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陕西省渭南市澄城县寺前中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


陕西省渭南市澄城县寺前中学 2015 届高三上学期第一次 月考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={2,3},则集合 A 的子集个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

考点:子集与真子集. 专题:计算题. 分析:根据集合子集的定义依次列出集合的子集即可得出答案.

解答: 解:集合 A={2,3}的子集分别是:φ,{2},{3},{2,3}, 共有 4 个, 故选 D. 点评:本题主要考查子集概念,属于基础知识,基本概念的考查. 2.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(﹣x)是奇函数 B.f(x)|f(﹣x)|是奇函数 C.f(x)﹣f(﹣x)是偶函数 D.f(x)+f(﹣x)是偶函数 考点:函数奇偶性的性质. 分析:令题中选项分别为 F(x) ,然后根据奇偶函数的定义即可 得到答案. 解答: 解:A 中令 F(x)=f(x)f(﹣x) ,则 F(﹣x)=f(﹣x)f(x)=F(x) , 即函数 F(x)=f(x)f(﹣x)为偶函数, B 中 F(x)=f(x)|f(﹣x)|,F(﹣x)=f(﹣x)|f(x)|,因 f(x)为任意函数,故此时 F (x)与 F(﹣x)的关系不能确定,即函数 F(x)=f(x)|f(﹣x)|的奇偶性不确定, C 中令 F(x)=f(x)﹣f(﹣x) ,令 F(﹣x)=f(﹣x)﹣f(x)=﹣F(x) ,即函数 F(x)=f (x)﹣f(﹣x)为奇函数, D 中 F(x)=f(x)+f(﹣x) ,F(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=F(x) ,即函数 F(x)=f(x)+f (﹣x)为偶函数,[来源:学科网 ZXXK] 故选 D. 点评:本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断,同时考查了函数的运算. 3.下列函数中,在区间( 0,1)上是增函数的是( A.y=|x| B.y=3﹣x C.y= ) D.y=﹣x +4
2

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:阅读型.

分析:本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题.在解答时,可 以结合选项逐一进行排查,排查时充分考虑所给函数的特性:一次函数性、幂函数性、二次函 数性还有反比例函数性.问题即可获得解答. 解答: 解:由题意可知: 对 A:y=|x|= ,易知在区间(0,1)上为增函数,故正确;

对 B:y=3﹣x,是一次函数,易知在区间(0,1)上为减函数,故不正确; 对 C:y= ,为反比例函数,易知在(﹣∞,0)和(0,+∞)为单调减函数,所以函数在(0, 1)上为减函数,故不正确; 对 D:y=﹣x +4,为二次函数,开口向下,对称轴为 x=0,所以在区间(0,1)上为减函数, 故不正确; 故选 A. 点评: 此题是个基础题. 本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问 题.在解答的过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力.值得同 学们体会反思. 4.不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( A.﹣4≤a≤4 B.﹣4<a<4 C.a≥4 或 a≤﹣4
2 2

) D.a<﹣4 或 a>4

考点:二次函数的性质. 专题:计算题. 2 分析:不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,只需相应方程有两个不同的根即可. 2 解答: 解:∵x +ax+4<0 的解集不是空集, 2 ∴x +ax+4=0 有两个不同的实数根, 2 则需△ =a ﹣16>0, ∴a<﹣4 或 a>4, 故选 D. 点评:本题是考查二次函数,二次不等式,二次方程间的相互转化和相互应用,这是函数中综 合性较强的问题,需熟练掌握. 5.在 R 上定义运算?:a?b=ab+2a+b,则满足 x?(x﹣2)<0 的实数 x 的取值范围为( ) A. (0,2) B. (﹣2,1) C. (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) D. (﹣1,2) 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: 根据规定的新定义运算法则先把不等式化简, 然后利用一元二次不等式求解集的方法求 出 x 的范围即可. 解答: 解:∵x⊙(x﹣2)=x(x﹣2)+2x+x﹣2<0, 2 ∴化简得 x +x﹣2<0 即(x﹣1) (x+2)<0, 得到 x﹣1<0 且 x+2>0①或 x﹣1>0 且 x+2<0②,解出①得﹣2<x<1;解出②得 x>1 且 x<﹣2 无解. ∴﹣2<x<1.

