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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导:数论初步—数的整除性


整数的整除性 定义:设 a,b 为二整数,且 b≠0,如果有一整数 c,使 a=bc,则称 b 是 a 的约数,a 是 b 的倍数,又称 b 整除 a,记作 b|a. 显然,1能整除任意整数,任意整数都能整除0. 性质:设 a,b,c 均为非零整数,则 ①.若 c|b,b|a,则 c|a. ②.若 b|a,则 bc|ac ③.若 c|a,c|b,则对任意整数 m、n,有 c|ma

+nb ④.若 b|ac,且(a,b)=1,则 b|c 证明:因为(a,b)=1 则存在两个整数 s,t,使得 as+bt=1 ∴ asc+btc=c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc+btc) ? b|c ⑤.若(a,b)=1,且 a|c,b|c,则 ab|c 证明:a|c,则 c=as(s∈Z) 又 b|c,则 c=bt(t∈Z) 又(a,b)=1 ∴ s=bt'(t'∈Z) 于是 c=abt' 即 ab|c ⑥.若 b|ac,而 b 为质数,则 b|a,或 b|c ⑦.(a-b)| (an-bn)(n∈N),(a+b)|(an+bn)(n 为奇数) 整除的判别法:设整数 N= a 1a n ?1 ? a 2 a 1 ①.2|a1 ? 2|N , 5|a1 ? 5|N ②.3|a1+a2+…+an ? 3|N 9|a1+a2+…+an ? 9|N ③.4| a a 25| a a ④.8| a

? 4|N ? 25|N

a a ? 8|N a a ? 125|N a a | ? 7|N a a | ? 11|N

125| a

⑤.7|| a n a n ?1 ? a 4 - a ⑥.11|| a n a n ?1 ? a 4 - a

⑦.11|[(a2n+1+a2n-1+…+a1)-(a2n+a2n-2+…+a2)]

? 11|N
⑧.13|| a n a n ?1 ? a 4 - a

a a | ? 13|N

推论:三个连续的整数的积能被6整除. 例题: 1.设一个五位数 abcad ,其中 d-b=3,试问 a,c 为何值时,这个五位数被 11 整除. 解:11| abcad ∴ 11|a+c+d-b-a 即 11|c+3 ∴ c=8 1≤a≤9,且 a∈Z 2.设 72| a 673 b ,试求 a,b 的值. 解:72=8×9,且(8,9)=1 ∴ 8| a 673 b ,且 9| a 673 b ∴ 8| 73 b ? b=6 且 9|a+6+7+3+6 即 9|22+a ∴ a=5 3.设 n 为自然数,A=3237n-632n-855n+235n, 求证:1985|A. 证明:∵1985=397×5 A=(3237n-632n)-(855n-235n) =(3237-632)×u-(855-235)×v(u,v∈Z) =5×521×u-5×124×v ∴5|A 又 A=(3237n-855n)-(623n-235n) =(3237-855)×s-(623-235)×t(s,t∈Z) =397×6×s-397×t ∴ 397|A 又∵(397,5)=1 ∴397×5|A 即 1985|A 4.证明:没有 x,y 存在,使等式 x2+y2=1995(x,y∈Z)成立. 证:假设有整数 x,y 存在,使 x2+y2=1995 成立。 ∵x2,y2 被4除余数为0或1. ∴x2+y2 被4除余数为0,1或2. 又∵1995 被4除余数为3. ∴得出矛盾,假设不成立. 故没有整数 x,y 存在,使 x2+y2=1995 成立.

费马小定理:若 p 是素数,(m,p)=1 - 则 p|mp 1-1 5.试证:999…9 能被 13 整除.
12 个

证明:∵10-1=9,100-1=99,…?1012-1=999…9.
12 个

又(10,13)=1 - ∴13|(1013 1-1),即 13|(1012-1) ∴13 |999…9.
12 个

6.请确定最小的正整数 A,其末位数是 6,若将未位的 6 移至首位,其余数字不变,其值变为 原数的 4 倍. 解:设该数为 A= a n a n ?1a n ? 2 ? a 1 ,其中 a1=6 令 x= a n a n ?1a n ? 2 ? a 2 则 A= x 6 =x· 10+6 于是 4A= 6 x =6×10n 1+x 即有 4×10x+24=6×10n 1+x x=
- -

2(10 n ?1 ? 4) 13

∵ (2,13)=1,x 是整数 - ∴ 13|(10n 1-4) - n=1,2 时,10n 1-4<10 显然不满足条件 - n=3 时,10n 1-4=96 不满足条件 - n=4 时,10n 1-4=996 不满足条件 - n=5 时,10n 1-4=9996 不满足条件 - n=6 时,10n 1-4=99996 满足条件 2 ? 99996 ∴ x= =15384 13 即 A=153846 7.一个正整数,如果用7进制表示为 abc ,如果用5进制表示为 cba ,请用 10 进制表示这个数. 解:由题意知:0<a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为 n,则 n= abc =a×72+b×7+c, n= cba =c×52+b×5+a ∴49a+7b+c=25c+5b+a 48a+2b-24c=0 b=12(c-2a) ∴12|b, 又∵0≤b≤4

∴b=0, ∴c=2a ∴当 a=1,c=2 时,n=51 当 a=2,c=4 时,n=102 练习: 1.证明:设 N=19881988-19861986,则 1987∣N 2.设 n 是自然数,求证 n5-n 可被 30 整除. 3.请确定最小的正整数 A,其末位数为 2,若将末位数 2 移至首位,其余数字不变,则是原数 的 2 倍. 4.一个正整数,若用 9 进制表示为 abc ,若用 7 进制表示为 cba ,请用 10 进制表示此数. 5.五位数 4a67a 能被 4 整除,最末两位组成的数 7a 能被 6 整除,求此五位数.


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