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2014-2015学年山东省泰安一中高二(下)期中数学试卷(理科)


2014-2015 学年山东省泰安一中高二(下)期中数学试卷(理科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一个 是符合要求的) . 2 1. (5 分) (2015 春?泰安校级期中)若复数(a ﹣3a+2)+(a﹣2)i 是纯虚数,则实数 a 的值 为( ) A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. ﹣1 考点

: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数.

所有

分析: 由条件利用纯虚数的定义可得 a ﹣3a+2=0,且 a﹣2≠0,由此求得 a 的值. 2 2 解答: 解:∵复数(a ﹣3a+2)+(a﹣2)i 是纯虚数,∴a ﹣3a+2=0,且 a﹣2≠0, 求得 a=1, 故选:A. 点评: 本题主要考查纯虚数的定义,属于基础题. 2. (5 分) (2013?山东)用 0,1,2,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( ) A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可. 解答: 解:用 0,1,2,…,9 十个数字,所有三位数个数为:900, 其中没有重复数字的三位数百位数从非 0 的 9 个数字中选取一位,十位数从余下的 9 个数字 中选一个,个位数再从余下的 8 个中选一个,所以共有:9×9×8=648, 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900﹣648=252. 故选 B. 点评: 本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计 算能力.
所有

2

3. (5 分) (2012 秋?武汉校级期末)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因 2 此 f(x)=sin(x +1)是奇函数,以上推理( ) A. 小前提不正确 B. 大前提不正确 C. 结论正确 D. 全不正确 考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 阅读型. 分析: 根据三段论的要求:找出大前提,小前提,结论,再判断正误即可. 解答: 解:大前提:正弦函数是奇函数,正确; 2 小前提:f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因为该函数为复合函数,故错误; 2 结论:f(x)=sin(x +1)是奇函数,因为该函数为偶函数,故错误. 故选 A 点评: 本题考查演绎推理的基本方法,属基础题.
所有

2

4. (5 分)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角 坐标系中,不可能正确的是( )

A.

B.

C.

D. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 本题可以考虑排除法,容易看出选项 D 不正确,因为 D 的图象,在整个定义域内,不 具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样的函 数. 解答: 解析:检验易知 A、B、C 均适合,不存在选项 D 的图象所对应的函数,在整个定义 域内,不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有 这样的函数,故选 D. 点评: 考查函数的单调性问题.
所有

5. (5 分)证明 1+ 加的项数是( A.1 项 )

+…+

(n∈N ) ,假设 n=k 时成立,当 n=k+1 时,左端增

*

B.k﹣1 项

C .k 项

D.2k 项

考点: 数学归纳法. 专题: 阅读型.

所有

分析: 首先分析题目证明不等式 1+

+…+

,假设 n=k 时成立,求当 n=k+1

时,左端增加的项数.故可以分别把 n=k+1,n=k 代入不等式左边,使它们相减即可求出项数. 解答: 解:当 n=k 时不等式为: 成立

当 n=k+1 时不等式左边为

则左边增加 2 ﹣2 =2 项. 故选 D. 点评: 此题主要考查用数学归纳法证明不等式的问题,属于概念性问题,计算量小,属于基 础题目. 6. (5 分) (2015 春?泰安校级期中)下列命题中 ①复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d ②任何复数都不能比较大小 ③若 ④若| = |=| ,则| |,则 |=| = | 或 =﹣ .

k+1

k

k

错误的命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 复数相等的充要条件;复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的性质解答本题. 解答: 解:对于①,复数 a+bi 与 c+di 相等即 a+bi=b+di,所以充要条件是 a=c 且 b=d;正确; 对于②,任何复数都不能比较大小 是错误的;如实数是可以比较大小的;故错误;
所有

对于③,若

=

,则|

|=|

|是正确的; 错误.

