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坐标系与参数方程


坐标系与参数方程 知识点
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

x? ? ? ?x 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ? ? ? y? ? ? ?y
到点 P?( x?, y?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

(? ? 0) 的作用下,点 P(x,y)对应 (

? ? 0)

2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫 做极轴;再选定一个长度单位 ,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取 逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平 面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标系都 是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为 终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记作 M ( ? , ? ) . 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有 无数种表示. 如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标

( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并 在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐 标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标 ( x, y ) 极坐标 ( ? ,? )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )

圆心为 ( r , 0) ,半径为 r 的圆

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

圆心为 (r ,

?
2

) ,半径为 r 的圆

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) 过极点,倾斜角为 ? 的直线 (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

过点 (a, ? ) ,与极轴平行的直线
2

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

注 : 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ,即 ( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(? ? , ? ? ? ),(? ? , ?? ? ? ), 都表 示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只 要 求 至 少 有 一 个 能 满 足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点 M (

? ?

(

? ?

? ? ?5 ? ? ? , ? 2 ? 或 ) ( , ? ?2 或 )(, )等多种形式,其中,只有 ( , ) 的极坐标满足方程 ? ? ? . 4 4 4 4 4 4 4 4
二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

, ) 可以表示为 4 4

? x ? f (t ) ①,并 y ? g ( t ) ?

且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的 参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到

普通方程. (2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) ,把它代入普通方程,求出另一个变数与 参数的关系 y ? g (t ) ,那么 ?

? x ? f (t ) 就是曲线的参数方程 ,在参数方程与普通方程的互化中 ,必须使 x, y ? y ? g (t )

的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当 地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3.圆的参数 如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动, 设 M ( x, y ) ,则 ?

? x ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? r sin ?

这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 OM 0 转过的角度。 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 它的参数方程为: ? 4.椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 a 2 b2

? x ? a cos? (?为参数) , 其 中 参 数 ? 称 为 离 心 角 ; 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是 ? ? y ? b sin ? ? x ? b cos? y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 ? (?为参数), 其中参数 ? 仍为离心角,通常规定参数 ? 2 a b ? y ? a sin ?
的范围为 ? ∈[0,2 ? ) 。 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 ? 区 分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点, 两个角的数值都不相等。但当 0 ? ? ? 5.双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为

?
2

时,相应地也有 0 ? ? ?

?
2

,在其他象限内类似。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其参数方程为 a 2 b2

? x ? a sec ? ? 3? . (?为参数) ,其中 ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? ? 2 2 ? y ? b tan ?
焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a 2 b2

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? ? y ? a csc ?
以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程

? x ? 2 pt 2 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程为 ? (t为参数). ? y ? 2 pt
2

7.直线的参数方程 经 过 点 M 0 ( x0 , y0 ), 倾 斜 角 为 ? (? ?

?
2

) 的 直 线 l 的 普 通 方 程 是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而 过

? x ? x0 ? t cos ? ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) 。 M 0 ( x0 , y0 ) ? y ? y0 ? t sin ?
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段 ? ? y ? y0 ? t sin ? ?????? ? 当点 M 在 M 0 上方时,t >0; 当点 M 在 M 0 下方时,t <0; 当点 M 与 M 0 重合时,t =0。 M0 M 的数量,
我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长 度与原直角坐标系中的单位长度相同。

参数方程与极坐标“考点”面面看
“参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化,极坐标系与普通坐标系的互化,参数 方程和极坐标的简单应用三块,下面针对这三块内容进行透析: 一、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式 (三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数 t ,先确 定一个关系 x ? f ? t ? (或 y ? g (t ) , 再代入普通方程 F ? x, y ? ? 0 , 求得另一关系 y ? g (t )(或 x ? f ?t ? ) . 一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标) ? x ? 2t ? 2?t 例 1、方程 ? 表示的曲线是( ) (t为参数) ? t ?t y ? 2 ? 2 ? ? A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 分析:把参数方程化为我们熟悉的普通方程,再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解析:注意到 2 与 2 互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含 t 的 项 ,
tt ?t

x 2 ? y 2 ? ? 2t ? 2?t ? ? ? 2t ? 2?t ? ? ?4, 即
2 2



y 2 ? x2 ? 4











.显 4 y ? 2) 2t ? 0, 2t ? 2?t ? 2 2t ? 2?t ? 2,即y ? 2 ,可见与以上参数方程等价的普通方程为 y2 ? x2 ? ( 然它表示焦点在 y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选 B. 点评:这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题,转化的关键是要注意变量范围的一致性. 趁热打铁 1:与普通方程 x ? y ?1 ? 0 等价的参数方程是(
2

