KB ? KC ;
(4) 、 AD2 ? AB ? AC ? DB ? DC ; AN 2 ? NB ? NC ? AB ? AC ;

(5) 、 AB ? AC ? AD ? AM ? AN ? AK ;
(6) 、
AI I1M ? ; (称为对称比定理) . ID MD

(7) 、 MI ? MB ? MC , (俗称“鸡爪”定理) .
6: S ?ABC ?

1 1 1 (a ? b ? c)r ? (b ? c ? a )r1 ? (a ? c ? b)r2 2 2 2

7:旁心与内心的关系 如图, I 为△ABC 的内心, I A , I B , I C 是△ABC 的三个旁心。注意: I A I , I B I , IC I 的中 点 D、E、F 都在△ABC 外接圆上。这一点对内心来确定旁心的位置大有作用。

1 (? ? ?BAC ) , 2 1 又因为 I A 、C、 I 、B 四点共圆,故 ?BI AC ? (? ? ?BAC ) 2 1 同理, ?AI B C ? (? ? ?ABC ) ; 2 1 ?AI C B ? (? ? ?ACB ) 这便是旁心张角公式 2
又由内心张角公式得: ?BIC ?

第 8 条性质

8:旁心于半周长(p)形影不离 如图: I A 是△ABC 的旁心,作 I A E 垂直于 AB 于 E, I A F 垂直于 AC 于 F。 易得:BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故 AE=AF=p 9:旁心与三角形三个顶点构成三组三点共线 如图:I A , I B , I C 分别是△ABC 的三个 旁心,由于 AI B , AI C 是对顶角的平分线亦 为反向延长线,故 I B , A, IC 三点共线。

特别性质:1.三角形所在平面内一点的向量与面积关系 结 论 : 设 O 点 在 ?ABC 内 部 , 若 mOA ? nOB ? rOC ? 0 m, n, r ? R?

?

?,则

S?B

O C ?C O A A O B

:S

:S

? m: n: r

证明: 已知 O 点在 ?ABC内部,且 mOA ? nOB ? rOC ? 0 m, n, r ? R?

?

?

设: mOA ? OD, nOB ? OE, rOC ? OF ,则点 O 为△DEF 的重心, 又 S?BOC ?

1 1 1 S?EOF , S?AOC ? S?DOF , S?AOB ? S?DOE , nr mr mn

∴ S?BOC : S?COA : S AOB ? m : n : r 说明: 此结论说明当点 O 在 ?ABC内部时,点 O 把 ?ABC所分成的三个小三角形的面 积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关 系式前面的系数之比。 应用举例: 设点 O 在 ?ABC 内部, 且 4OA ? OB ? OC ? 0 , 则 ?ABC 的面积与 ?OBC 的面积之比是: A.2:1 B.3:1 C.4:3 D.3:2

??? ? ??? ? ??? ?

?

分析: 由上述结论易得: 所以 S?ABC : SOBC ? 6 : 4 ? 3 : 2 , S?BOC : S?COA : S AOB ? 4 :1:1 , 故选 D 当把这些点特定为三角形的“四心”时,我们就能得到有关三角形“四心”的一组统

一的向量形式。 引申:设 O 点在 ?ABC内部,且角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c 结论1:若 O 为 ?ABC重心,则 OA ? OB ? OC ? 0 分析:重心在三角形的内部,且重心把 ?ABC的面积三等分. 结论2 : O 为 ?ABC内心,则 aOA ? bOB ? cOC ? 0 分析:内心在三角形的内部,且易证 S△BOC:S△COA:S△AOB= a : b : c 结论3: O 为 ?ABC的外心,则 sin 2 AOA ? sin 2BOB ? sin 2COC ? 0 分析: 易证 S△BOC:S△COA:S△AOB=sin2A:sin2B:sin2C. 由 结 论 3 及 结 论 : O 为 ?ABC 的 外 心 , H 为 ?ABC 的 垂 心 , 则

OH ? OA ? OB ? OC 可得结论4。
结论4:若 H 为 ?ABC垂心,则

?sin 2B ? sin 2C ? sin 2 A?HA ? ?sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C?HC ? 0

?sin 2 A ? sin 2C ? sin 2B?HB ?