对于④,若|z1|=|z2|,只能说明两个复数的模相等,故 z1=z2 或 z1=

故选 B 点评: 本题考查了复数相等、模相等等基础知识;熟记概念是关键. 7. (5 分) (2014 春?梁子湖区校级期末)函数 f(x)=xlnx 的大致图象为( )

A.

B.

C. 考点: 函数的图象.

D.

所有

专题: 作图题. 分析: 由已知函数 f(x)=xlnx 的解析式,我们可以分析出函数的零点个数及在区间(0,1) 上的图象位置,利用排除法可得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=xlnx 只有 1 一个零点 ∴可以排除 CD 答案 又∵当 x∈(0,1)时 lnx<0, ∴f(x)=xlnx<0,其图象在 x 轴下方 ∴可以排除 B 答案 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,其中根据函数的解析式分析出函数的性质,是解答 此类问题的关键. 8. (5 分) (2014 春?禅城区期末)下列计算错误的是( A. B. sinxdx=0 dx= )

C. D.

cosxdx=2 sin xdx=0
2

cosxdx

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 利用微积分基本定理求出各选项的值,判断出 D 错.
所有

解答: 解:∫﹣π sinxdx=(﹣cosx)|﹣π =(﹣cosπ)﹣(﹣cos(﹣π)=0

π

π

因为 y=cosx 为偶函数所以

=π 故选 D 点评: 本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值. 9. (5 分) (2015 春?泰安校级期中)已知函数 ,且 f(x0)=0,若 a∈(1,

x0) ,b∈(x0,+∞) ,则( ) A. f(a)<0,f(b)<0 B. f(a)>0,f(b)>0 C. f(a)>0,f(b)<0 D. f (a)<0,f(b)>0

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 问题转化为两个函数的图象的交点问题,通过图象读出即可.
所有

解答: 解:令 f(x)=0,得:lnx= 画出函数 y=lnx 和函数 y=



的图象,如图示:

, 若 a∈(1,x0) ,b∈(x0,+∞) , 则 f(a)<0,f(b)>0, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的零点问题,考查数形结合思想,是一道基础题.

10. (5 分) (2015 春?泰安校级期中) 观察下列的规律: 则第 93 个是( A. B. ) C. D.







考点: 数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数进行分组,找出每一组的规律即可得到结论.
所有

解答: 解:分组: ( ) , ( , ) , ( …,则第 n 组为( , 则前 n 组共有 1+2+3+…+n= 当 n=13 时, = ,…

) , (

) ,

, ) ,即每个组中有 n 个数, , , ,

则第 93 个数在第 14 组,为第 2 个数为 故选:B.

点评: 本题主要考查数列项的表示,根据条件进行分组是解决本题的关键. 二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2011?姜堰市校级模拟)设函数 ,则导数 f′(1)的取值范围是 [ ,2] . ,其中

考点: 正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 先对函数

所有

进行求导,然后将 x=1 代入,再

由两角和与差的公式进行化简,根据 θ 的范围和正弦函数的性质可求得最后答案. 解答: 解:∵ ∴f'(x)=sinθx + ∴f′(1)=sinθ+ ∵ ∴sin(θ+ )∈[
2

, cosθx cosθ=2sin(θ+ ,∴θ+ ,1] ∈[ ) , ]

∴f′(1)∈[ ,2] 故答案为:[ ,2]. 点评: 本题主要考查函数的求导运算和两角和与差的正弦公式的应用.考查基础知识的简单 综合.高考对三角函数的考查以基础题为主,平时要注意基础知识的积累和基础题的练习. 12. (5 分) (2015 春?泰安校级期中)已知在等差数列{an}中, ,则在等比数列{bn}中,类似的结论为 .

考点: 类比推理. 专题: 推理和证明.
所有

分析: 在等差数列中,等差数列的性质 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,那么对应的在等比数列 中对应的性质是若 m+n=p+q,则 bmbn=bpbq. 解答: 解:等差数列与等比数列的对应关系有:等差数列中的加法对应等比数列中的乘法, 等差数列中除法对应等比数列中的开方, 故此我们可以类比得到结论: 故答案为: . .