故选 B 点评:此题是一道基础题,要求学生会根据已知的新定义化简求值,会求一元二次不等式的解 集. 6.已知 y=x +2(a﹣2)x+5 在(4,+∞)上是增函数,则实数 a 的范围是( A.a≤﹣2 B.a≥﹣2 C.a≤﹣6 D.a≥﹣6
2

)

考点:二次函数的性质. 专题:计算 题. 分析:先求出对称轴方程,利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减,比较区间 端点和对称轴的大小即可. 解答: 解:因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减; 而其对称轴为 x=2﹣a,又在(4,+∞)上是增函数 故须 2﹣a≤4, ∴a≥﹣2, 故选 B. 点评:本题考查了二次函数的单调性.二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决定.开 口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减;开口向下的二次函数在对称轴左边递增,右 边递减. 7.下列四个说法: (1)函数 f(x)>0 在 x>0 时是增函数,x<0 也是增函数,所以 f(x)是增函数; (2)若函数 f(x)=ax +bx+2 与 x 轴没有交点,则 b ﹣8a<0 且 a>0 ; 2 (3)y=x ﹣2|x|﹣3 的递增区间为[1,+∞) ; (4)y=1+x 和 其中说法正确的个数是( A.0 B.1 表示相等函数. ) C.2 D.3
2 2

考点:判断两个函数是否为同一函数;二次函数的性质. 专题:计算题. 分析: 据函数在几个区间上是增函数但在区间的并集上不一定是增函数; 二次函数与轴无交点 等价于判别式小于 0;当函数的定义域、对应法则、值域都相同时函数相同. 解答: 解:对于(1) ,例如 f(x)=﹣ 在 x>0 时是增函数,x<0 也是增函数;但 f(x) 在定义域上不是增函数.故(1)错 2 2 对于(2)函数 f(x)=ax +bx+2 与 x 轴没有交点,则 b ﹣8a<0 或 a=b=0,故(2)错 2 对于(3) ,y=x ﹣2|x|﹣3 的递增区间为[1,+∞)和[﹣1,0],故(3)错 对于(4) ,y=1+x 的值域为 R, 的值域为[0,+∞) ,故(4)错

故选 A 点评:本题考查同一个函数需要定义域、对应法则、值域都相同;二次函数有根的充要条件是 判别式大于等于 0.

8.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 2 2 2 2 C.“a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a +b ≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 考点:命题的真假判断与 应用. 专题:推理和证明. 分析:由四种命题的等价关系可判断 A,D;利用等价命题的定义,可判断 B;写出原命题的 逆否命题,可判断 C; 解答: 解:一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真, 一个命题为真,则它的逆否 命题一定为真,但一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题不一定为真,故 A 错误,D 正确; “a>b”?“a+c>b+c”,故 B 错误; 2 2 2 2 “a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 不全为 0,则 a +b ≠0”,故 C 错误; 故选:D[来源:Zxxk.Com] 点评:本题考查的知识点是四种命题,等价命题,熟练掌握四种命题的等价关系和定义是解答 的关键. 9.设 a∈R,且 a≠0,则 a>1 是

的(

)

A.既不充分也不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.充 分但不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:规律型. 分析:结合不等式解法,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:若 a>1,则 0< 当 a=﹣1 时,满足 ∴a>1 是 成立.

,但 a>1 不成立.

的充分不必要条件.

故选:D. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式的性质是解决本题的关键,比较 基础. 10.给出下列结论: ①命题“若 p,则 q 或 r”的否命题是“若¬p,则¬ q 且¬r”; ②命题“若¬p,则 q”的逆否命题是“若 p,则¬ q”; * 2 * 2 ③命题“存在 n∈N ,n +3n 能被 10 整除”的否定是“?n∈N ,n + 3n 不能被 10 整除”; 2 2 ④命题“任意 x,x ﹣2x+3>0”的否定是“?x,x ﹣2x+3<0”. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