) ( t 为能数)

? ? x ? sin t ? x ? tgt ? x ? cos t ?x ? 1? t A. ? B. ? C. ? D. ? 2 2 2 ? ? y ? cos t ? y ? 1 ? tg t ? y ? sin t ?y ? t

解析:所谓与方程 x2 ? y ?1 ? 0 等价,是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且 x, y 的变 化范围也对应相同,按照这一标准逐一验证即可破解. 对于 A 化为普通方程为 x2 ? y ?1 ? 0,x ???11 ,, , ? y ??01 ?; 对于 B 化为普通方程为 x2 ? y ?1 ? 0,x ? R,y ? (??, 1] ; 对于 C 化为普通方程为 x2 ? y ?1 ? 0,x ?[0, ? ?),y ? (??, 1] ; 对于 D 化为普通方程为 x2 ? y ?1 ? 0,x ???11 ,, , ? y ??01 ?. 而已知方程为 x2 ? y ?1 ? 0,x ? R,y ? (??, 显然与之等价的为 B. 1], 例 2、设 P 是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值是 ,最小值为 . 分析:注意到变量 ? x, y ? 的几何意义,故研究二元函数 x ? 2 y 的最值时,可转化为几何问题 .若设 (对于 t 取不同的值,方程表示不同的直线) ,显然 ? x, y ? 既 x ? 2 y ? t ,则方程 x ? 2 y ? t 表示一组直线,
2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 的公共解,依题意得直线与 满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 ,又满足 x ? 2 y ? t ,故点 ? x, y ? 是方程组 ? ? ?x ? 2 y ? t

椭圆总有公共点,从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式 ? ? 0 问题.

解析:令 x ? 2 y ? t ,对于 ? x, y ? 既满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 ,又满足 x ? 2 y ? t ,故点 ? x, y ? 是方程组

? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 2 2 2 2 的公共解,依题意得 11 y ? 8t ? y ? 2t ? 12 ? 0 ,由 ? ? 64t ? 4 ? 11? 2t ? 12 ? 0 , ? ?x ? 2 y ? t
解得: ? 22 ? t ?

?

?

?

?

22 ,所以 x ? 2 y 的最大值为 22 ,最小值为 ? 22 . 点评:对于以上的问题,有时由于研究二元函数 x ? 2 y 有困难,也常采用消元,但由 x, y 满足的方 2 程 2 x ? 3 y 2 ? 12 来表示出 x 或 y 时会出现无理式,这对进一步求函数最值依然不够简洁,但若通过三角
函数换元,则可实现这一途径.即

? x2 y 2 ? x ? 6 cos ? ? ?1? ? ,因此可通过转化为 ? 的一元函数.以上 6 4 y ? 2sin ? ? ?
y B M P P’ B’ O x

二个思路都叫“参数法”. 趁热打铁 2:已知线段 BB? ? 4 ,直线 l 垂直平分 BB? ,交 BB? 于点 O, 在属于 l 并且以 O 为起点的同一射线上取两点 P, P? ,使 OP ? OP? ? 9 ,求直 线 BP 与直线 B ?P ? 的交点 M 的轨迹方程. 解析:以 O 为原点,BB’为 y 轴, l 为 x 轴建立直角坐标系,则 B(0, 2) ,
9 ? ,则直线 BP 的 B?(0, ?2) ,设 P(a,0), a ? 0 ,则由 OP ? OP? ? 9 ,得 P? ? ? ,0? ?a ?

方 程 为

x y ? ?1 ; 直 线 a 2

B ?P ? 和 方 程 为

x y ? ?1 ? 9 ? ? ?2 ? ? ? ?a?



18a ? x? 2 ?2 x ? ay ? 2a ? 0 ? ? a ?9 设M (x,y),则由? 解得: (a为参数) ? 2 ?2ax ? 9 y ? 18 ? 0 ? y ? 2a ? 18 ? a2 ? 9 ?

B? ) , 因此点 M 的轨迹为长轴长为 6, 短轴长为 4 的椭圆 (除 B, . 消去a,可得: 4x2 ? 9 y 2 ? 36 (x ? 0)
与原点重合; (2)极轴与 x 轴正方向重合; (3)取相同的单位长度.设点 P 的直角坐标为 ? x, y ? ,它的极坐 标为 ? ? ,? ? ,则
?? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? ;若把直角坐标化为极坐标,求极角 ? 时,应注意判断点 或? ? y tg ? ? ? y ? ? sin ? ? x ?