点评: 本题考查类比推理,掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键,本题中 由等差结论类比等比结论,其运算关系由加类比乘,解题的难点是找出两个对象特征的对应, 作出合乎情理的类比.

13. (5 分) (2015 春?泰安校级期中) 定义运算 则 y= ﹣5 .

=ad﹣bc, 若复数 x=

, y=



考点: 复数的基本概念;复数求模;二阶矩阵. 专题: 探究型. 分析: 先化简 x= 解答: 解:x= y=

所有

,求出 x,然后按定义运算

=ad﹣bc,代入 x,化简求解即可.

=4xi﹣4﹣(3+3i﹣xi+x)=5xi﹣7﹣3i﹣x=﹣5

故答案为:﹣5 点评: 本题考查复数的基本概念,复数求模等知识,是创新题,中档题. 14. (5 分) (2014?衡南县二模)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2﹣x)﹣x +8x﹣8, 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y=2x﹣1 . 考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题;压轴题.
2

所有

分析: 先根据 f(x)=2f(2﹣x)﹣x +8x﹣8 求出函数 f(x)的解析式,然后对函数 f(x) 进行求导,进而可得到 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求 导切线方程. 解答: 解:∵f(x)=2f(2﹣x)﹣x +8x﹣8, 2 ∴f(2﹣x)=2f(x)﹣(2﹣x) +8(2﹣x)﹣8. 2 ∴f(2﹣x)=2f(x)﹣x +4x﹣4+16﹣8x﹣8. 2 将 f(2﹣x)代入 f(x)=2f(2﹣x)﹣x +8x﹣8 2 2 得 f(x)=4f(x)﹣2x ﹣8x+8﹣x +8x﹣8. 2 ∴f(x)=x ,f'(x)=2x ∴y=f(x)在(1,f(1) )处的切线斜率为 y′=2. ∴函数 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=2(x﹣1) , 即 y=2x﹣1. 答案 y=2x﹣1 点评: 本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义.函数在某 点的导数值等于该点的切线方程的斜率.
2

2

15. (5 分) (2008 春?宁波校级期末)设 ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且 a1 +a2 +…an =1, x1 +x2 +…xn =1,则
2 2 2

2

2

2

的值中,现给出以下结论,其中你认为正确的是

③⑤ . ①都大于 1②都小于 1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1. 考点: 分析法和综合法;反证法. 专题: 证明题. 分析: 由题设中的条件对各个结论进行判断,其中①②可用同一方法判断,③⑤两结论分 别与①②两结论对立,由①②的正误可判断③⑤的正误,④中包含①,且与⑤矛盾,易 判断
所有

解答: 解:由题意 ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且 a1 +a2 +…an =1,x1 +x2 +…xn =1,对于 的值中, 若①成立,则分母都小于分子,由于分母的平方和为 1,故可得 a1 +a2 +…an 大于 1,这与已 知矛盾,故①不对; 2 2 2 若②成立,则分母都大于分子,由于分母的平方和为 1,故可得 a1 +a2 +…an 小于 1,这与已 知矛盾,故②不对; 由于③与①两结论互否,故③对 ④不可能成立, 的值中有多于一个的比值大于 1 是可以的,故不对
2 2 2

2

2

2

2

2

2

⑤与②两结论互否,故正确 综上③⑤两结论正确 故答案为③⑤ 点评: 本题考查分析法与综合法,解题的关键是理解分析法与综合法的逻辑内含,结合题设 条件对题设中所给的结论作出判断 三.解答题(共 75 分) 16. (12 分) (2015 春?泰安校级期中)计算: (1)求 (2) = 的导数. .

考点: 定积分;导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)根据求导公式和法则求出已知函数的导数即可. (2)根据定积分的计算方法计算即可,
所有

解答: 解(1) :∵

(2) :原式= | = . .