即 sin A cos B cosC HA ? sin B cos A cosC HB ? sin C cos A cos B HC ? 0 证明:∵对任意 ?ABC有 OH ? OA ? OB ? OC ,其中 O 为外心, H 为垂心, ∴ HA ? ? OB ? OC , HB ? ? OA ? OC HC ? ? OB ? OA

?

?

?

?

?

?

则 由 平 面 向 量 基 本 定 理 得 : 存 在 唯 一 的 一 组 不 全 为 0 的 实 数 x, y, z , 使 得

x HA ? y HB ? z HC ? 0 ,


? y ? z?OA? ?z ? x?OB ? ?x ? y?OC ? 0









3





s 2 iAOA n ?s 2 iBOB n ?s 2 iCOC n ?0
? x ? sin 2 B ? sin 2C ? sin 2 A ? y ? z ? sin 2 A ? ? 所以有: ? z ? x ? sin 2 B ,? ? y ? sin 2C ? sin 2 A ? sin 2 B ? z ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ? x ? y ? sin 2C ? ?
所 以 可 得 :

?sin 2B ? sin 2C ? sin 2 A?HA ? ?sin 2 A ? sin 2C ? sin 2B?HB ? ?sin 2A ? sin 2B ? sin 2C?HC ? 0
化简后可得:sin A cos B cosC HA ? sin B cos A cosC HB ? sin C cos A cos B HC ? 0

应用举例: 例1:已知 O 为 ?ABC的内心,且 2OA ? 3OB ? 4OC ? 0 ,则角 A 的余弦值为 分析:由结论2可得 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,所以由余弦定理可得: cos A ? 。

16 ? 9 ? 4 7 ? 2 ? 3? 4 8

例 2 : 已 知 ?ABC 的 三 边 长 为 AB ? 1, BC ? 6 , CA ? 2 , 设 ?ABC 的 外 心 为 O , 若

AO ? s AB ? t BC ,
求实数 s, t 的值。

分析: AO ? s AO ? OB ? t BO ? OC ,整理后即得: OA ?

?

? ?

?

s ?t t OB ? OC . s ?1 s ?1

sin 2 B ?s ? t ?? ? ? s ?1 sin 2 A 由 结 论 3 可 得 : ? ? t ? ? sin 2C ? sin 2 A ? s ?1
sin 2 A ? ? 15 15 3 15 , , sin 2 B ? , sin 2C ? 8 4 16

, 又 易 得

? AO ? AB ? s AB2 ? t BC ? AB ? 点评:此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组: ? 2 ? ? AO ? BC ? s AB ? BC ? t BC
解方程组可得结果。 例 3:设 H 是 ?ABC 的垂心,当 AB ? AC ? 5, BC ? 6 时, AH ? m AB ? n BC ,求实数

∴. s ?

7 3 ,t ? 5 5

m ? n 的值.
分 析 : 由 结 论 4 可 得 :

sin A cos B cosC HA ? sin B cos A cosC HB ? sin C cos A cos BHC ? 0 .
而 B ? C ,整理后得: ?1 ? cos A?HA ? cos AHB ? cos AHC ? 0 由 ∴?