考点:命题的真假判断与应用;四种命题;命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析: 利用否命题的定义判断①的正误; 逆否命题判断②的正误; 命题的否定判断③的正误; 命题的否定判断④的正误; 解答: 解:对于①,命题“若 p,则 q 或 r”的否命题是“若¬p,则¬q 且¬r”;满足否命题的 定义,结论正确. 对于②,命题“若¬p,则 q”的逆否命题是“若 p,则¬q”;不满足逆否命题的定义,正确的逆 否命题是:“若¬q,则 p”,结论错误. * 2 * 2 对于③,命题“存在 n∈N ,n +3n 能被 10 整除”的否定是“?n∈N ,n +3n 不能被 10 整除”;满 足难题的否定形式,结论正确. 2 2 对于④,命题“任意 x,x ﹣2x+3>0”的否定是“?x,x ﹣2x+3<0”.不满足命题的否定,结论 错误.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 正确判断有两个. 故选:B. 点评: 本题考查命题是真假的判断与应用, 命题的否定以及四种命题的关系, 基本知识的考查. 11.若偶函数 f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数,则下列关系式中成立的是( A.f(﹣ )<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣ )<f(2) ) C.f(2)<f

(﹣1)<f(﹣ ) D.f(2)<f(﹣ )<f(﹣1)

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:常规题型. 分析:题目中条件:“f(x)为偶函数,”说明:“f(﹣x)=f(x)”,将不在(﹣∝,﹣1)上 的数值转化成区间(﹣∝,﹣1)上,再结合 f(x)在(﹣∝,﹣1)上是增函数,即可进行 判断. 解答: 解:∵f(x)是偶函数, ∴f(﹣ )=f( ) ,f(﹣1)=f(1) ,f(﹣2)=f(2) , 又 f(x)在(﹣∝,﹣1)上是增函数, ∴f(﹣2)<f(﹣ )<f(﹣1) 即 f(2)<f(﹣ )<f(﹣1) 故选 D. 点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础 知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.

12.设函数 A. (﹣3,1)∪(3,+∞) +∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(1,3)

则不等式 f(x)>f(1)的解集是( B. (﹣3,1)∪(2,+∞)

)

C. (﹣1,1)∪(3,

考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先求 f(1) ,依据 x 的范围分类讨论,求出不等式的解集. 解答: 解:f(1)=3,当不等式 f(x)>f(1)即:f(x)>3 如果 x<0 则 x+6>3 可得 x>﹣3,可得﹣3<x<0. 如果 x≥0 有 x ﹣4x+6>3 可得 x>3 或 0≤x<1 综上不等式的解集: (﹣3,1)∪(3,+∞) 故选 A. 点评:本题考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论的思想,是中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 13.设函数 f(x)= 为奇函数,则实数 a=﹣1.
2

考点:函数奇偶性的性质. 专题:计算题.[来源:学科网] 分析:一般由奇函数的定义应得出 f(x)+f(﹣x)=0,但对于本题来说,用此方程求参数的 值运算较繁,因为 f(x)+f(﹣x)=0 是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方 程求 a 的值. 解答: 解:∵函数 为奇函数,

∴f(x)+f(﹣x)=0, ∴f(1)+f(﹣1)=0, 即 2(1+a)+0=0, ∴a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评:本题考查函数奇偶性的运用,其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数,在本题中为 了减少运算量,没有用通用的等式来求 a 而是取了其一个特值,这在恒成立的等式中,是一个 常用的技巧.[来源:Z§xx§k.Com] 14.函数 的定义域为[1,+∞) . (用区间表示)

考点:对数函数的定义域. 专题:计算题. 分析:由二次根式的定义可知 log3x≥0,结合对数函数的性质可推导出函数的定义域. 解答: 解:由题设条件知 log3x≥0 解得 x≥1. ∴函数的定义域为{x|x≥1}. 故答案为:[1,+∞) . 点评: 本题考查对数函数的特点, 解题时要注意等于 0 的情况, 属于基础题. [来源:Z*xx*k.Com]

