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训练题(14)棱柱与棱锥(1)


2011 年理科复课班一轮复习训练题(14)
棱柱与棱锥(一)
一.例题分析:
【题型一】棱柱、棱锥概念与性质的应用
【例 1】 下面是关于三棱锥的四个命题: ① 底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ② 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③ 底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥; ④ 侧棱与底面所成的角都相等,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; 其中真命题的序号是

【例 2】在直三棱柱 ABC―A1B1C1 中,AC⊥BC,∠AB1C=α ,∠ABC=β,∠BAB1=θ,则 ( ) A.sinα =sinβcosθ C.cosβ=cosα cosθ B.cosα =cosβcosθ D.sinβ=sinα cosβ

【例 3】 (2010 辽宁理数)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根 铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 (A)(0, 6 ? 2 ) (C) ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) (B)(1, 2 2 ) (D) (0, 2 2 )

【题型二】有关面积与体积问题
【例 4】 (2010 全国卷 1 理数)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四 面体 ABCD 的体积的最大值为 ( ) (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

【例 5】如图所示的几何体中,底面 ABCD 是矩形,AB=9, BC=6,EF//平面 ABCD,EF=3,△ADE 和△BCF 都是正三角形,则几何体 EFABCD 的体积为

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【题型三】棱柱与棱锥中的线面关系 o 【例 6】 如图所示, 三棱柱 ABC ? A' B' C ' 中, 四边形 BCC ' B ' 为菱形,?BCC' ? 60 ,?ABC 为等边三角形,面 ABC ? 面 BCC ' B ' , E、F 分别为棱 AB 、CC ' 的中点; ( Ⅰ)求证: EF // 面 A' BC ' ; A' A (Ⅱ)求二面角 C ? AA'? B 的大小。
[来源:Z.xx.k.Com]

E B B'

C

F

C'

【例 7】已知三棱锥 P—ABC 中,PC⊥底面 ABC, ?ABC=90 , AB=BC=2 ,二面角 P-AB-C
0

为 45 ,D、F 分别为 AC、PC 的中点,DE⊥AP 于 E. (Ⅰ)求证:AP⊥平面 BDE; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAC 所成的锐二面角的余弦值。

0

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二.精典练习
1.(2010 年北京卷理 8)如图,正方体 ABCD-

A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上,

动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1, 1 E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零) ,则四 面体 PEFQ的体积 ( ) (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关 2、 (2010 全国卷 2 理数) (9) 已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 , 那 么 当 该 棱 锥 的 体 积 最 大 时 , 它 的 高 为 ( ) (A)1 (B) 3 (C)2 (D)3 3.(2009 江西卷理)如图,正四面体 ABCD 的顶点 A , B , C 分别 在两两垂直的三条射线 Ox , Oy , Oz 上,则在下列命题中,错误 的 .. 为 A. O ? ABC 是正三棱锥 C.直线 AD 与 OB 所成的角是 45 ( ) B.直线 OB ∥平面 ACD D.二面角 D ? OB ? A 为 45
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

A

z

C D

O A

B y
x

4、 (2009 辽宁卷理)正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 ( ) (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2 5、 (2009 宁夏海南卷理) 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 1,线段 B 1D 1 上有两个 动点 E, F, 且 EF ?

(A) AC ? BE (B) EF / /平面ABCD (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 (D)异面直线 AE, BF 所成的角为定值

2 , 则下列结论中错误的是 2





6. (2009 四川卷理) 如图, 已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形, PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A. PB ? AD B.平面 PAB ? 平面PBC
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C. 直线 BC ∥平面 PAE D. 直线PD与平面ABC所成的角为45 7、 (2010 四川理数)已知正方体 ABCD- A?B?C ?D? 的棱长为 1,点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是对角线 BD? 的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线; D? C? (Ⅱ)求二面角 M- BC ? - B? 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积. A?
?

B?

M? D A

?O
C
B

8、 (2010 山东理数)如图,在五棱锥 P—ABCDE 中,PA⊥平面 ABCDE,AB∥CD,AC∥ED, AE∥BC, ? ABC=45°,AB=2 2 ,BC=2AE=4,三角形 PAB 是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积.

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