二、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是(1)极点

P 所在的象限(即角 ? 的终边的位置) ,以便正确地求出角 ? . ? 例 3、极坐标方程 4 ? ? sin 2 ? 5 表示的曲线是( )
2

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线的一支

D. 抛物线

分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解析:由 4 ? ? sin 2 ? ? 4 ? ? 1 ? cos ? ? 2 ? ? 2 ? cos ? ? 5 ,化为直角坐标系方程为 2 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 5 ,化简 2 2 25 得 y 2 ? 5 x ? .显然该方程表示抛物线,故选 D. 4 点评:若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线,因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程, 加以研究. ?? 2 ,则极点到该直线的距离是 趁热打铁 3:已知直线的极坐标方程为 ? sin ? ?? ? ? ? 4? 2 ? 解 析 : 极 点 的 直 角 坐 标 为 o ? 0,0 ? , 对 于 方 程 ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 4? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? ? ?? 2 2 ? 2 ?

,可得

? ? sin ? ? ? cos? ? 1, 化为直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,因此点到直线的距离为
例 4、极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 转化成直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1 B. x ? 1 C. x ? y ? 0或x ? 1 分析:极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.
2 2 2 2

2. 2

) D. y ? 1

解析: ? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ?

x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1 ,因此选 C.


点评:此题在转化过程中要注意不要失解,本题若成为填空题,则更要谨防漏解. 趁热打铁 4:点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

解析: (2, 2k? ?

2? ), (k ? Z ) 都是极坐标,因此选 C. 3

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), (k ? Z )

三、参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是:求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问 题.

?? ?? ? ?? ? 例 5、已知 ?ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A ? ? 5, ?,B ? 5, ?,C ? ?4 3, ? ,判断三角形 ABC 的三 3? ? 6? ? 2? ? 角形的形状,并计算其面积. B 分析:判断△ABC 的形状,就需要计算三角形的边长或角,在本题中计算边 A 长较为容易,不妨先计算边长. ? 5? 5? O x 解析:如图,对于 ?AOB ? ,?BOC ? , ,?AOC ? 3 6 6
又 OA ? OB ? 5, OC ? 4 3 ,由余弦定理得:
C
2 2 2

AC ? OA ? OC ? 2 OA ? OC ? cos ?AOC ? 52 ? 4 3

?

?

2

? 2 ? 5 ? 4 3 ? cos

5? 6

? 133 ,? AC ? 133 , 同理, BC ? 133 ,? AC ? BC ,??ABC为等腰三角形 , 又 AB ? OA ? OB ? 5 ,

1 13 3 65 3 1 ? 13 3 , ? S?ABC ? ? ?5 ? ? AC ? ? ? ? ? AB ? ? ? 2 2 4 2 ?2 ? 趁热打铁 5:如图,点 A 在直线 x=5 上移动,等腰△OPA 的顶角∠OPA 为 120°(O, P,A 按顺时针方向排列) ,求点 P 的轨迹方程. 解析:取 O 为极点, x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x ? 5 的极坐标方程
2

所以 AB 边上的高 h ?

2

y P A

为 ? cos ? ? 5 , 设 A (

, P ? ? ,? ? , 因 点 A 在 直 线 ? cos ? ? 5 上 , ?0 , ?0 )

O

x

? ?0 cos?0 ? 5 ? 1 ?

? ?OPA

















?OPA ? 120?,而 OP ? ?, OA ? ?0 ,以及 ?POA ? 30? ? ?0 ? 3?,且?0 ? ? ? 30? ? 2 ? ,把<2>代

入<1>,得点 P 的轨迹的极坐标方程为:

3? cos ?? ? 30?? ? 5 .

选做题-极坐标与参数方程
(2015 年新课标 1 卷)23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R ),设 C2 , C3 的交点为 M,N,求 ?C2 MN 的面积.

(2015 年文科新课标 2 卷)23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点,x 轴正 ? y ? t sin ? ,

半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值.

(2014 年文科新课标 1 卷)23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y2 已知曲线 C : ( t 为参数) ? ? 1 ,直线 l : ? y ? 2 ? 2 t 4 9 ?
(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求|PA|的最大值与最小值.