15.a<0 时,不等式 x ﹣2ax﹣3a <0 的解集是 {x|3a<x<﹣a}. 考点:一元二次不等式的解法. 专题:计算题;转化思想. 分析:令不等式左边的多项式等于 0,列出关于 x 的一元二次方程,求出方程的解,根据 a 小 于 0 判断出两解的大小,即可写出原不等式的解集. 解答: 解:∵x ﹣2ax﹣3a =0, ∴x1=3a, x2=﹣a. 又 a<0, ∴不等式的解集为{x|3a<x<﹣a}. 故答案为:{x|3a<x<﹣a} 点评:此题考查了一元二次不等式求解集的方法,是一道综合题. 16.若不等式 a<2x﹣x 对于任意的 x∈[﹣2,3]恒成立,则实数 a 的取值范围为 (﹣∞,﹣8) . 考点 :函数恒成立问题. 专题:计算题. 2 2 分析:不等式 a<2x﹣x 对于任意的 x∈[﹣2,3]恒成立,则实数 a 应小于 f(x)=﹣x +2x 在[﹣ 2 2,3]上的最小值,求出 f(x)=﹣x +2x 在[﹣2,3]上的最小值,实数 a 的取值范围即可得出. 2 2 解答: 解析: 由已知不等式 a<﹣x +2x 对任意 x∈[﹣2, 3]恒成立, 令f (x) =﹣x +2x, x∈[﹣ 2,3], ∵f(x)在[﹣2,1]上是单调增函数,在[1,3]上单调递减, 可得当 x=﹣2 时,f(x)min=f(﹣2)=﹣(x﹣1) +1=﹣8, ∴实数 a 的取值范围 a∈(﹣∞,﹣8) . 故答案为: (﹣∞,﹣8) 点评:本题考查函数的恒成立问题,把问题转化为求 f(x)=﹣x +2x 在[﹣2,3]上的最小值.
2 2 2 2 2

2

2

17.已知 f(x)=

,不等式 f(x)≥﹣1 的解集是{x|﹣4≤x≤2}.

考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由不等式 f(x)≥﹣1 可得 ① ①、②的解集,再取并集,即得所求. ,或② .分别求出

解答: 解:∵已知 f(x)=

,故由不等式 f(x)≥﹣1 可得



,或②



解①可得﹣4<x≤0,解②可得 0<x≤2. 综上可得,不等式的解集为 {x|﹣4≤x≤2}, 故答案为 {x|﹣4≤x≤2}. 点评:本题主要考查一元二次不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来 源:Zxxk.Com] 2 2 18.已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根.若 “p 或 q”为真,“p 且 q”为假.求实数 m 的取值范围. 考点:复合命题的真假;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题:分类讨论. 分析:根据题意,首先求得 p、q 为真时 m 的取值范围,再由题意 p,q 中有且仅有一为真, 一为假,分 p 假 q 真与 p 真 q 假两种情况分别讨论,最后综合可得答案. 解答: 解:由题意 p,q 中有且仅有一为真,一为假, 若 p 为真,则其等价于 ,解可得,m>2;

若 q 为真,则其等价于△ <0,即可得 1<m<3, 若 p 假 q 真,则 ,解可得 1<m≤2;

若 p 真 q 假,则

,解可得 m≥3;

综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞) . 点评:本题考查命题复合真假的判断与运用,难点在于正确分析题意,转化为集合间的包含关 系,综合可得答案. 19.已知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范 围. 考点:集合关系中的参数取值问题. 专题:计算题. 分析:分别解出集合 A,B,根据 A∪B=A,可得 B?A,从而进行求解; 解答: 解:∵A∪B=A,∴B?A 又 A={﹣2≤x≤5}, 当 B=?时,由 m+1>2m﹣1,解得 m<2,
2

当 B≠?时,则

解得 2≤m≤3,

综上所述,实数 m 的取值范围(﹣∞,3]. 点评:此题主要考查集合关系中的参数的取值问题,还考查子集的性质,此题是一道基础题; 20.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[﹣1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 2 分析: (1)由二次 函数可设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,由 f(0)=1 求得 c 的值,由 f(x+1) ﹣f(x)=2x 可得 a,b 的值,即可得 f(x)的解析式; 2 (2)欲使在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,只须 x ﹣3x+1﹣m>0 在区间[﹣1, 2 1]上恒成立,也就是要 x ﹣3x+1﹣m 的最小值大于 0,即可得 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意可知,f(0)=1,解得,c=1, 2 2 由 f(x+1)﹣f(x)=2x.可知,[a(x+1) +b(x+1)+1]﹣(ax +bx+1)=2x, 化简得,2ax+a+b=2x, ∴ ,
2