AH ? m AB ? n BC ,可得 ?m ?1?HA ? ?m ? n?HB ? nHC ? 0 ,

m?n n cos A 25 ? 25 ? 36 7 ?? ?? ? . 而 cos A ? , m ?1 m ?1 1 ? cos A 2? 5? 5 25 14 7 21 解得 m ? ,n ? , ∴m? n ? . 32 32 32
点评:此题的通用解法应该是仿例2的点评,构造与基底相关的方程组。 通过这样的思考、探究,不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论,更为重要 的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助, 正契合了新课标对学生能力的要求。 所 以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究, 将极大地提高学生的数学

素质及思维能力。 特别性质:2.三角形四心与面积关系 设 O 是 ? ABC 内任一点,以 O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。 并设 A(p,0), B(q cos?, q sin?), C(r cos?,?r sin?).其中?AO B? ?, ?AO C? ?

(x, y ? R), 则 , O C不共线,由平面向量基本定理,可设 OA ? xOB? yOC 显然 O B
p sin? ? x? ? q sin( ? ? ?) ?p ? xqcos? ? yr cos? ? 解 得? ? ?0 ? xqsin? ? yr sin? ?y ? p sin? ? r sin( ? ? ?) ?

? qr sin( ? ? ?)OA ? pr sin?OB? pq sin?OC
? ?AO B ? ?, ?AO C? ?, ?BO C? 2? ? (? ? ? ), sin?BO C? ? sin( ? ? ?) ? ?S ?BOC O A ? S ?AOC O B? S ?AOB O C 即S ?BOC O A? S ?AOC O B? S ?AOB O C ? 0
(ⅰ)若 O 是 ? ABC 的内心,则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? a:b:c 故

aO A? bO B? cO C ? 0或 sinAO A? sinBO B? sinCO C ? 0

必要性得证.同时还可得到以下结论

(ⅱ)若 O 是 ? ABC 的重心,则 故 O A? O B? O C? 0 (ⅲ)若 O 是 ? ABC 的外心

S ?BOC ? S ?AOC ? S ?AOB ?

1 S ?ABC 3

: sin?AOC : sin?AOB? sin2A : sin2B : sin2C 则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? sin?BOC
故 sin2AO A? sin2BO B? sin2CO C ? 0 F E O B 故 tanAO A? tanBO B? tanCO C ? 0 D C A

(ⅳ)若 O 是 ? ABC (非直角三角形)的垂心,

tanB: tanC 则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? tanA:

OB? OC ? sin ?BOC ? ? OB? OC ? sin A ? 证明: S?BOC ? ?
E、O 、F 四点共圆)同理

1 2

1 2

1 ? OB? OC ?tan A?cos A (A 、 2

1 1 S?AOB ? ? OA? OB? sin C ? ? OA? OB?tan C ?cos C 2 2 1 1 S?AOC ? ? OA? OC ? sin B ? ? OA? OC ?tan B?cos B 2 2
因此只需证

OB? OC ? cos A ? OA? OB? cos C ? OA? OC ? cos B
先证第一个等式

OB? OC ?cos A ? OA? OB?cos C cos C cos ?AOE OE OE OC ? ? ? ? (E 、C、D、O 四点共圆, ?C , ?AOE 为 ?DOE 的 cos A cos ?COE OA OC OA
补角;E 、O、F、A 四点共圆, ?A, ?COE 为 ?FOE 的补角)所以上式成立,即第一个等 式成立。同理可证:该连等式成立,原题得证。 特别性质:3.三角形四心与面积关系 1.欧拉点:三个顶点到垂心连线的中点,又称费尔巴哈点。 2.欧拉圆:又称“九点圆”,即 3 个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。 3.欧拉线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫 三角形的欧拉线。 证明: 作△ABC 的外接圆,连结并延长 BO,交外接圆于点 D。连结 AD、CD、AH、CH、OH。作中线 AM,设 AM 交 OH 于点 G’ ∵ BD 是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD 是直角 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC ∴ DA‖CH,DC‖AH ∴ 四边形 ADCH 是平行四边形 ∴ AH=DC
∵ M 是 BC 的中点,O 是 BD 的中点

∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 ∴ G’是△ABC 的重心 ∴ G 与 G’重合 ∴ O、G、H 三点在同一条直线上


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