( 2014 年文科新课标 2 卷)23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? 2 cos? ,θ ? [0, ? ]. 2
(I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l :y= 3 x+2 垂直,根据(I)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

(2013 年文科新课标 1 卷)23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 4 ? 5 cost (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? y ? 5 ? 5 sin t 标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).
已知曲线 C1 的参数方程为 ? (2013 年文科新课标 2 卷)23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2 cost (t 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? 与 t ? 2? (0< ? <2π ), ? y ? 2 sin t

M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

(2012 年文科新课标卷)23、(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos? (φ 为参数), 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? y ? 3 sin ?

曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的 π 极坐标为(2,3) (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。

(2011 年文科新课标卷)23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,M 为 C1 上的动点,P 点满足 ? y ? 2 ? 2 sin ?

??? ? ???? ? OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 .
(I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的异于极点的交点为 B,求|AB|

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2

(2010 年文科新课标卷)(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ?

? x ? 1 ? t cos? ? x ? cos? (t 为参数) ,圆 C2 : ? ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

( ? 为参数),

[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅰ)当 a ?

?
3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A、P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并 指出它是什么曲线。

(2009 年文科新课标卷)23. (本小题满分 10 分)选修 2—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1: ?

? x ? ?4 ? cost ? x ? 8 cos? (t 为参数) , C2: ? ( ? 为参数) . y ? 3 ? sin t y ? 3 sin ? ? ? ? x ? 3 ? 2t ? ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ? (t 2 ? y ? ?2 ? t

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? 为参数)距离的最小值. (2008 年文科新课标卷)23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x ? ? ? x ? cos ? ? ?y ? ( ? 为参数 ) ? ? y ? sin ? ? 已知曲线 C1: ,曲线 C2: ? 2 t? 2 2 (t为参数) 2 t 2 。

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数;

(2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 , C 2 。写出 C1 , C 2 的参数 方程。 C1 与 C 2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。

?

?

?

?

?

?

(2007 年文科新课标卷)22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

圆O1 和 圆O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? .
(Ⅰ)把 圆O1 和 圆O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 圆O1 , 圆O2 交点的直线的直角坐标方程.

即时训练 一、选择题(8 题)

?? ? 1. 已知点 M 的极坐标为 ? ?5, ? ,下列所给出的四个坐标中不能表示点 M 的坐标是( ? 3?
?? A. ? ? 5, ? ?
? 3? 4? ? B. ? ? 5, ? ? 3?



2? ? C. ? ? 5, ? ? ? 3?

5? ? D. ? ? ?5, ? ? ? 3?

x ? 1 ? 2t 2.若直线的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线的斜率为( ? ? y ? 2 ? 3t



A.

x ? sin 2? 3.下列在曲线 ? (? 为参数) 上的点是( ? ? y ? cos ? ? sin ?

2 3

B. ?

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

) D. (1, 3) ) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. ( , ? 2)

1 2

B. ( ?

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? 4.将参数方程 ? (? 为参数) 化为普通方程为( ? 2

A. y ? x ? 2
?

? ? y ? sin ?

B. y ? x ? 2
1

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

5.参数方程为 ? x ? t ? (t为参数) 表示的曲线是( t ?
? ?y ? 2

A.一条直线
? 6.直线 ? ? 1 x ? 1? t 2

B.两条直线

C.一条射线

D.两条射线 )

(t为参数) ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2

和 圆 x2 ? y 2 ? 16 交 于 A, B 两 点 , 则 AB 的 中 点 坐 标 为 (

A. (3, ?3)

B. (? 3,3)

C. ( 3, ?3)

D. (3, ? 3) D.一个圆

7.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 8.直线 l 的参数方程为 ? 是( ) B. 2 t1 C. 2 t1 D.

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之间的距离 ?y ? b ? t
2 t1 2

A. t1

二、填空题(4 题) 9. 点 2 , ? 2 的极坐标为

?

?

?? ? 10. 圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 ? 6?
11. 极坐标方程为 ? ? cos? ? 3sin ? ? 0 表示的圆的半径为
?? ?? ? 12 若 A ? ? 3, ? ,B ? ?3, ? ,则|AB|=__________, S ?AOB ? ___________(其中 O 是极点) ? ? ? ?
3

6

三、解答题(3 题)
2 2 13. 求椭圆 x ? y ? 1上一点P与定点( 1 , 0)之间距离的最小值 。

9

4

14. 若方程 m? cos2 ? ? 3? sin 2 ? ? 6cos? ? 0 的曲线是椭圆,求实数 m 的取值范围. ? x ? 2 cos ? ,若 A、B 是 C 上关于坐标轴不对称的任意两点,AB 的垂直平分线交 x 轴于 P 15. 已知曲线C: ? ? y ? sin ? (a,0) ,求 a 的取值范围.