=( x ﹣4x)|

3

+(4x﹣ x )

3

故答案为:

点评: 本题考查了求导公式和法则和定积分的计算,是基础题. 17. (12 分) (2005?上海) 已知 z 是复数, z+2i,
2

均为实数 (i 为虚数单位) , 且复数 (z+ai)

在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.

考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 设出复数的代数形式,整理出代数形式的结果,根据两个都是实数虚部都等于 0,得 2 到复数的代数形式.代入复数(z+ai) ,利用复数的加减和乘方运算,写出代数的标准形式, 根据复数对应的点在第一象限,写出关于实部大于 0 和虚部大于 0,解不等式组,得到结果. 解答: 解:设复数 z=m+ni(m,n∈R) , 由题意得 z+2i=m+ni+2i=m+(n+2)i∈R, ∴n+2=0,即 n=﹣2.
所有

又∵



∴2n+m=0,即 m=﹣2n=4.∴z=4﹣2i. 2 2 2 2 ∵(z+ai) =(4﹣2i+ai) =[4+(a﹣2)i] =16﹣(a﹣2) +8(a﹣2)i 对应的点在复平面的第一象限,横标和纵标都大于 0, ∴ 解得 a 的取值范围为 2<a<6. 点评: 本题考查复数的加减乘除运算及复数的代数形式和几何意义,本题解题的关键是整理 出所给的复数的代数形式的标准形式,本题是一个中档题目. 18. (12 分) (2015 春?泰安校级期中)在平面内,可以用面积法证明下面的结论:从三角形 内部任意一点,向各边引垂线,其长度分别为 pa,pb,pc,且相应各边上的高分别为 ha,hb, hc,则有 =1.

请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论.

考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 类比结论:从四面体内部任意一点向各面引垂线,其长度分别为 pa,pb,pc,pd,且
所有

相应各面上的高分别为 ha,hb,hc,hd.则有

+

+

+

=1,由三棱锥的体积公式可证明.

解答: 解:类比结论:从四面体内部任意一点向各面引垂线,其长度分别为 pa,pb,pc,pd, 且相应各面上的高分别为 ha,hb,hc,hd.则有 + + + =1.

证明:

=

=



同理有

=



=



=



又 VP﹣BCD+VP﹣CDA+VP﹣BDA+VP﹣ABC=VA﹣BCD, ∴ + + + = =1.

点评: 本题考查类比推理,谁三棱锥的体积公式,属中档题. 19. (12 分) (2011 春?无极县校级期末)已知函数 f(x)=16ln(1+x)+x ﹣10x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值; 根的存在性及根的个数判断; 利用导数研究函数的单调性.
所 有

2

专题: 计算题;数形结合.

分析: (1)先根据对数函数的定义求出 f(x)的定义域,并求出 f′(x)=0 时 x 的值,在定 义域内,利用 x 的值讨论 f′(x)的正负即可得到 f(x)的单调区间; (2)根据第一问函数的增减性得到函数的极大值为 f(1)和极小值为 f(3) ,然后算出 x→﹣ + 1 时,f(x)→﹣∞;x→+∞时,f(x)→+∞;据此画出函数 y=f(x)的草图,由图可知,y=b 与函数 f(x)的图象各有一个交点,即满足 f(4)<b<f(2) ,即可得到 b 的取值范围. 2 解答: 解: (1)f(x)=16ln(1+x)+x ﹣10x,x∈(﹣1,+∞)

令 f'(x)=0,得 x=1,x=3.f'(x)和 f(x)随 x 的变化情况如下: x (﹣1,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 f(x)的增区间是(﹣1,1) , (3,+∞) ;减区间是(1,3) . (2)由(1)知,f(x)在(﹣1,1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上 单调递减. ∴f(x)极大=f(1)=16ln2﹣9,f(x)极小=f(3)=32ln2﹣21. + 又 x→﹣1 时,f(x)→﹣∞;x→+∞时,f(x)→+∞; 可据此画出函数 y=f(x)的草图(如图) ,由图可知, 当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点时, 当且仅当 f(3)<b<f(1) , 故 b 的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9)

点评: 本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间,会根据函数的增减性得到函 数的极值,是一道综合题.