∴a=1,b=﹣1.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 2 ∴f(x)=x ﹣x+1; 2 (2)不等式 f(x)>2x+m,可化简为 x ﹣x+1>2x+m, 2 即 x ﹣3x+1﹣m>0 在区间[﹣1,1]上恒成立, 设 g(x)=x ﹣3x+1﹣m,则其对称轴为 ∴g(x)在[﹣1,1]上是单调递减函数. 因此只需 g(x)的最小值大于零即可, g(x)min=g(1) , ∴g(1)>0, 即 1﹣3+1﹣m>0,解得,m<﹣1, ∴实数 m 的取值范围是 m<﹣1. 点评: 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式, 以及函数的恒成立与函数的最 值求解的相互转化,主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用.属于中档题. 21.定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意的 m,n∈R ,都有 f(mn)=f(m)+f(n)成立,当 x >1 时,f(x)>0 ①求 f(1) ; + ②证明 f(x)在 R 上的增函数; ③当 f(x)= ,解不等式 f(x ﹣3x)>1.
2 + + 2



考点:抽象函数及其应用. 专题:计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析:①用赋值法求 f(1)的值,因为定义在(0,+∞)上的函数 f (x)对于任意的 m,n∈ (0,+∞) ,满足 f(m?n)=f(m)+f(n) ,所以只需令 m=n=1,即可求出 f(1)的值. ②用函数单调性的定义证明,步骤是,先设所给区间上任意两个自变量 x1,x2,且 x1<x2, 再用作差法比较 f (x1) , f (x2) 的大小, 比较时, 借助 f (m?n) =f (m) +f (n) , 把 x2 写成 即可. ③先根据 f(2)= 以及 f(m?n)=f(m)+f(n)求出 f(4)=1,把不等式 f(x ﹣3x)>1 化为 f(x ﹣3x)>f(4) ,再利用②判断的函数的单调性解不等式即可. 解答: ①解:∵定义在(0,+∞)上的函数 f (x)对于任意的 m,n∈(0,+∞) , 满足 f(m?n)=f(m)+f(n) , ∴f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1) .∴f(1)=0; ②证明:设 0<x1<x2,∵f(m?n)=f(m)+f(n)即 f(m?n)﹣f(m)=f(n) ∴f(x2)﹣f(x1)=f( )﹣f(x1)=f( )+f(x1)﹣f(x1)=f( ) .
2 2

∵0<x1<x2,则

>1,而当 x>1 时,f(x)>0,从而 f(x2)>f(x1) ,

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 2 ③解:∵f(4)=f(2)+f(2)=1,∴f(x ﹣3x)>f(4) , 2 ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴x ﹣3x>4, 解得 x<﹣1 或 x>4, 故所求不等式的解集为{x|x<﹣1 或 x>4}. 点评:本题主要考查了赋值法求抽象函数的函数值,抽象函数的单调性的证明,以及借助函数 单调性解不等式,属于中档题. [来源:Zxxk.Com] 22.已知函数 .

(1)求证:不论 a 为何实数 f(x)总是为增函数; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; (3)当 f(x)为奇函数时,求 f(x)的值域. 考点:奇函数;函数的值域;函数单调性的判断与证明. 专题:计算题;证明题.[来源:学科网 ZXXK] 分析: (1)先设 x1<x2,欲证明不论 a 为何实数 f(x)总是为增函数,只须证明:f(x1)﹣f (x2)<0,即可; (2)根据 f(x)为奇函数,利用定义得出 f(﹣x)=﹣f(x) ,从而求得 a 值即可; (3)由(2)知 得 f(x)的值域. (4) ,利用指数函数 2 的性质结合不等式的性质即可求
x

解答: 解: (1)∵f(x)的定义域为 R,设 x1<x2, 则 = ,

∵x1<x2,∴

,∴f(x1)﹣f(x2)<0,

即 f(x1)<f(x2) ,所以不论 a 为何实数 f(x)总为增函数. (2)∵f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 解得: .∴ . (4) ,∵2 +1>1(5) ,∴ ,∴ .
x



(3)由(2)知 ∴ 所以 f(x)的值域为

( 6) ,

点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考 查运算求解能力与化归与转化思想.属于基础题.


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