即时训练参考答案 一、选择题: 1.A 解析:能表示点 M 的坐标有 3 个,分别是 B、C、D. 2.D 解析: k ?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2

3 1 时, y ? 4 2 4.C 解析:转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]
3.B 解析:转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ? 5、D 解析: y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线 6.D
2 1 3 2 t ?t (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

1 因此中点为 ? ?x ? 1? ? 4

? 2 ? ?x ? 3 ?? ? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2

7.C

解析:

? c o s? ? 4 s i? n co ?s , c ? ? os或 0 ? ? ,
2 2

即 4 ? s i2n??,

? k? ? ? , 4?则 s? in

?

2

,或

x2 ? y 2 ? 4 y
8、C 解析: 距离为 t1 ? t1 ?

2 t1

二、填空题: ?? 7? ? ? ? 9、 ? 6 , ? ? 或写成 ? 6 , ? 解析:由 x ? 2,y ? ? 2 ,得 ? ? ? ? ? 4 4 ? 四 象 限 且 tg? ?

? 2 位于第 而点 2, x 2 ? y 2 ? 6,
P A C
7? ? ? ? 6, ?. ? 4 ?

?

?

(2, ?

y 2 ? 7? ,故点 ?? ,? ? ? 或 ? ? 4 x 2 4 ?? ? 6, ? ? 或 写 成 2)的 极 坐 标 为 ? ? 4?

10、 ? ? 6 cos ? ? ?

? ?

??
? 6?

解析:如下图,设圆上任一点为

P( ? ,? ) ,

则 ? OP ? ? ?,?POA ? ? ?

?
6

, ? OA? ? 2 ? 3 ? 6

O

x

Rt?OAP中, ?OP? ? ?OA? ? cos ?POA
?? ? ? ? ? 6 cos ? ? ? ? 6? ?

?? ? 11、1 解析:方程变形为 ? ? cos ? ? 3 sin ? ? 2cos ? ? ? ? ,该方程表示的圆的半径与圆 ? ? 2cos ? 的半 6? ? 径相等,故所求的圆的半径为 r=1
12 、

3 2

?

6? 2

?

9 4

解 析 : 在 极 坐 标 系 中 画 出 点 A 、 B , 易 得 ?AOB ? 150? ,
2 2 2

?AOB中,由余弦定理,得:AB ? OA ? OB ? 2 OA ? OB cos ?AOB

? AB ? 32 ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 ? cos150? ? 18 ? 9 3 ? 3 2 ? 3 ?

3 2

?

6? 2

?

S?OAB ?

1 1 9 OA ? OB ? sin ?AOB ? ? 3 ? 3 ? sin150? ? 2 2 4

三、解答题:

(1, 0) 13. 解析: (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)设P ? 3cos?, 到定点的距 2sin ? ?,则P
离为

d ?? ? ?

?3cos? ?1? ? ? 2sin ? ? 0?
2

2

? 5cos2 ? ? 6cos ? ? 5

3 ? 16 3 4 5 ? ? 5 ? cos ? ? ? ? , 当cos ? ? 时,d ?? )取最小值 5 5 5? 5 ?
14. 解析:将方程两边同乘以 ? ,化为: m ? ? cos ? ? ? 3 ? ? sin ? ? ? 6 ? cos ? ? 0
2 2

2

3? ? ?x? ? y2 m? ? 2 2 ? ?1 , 若 方 程 表 示 椭 圆 , 则 m 须 满 足 : 即mx ? 3 y ? 6x ? 0 , 整理,得: 9 3 m2 m
? 9 ? m2 ? 0 ? ?3 ? m ? 0且m ? 3 ? m ? ? 0, 3? ? ?3, ? ?? ? ?0 m ? 3 ? 9 ? m2 ? m ?

2

?? ? 2k? ? ?,且? ? ? 2k ?1?? ? ?,k ? z ,? AB的垂直平分线与x轴交于点P · · · · · 2 2 2 2 ? PA ? PB , ? ? a ? 2 cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? a ? 2 cos ? ? ? ? sin ? ?
解之,得:a ?

15. 解析: 设A?2 cos ?, sin ? ? ,B?2 cos ?, sin ? ? ,? A、B关于坐标轴不对称

3 3 ? cos ? ? cos ? ? , 当 cos ? ? cos ? ? 1时,a取最大值 ; 2 4

? 3 3? 3 当 cos ? ? cos ? ? ?1时,a取最小值 ? . ? a的取值范围为? ? , ? 2 ? 2 2?


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