20. (13 分) (2013 秋?曲沃县校级期末)已知函数 f(x)=x﹣ (1)讨论 f(x)的单调性. (2)若 f(x)在区间(1,2)上单调递减,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系. 专题: 综合题;分类讨论.



所有

分析: (1)求 f(x)的定义域和导数 fˊ(x)=

,设 g(x)=x ﹣ax+2,因为在函

2

数式中含字母系数,需要根据△ 的符号进行分类讨论,分别在函数的定义域内解不式 g(x) >0 和 g(x)<0 确定的 f(x)单调区间; 2 (2)由条件确定 f'(x)≤0,再转化为 x ﹣ax+2≤0 在(1,2)上恒成立,由二次函数的图象 列出不等式求解,避免了分类讨论. 解答: 解: (1)由题意得,函数 f(x)的定义域是(0,+∞) , 且 f′(x)=1+
2

﹣ =
2

设 g(x)=x ﹣ax+2,二次方程 g(x)=0 的判别式△ =a ﹣8, 2 ①当△ =a ﹣8<0,即 0<a<2 时,对一切 x>0 都有 f′(x)>0, 此时 f(x)在(0,+∞)上是增函数; 2 ②当△ =a ﹣8=0,即 a=2 时,仅对 x= 有 f′(x)=0, 对其余的 x>0,都有 f′(x)>0,此时 f(x)在(0,+∞)上也是增函数. ③当△ =a ﹣8>0,即 a>2
2 2

时, , ,

g(x)=x ﹣ax+2=0 有两个不同的实根

由 f′(x)>0 得,0<x<

或 x>



由 f'(x)<0 得,

<x<



此时 f(x)在(0,

) , (

,+∞)上单调递增,

在(



)是上单调递减,

(2)解:f′(x)=1+

﹣ =


2

依题意 f'(x)≤0(等零的点是孤立的) ,即 x ﹣ax+2≤0 在(1,2)上恒成立, 令 g(x)=x ﹣ax+2,则有
2

,解得 a≥3,

故实数 a 的取值范围为[3,+∞) . 点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、解不等式以及二次函数的图象应用等基 础知识,考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力,以及分类讨论的思想方法.

21. (14 分) (2008?辽宁)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn, an+1,bn+1 成等比数列. (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; (2)证明: .

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列递推式;数学归纳法. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)根据等差中项和等比中项的性质求得 an 和 bn 的关系式,分别求得 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,推测出它们的通项公式.先看当 n=1 时,等式明显成立;进而假设当 n=k 时,结 论成立,推断出 ak 和 bk 的表达式,进而看当 n=k+1 时看结论是否成立即可. (2)先 n=1 时,不等式成立,进而看 n≥2 时利用(1)中的{an},{bn}的通项公式,以及裂项 法进行求和,证明题设. 2 解答: 解: (1)由条件得 2bn=an+an+1,an+1 =bnbn+1 由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 2 猜测 an=n(n+1) ,bn=(n+1) . 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. 2 ②假设当 n=k 时,结论成立,即 ak=k(k+1) ,bk=(k+1) ,
所有

那么当 n=k+1 时,ak+1=2bk﹣ak=2(k+1) ﹣k(k+1)=(k+1) (k+2) ,bk+1=
2

2

=(k+2)

. 所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1) ,bn=(n+1) 对一切正整数都成立. (2)证明: .
2

n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1) (2n+1)>2(n+1)n. 故 = = 综上,原不等式成立. 点评: 本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运 用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.


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