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高考数学复习点拨 点与圆位置关系的应用


点与圆位置关系的应用
点与圆的位置关系有三种:点在圆外,点在圆上,点在圆内,这三种位置关系有下面 的结论:设点 P( x0 , y 0 ) ,圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,则 (1) 点 P 在圆 C 外 ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ; (2) 点 P 在圆 C 上 ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ; (3) 点 P 在圆 C 内 ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . 利用以上结论,可以解决许多有关圆的问题。 一、判断位置关系 例 1、已知圆 C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 ,直线 l : (2m+1)x+(m+1)y=7m+4 ( m ? R) ,证明不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒有两个交点。 解析:若按常规思路需证明圆心 C 到直线 l 的距离恒小于半径或把直线方程代入圆的方 程判别式恒大于零,运算都较繁,但把直线 l 的方程整理成(x+y-4)+m(2x+y-7)= 0,后可发现 l 是过直线 x+y-4=0 与直线 2x+y-7=0 的交点(3,1)的直线,很显然

(3 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 25 ,即定点(3,1)在圆 C 的内部。
所以,不论 m 为何实数值,直线 l 与圆 C 恒有两个交点。 二、求参数范围 例 2、a、b 满足什么条件时,使得对于任意实数 m,直线 l :y=m(x-1)+b 恒与圆 O:

x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 有两个交点。
分析:本题虽然可以用“ ? ”法来解,但运算量大(两次使用判别式) ,而且容易忽视对 二次不等式系数的讨论而造成漏解,如果利用直线 l 过定点(1,b) ,并使该点在圆 O 的内 部,便可得到最简解答。 解:由题知直线 l :y-b=m(x-1)过定点 M(1,b) ,欲使 l 与圆 O 恒有两个交点, 须使点 M 在圆的内部,于是,当 1 ? b ? a ,即 a ? b ? 1 时,对于任意实数 m,直线 l
2 2 2 2 2

恒与圆 O 有两个交点。 三、确定轨迹方程的完备性 例 3、已知直线 l :y=k(x-a)及圆 O: x ? y ? r (a ? r ? 0) ,直线 l 与圆 O 相
2 2 2

交于 A、B 两点,求当 k 变化时,弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:本题解法较多,充分利用几何图形的性质来解较简捷,但要注意变量范围的确 定。 解:设 M 的坐标为(x,y) ,已知直线恒过定点 C(a,0). 因为, OM ? MC ,所以,M 在以 OC 为直径的圆上,所以,M 的坐标满足

r2 a 2 a 2 2 ,联立两圆方程可求得两圆交点的横坐标为 , x? (x ? ) ? y ? ( ) a 2 2
因为,M 在圆 O 的内部,所以, 0 ? x ?

r2 . a r2 .) a

所以,M 的轨迹方程为 x 2 ? ax ? y 2 ? 0 ( 0 ? x ? 四、解决应用问题

例 4、有一种大型商品,A、B 两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商 品后运回来,没公里的运费 A 地是 B 地的两倍。若 A、B 两地相距 10 公里,顾客选择 A 的 或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,那么,不同地点的居民应如 何选择购买此商品的地点? 解析:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建 立平面直角坐标系(如图) 。设 A(-5,0) ,则 B(5,0). 在坐标 平面内任取一点 P(x,y) ,设从 A 运货到 P 的运费为 2a 元/km,则 从 B 运到 P 的费用为 a 元/km. 若 P 地居民选择在 A 地购买此商品, 则

2a ( x ? 5) 2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2
即点 P 在圆 C: ( x ?

整理得 ( x ?

25 2 20 ) ? y 2 ? ( )2 3 3

25 2 20 ) ? y 2 ? ( ) 2 的内部,也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物。 3 3

同理可推得圆 C 外部的居民应在 B 地购物。圆 C 上的居民可随意选择 A、B 两地之一购物。

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