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2011年高考试题——数学文科浙江卷


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 (文科)

本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非 选择题部分 3 至 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项 1.答题前,考生务必将自己

的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分 别填写在试卷个答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 球的表面积公式
s ? 4? R
2

其中 R 表示球的半径 球的体积公式 v
? 4 3

?R

2

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给也的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 若 P (A) P
? Q
? { x x ? 1} , Q { x x ? 1} ,则

(B) Q
? 1 ? i ,i

? P

(C) C R P
?

? Q

(D) Q

? CRP

(2)若复数 z (A) 1 ? 3i

为虚数单位,则 (1 ? i ) ? z (B) 3 ? 3i

(C) 3 ? i

(D)3

x+2y-5≥0

-1-

(3)若实数 x,y 满足不等式组

2x+y-7≥0,则 3x:4y 的最小值是

x≥0,y≥0
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28

(4)若直线 l 不平行于平面 a ,且 l ? a ,则 (A) (C)
a a

内存在直线与异面 内存在唯一的直线与 l 平行

(B) (D)

a a

内不存在与 l 平行的直线 内的直线与 l 都相交

(5)在
s i n A

? A B C 中 , 角 A,B,C, 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c. 若 a co s A ? b sin B , 则
2

c oAs ?

c o ?s B

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C) -1
1 a

(D) 1

(6)若 a , b 为实数,则“ 0 ? a b ? 1 ”是“ b ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

”的

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(7)几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

(8)从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 (A)
1 10

(B)

3 10

(C)

3 5

(D)

9 10

-2-

(9)已知椭圆 C 1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)与双曲线 C 2 : x ?
2

y

2

? 1 有公共的焦点,

4

C2 的一条渐近线与 C1C2 的长度为直径的圆相交于 A,B 两点。若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 (A)a2 =
13 2

(B)a2=13
ax ? bx ? c ? a, b, c ? R ?
2

(C)b2= ,若 x

1 2

(D)b2=2 为函数 f ? x ? e 2 的一个极值

(10)设函数 f ? x ? ?

? ?1

点,则下列图象不可能为 y

? f

? x ? 的图象是

非选择题部分 (共 100 分) 考生注意事项 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上 ........ 若需在答题纸上作图,可先使用铅笔作图,确定后必须使用黑色字迹的签字笔 或钢笔描黑 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)设函数
f (x) ? 4 1? x

,若 f(a)=2,则实数 a=________________________

(12) 若 直 线 与 直 线 x-2y+5=0 与 直 线 2x+my-6=0 互 相 垂 直 , 则 实 数 m=_____________________ (13)某小学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名, 并统计这 200 名学生的某此数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直方图 (如图) 。 根据频率分布直方图 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是 _____________________

-3-

( 14 ) 某 程 序 框 图 如 图 所 示 , 则 该 程 序 运 行 后 输 出 的 k 的 值 是

_____________________。 (15)若平面向量 α 、β 满足 ? 形 的 面 积 为
1 2

?1 ? ?1

,且以向量 α 、β 为邻边的平行四边 的 夹 角 θ 的 取 值 范 围 是

, 则

α



β

____________________________。 ( 16 ) 若 实 数 x , y 满 足 x2+y2+xy=1 , 则 x+y 的 最 大 值 是

___________________________。 (17)若数列 ? n ( n ?
? ? 2 n? 4 )( ) ? 3 ?

中的最大项是第 k 项,则 k=_______________。

解答题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ( 18 ) 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 (
0?? ? f ( x) ? A s i n ( 3

?

x? ?

) ,

x? R



A?0



?
2

.y

? f (x)

的部分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点

-4-

和最低点,点 P 的坐标为 (1, A ) .

(Ⅰ)求

f ( x ) 的最小正周期及 ?

的值;
? 2? 3

(Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0 ) , ? P R Q

,求 A 的值.
(a1 ? R )

(19) (本题满分 14 分) 已知公差不为 0 的等差数列 ? a n? 的首项 a 1
1 a2

, 且

1 a1





1 a4

成等比数列.

(Ⅰ)求数列 ? a n? 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N*,试比较
1 a2 ? 1 a2
2

?

1 a2
3

? ... ?

1 a2
n



1 a1

的大小.
? AC

(20) (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 P ?
PO

ABC

中, A B

,D 为 B C 的中点,

⊥平面 A B C ,垂足 O 落在线段 A D 上.

(Ⅰ)证明: A P ⊥ B C ; (Ⅱ)已知 B C
? 8 , PO ? 4 , AO ? 3 ,OD ? 2
2

.求二面角 B ?

AP ? C

的大小.

(21) (本小题满分 15 分)设函数 f ( x ) ? a * * * ? a x , a ? 0 .

(Ⅰ)求

f ( x ) 的单调区间

(Ⅱ)求所有实数 a ,使 e ? 1 ?

f (x) ? e

2

对 x ? [1, e ] 恒成立。

-5-

注:

e

为自然对数的底数。

(22) (本小题满分 15 分)如图,设 P 是抛物线 C 1 :
x ? y
2

上的动点。 过点 P 做圆 C 2 的两条切线, 交直线 l : y

? ?3 于 A, B

两点。

(Ⅰ)求 C 2 的圆心 M 到抛物线

C 1 准线的距离。

(Ⅱ)是否存在点 P ,使线段 A B 被抛物线 C 1 在点 P 处得切线平分,若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。

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