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高中数学分章节训练试题:31椭圆


高三数学章节训练题 31《椭圆》
时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□ 优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 一、选择题(本 大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦

点距离为 25 16


( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2. 若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长的和为 18 , 焦距为 6 , 则椭圆的方程为 (

x y x y B. ? ?1 ? ?1 9 16 25 16 x2 y2 x2 y2 C. D.以上都不对 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25 2 2 3.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. ?0,??? B. ?0,2 ? C. ?1,?? ? D. ?0,1?
A. 4.以椭圆

2

2

2

2



x2 y2 ) ? ? 1 的顶点为顶点,离心率 为 2 的双曲线方程( 25 16 x2 y2 x2 y2 A. B. ? ?1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y2 x2 y2 C. D.以上都不对 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27 x2 y2 5.椭圆 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 的 49 24
面积为( A. 20
2

) B. 22

C. 28

D. 24

6.与椭圆

x ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是 ( ) 4 x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ?1 A. ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 2 3 3
2 2

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2 2 2 8.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 。
7.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为

x2 y2 1 ? ? 1的离心率为 ,则 k 的值为______________。 k ?8 9 2 2 2 x y 10.设 AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a b 则 k AB ? kOM ? ____________。
9.椭圆 11.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横 9 4


坐标的取值范围是

三、解答题:(本大题共 3 小题,任选两题,其中所做的第一题 12 分, 满分 25 分)
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12.已知椭圆的 焦点是 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,P为椭圆上一点,且 | F1 F2 | 是 | PF1 | 和 | PF2 | 的 等差中项.(1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限, 且∠ PF1 F2 =120°, tan F1 PF2 . 求

13.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 a2 b2 a2 ? b2 a2 ? b2 平分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) .证明: ? ? x0 ? . a a

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 14.已知椭圆 4 3 y ? 4 x ? m 对称。

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高三数学章节训练题 31《椭圆》答案 一、选择题 1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7 2.C

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c 2 ? a 2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25 y 2 x2 2 3.D 焦点在 y 轴上,则 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 2 2 k k x2 y 2 4 .C 当顶点为 (?4,0) 时, a ? 4, c ? 8, b ? 4 3, ? ? 1; 16 48 y 2 x2 ? ?1 当顶点为 (0, ?3) 时 , a ? 3, c ? 6, b ? 3 3, 9 27 2 2 2 2 5.D PF1 ? PF2 ? 14, ( PF1 ? PF2 ) ? 196, PF1 ? PF2 ? (2c) ? 100 ,相减得 1 2 PF1 ? PF2 ? 96, S ? PF1 ? PF2 ? 24 2 x2 y2 2 , 6. A c ? 4 ? 1 c ? 3, 且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 2 ? ? 1 过点 Q(2,1) a 3 ? a2 4 1 x2 得 2? ? 1 ? a 2 ? 2, ? y 2 ? 1 a 3 ? a2 2
二、填空题

x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m 2 2 y x a 2 ? b2 3 1 1 当 0 ? m ? 1 时, ? ? 1, e2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m y 2 x2 5 8. 1 焦点在 y 轴上,则 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k c2 k ? 8 ? 9 1 5 2 ? ,k ? 4; 9. 4, 或 ? 当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? a k ?8 4 4 2 c 9 ? k ?8 1 5 2 ? ,k ? ? 当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? a 9 4 4 2 y ?y b x ? x2 y1 ? y2 10. ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M ( 1 , ) ,得 k AB ? 2 1 , x2 ? x1 a 2 2
7. 1, 或2 当 m ? 1时,

kOM
2 2 2

y2 2 ? y12 y2 ? y1 2 2 2 2 2 2 ? , k AB ? kOM ? 2 , b x1 ? a y1 ? a b , 2 x2 ? x1 x2 ? x1
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

y2 2 ? y12 b2 ?? 2 . b x2 ? a y2 ? a b , 得 b ( x2 ? x ) ? a ( y2 ? y ) ? 0, 即 2 x2 ? x12 a
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3 5 3 5 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 PF12 ? PF2 2 ? F1F2 2 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 而 a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ? ,则 (a ? ex) ? (a ? ex) ? (2c) , 2a ? 2e x ? 20, e x ? 1 3 3 5 3 5 1 1 1 ?e? x2 ? 2 , ? ? x ? , 即 ? 5 5 e e e
11. ( ? 三、解答题 12.解:(1)由题设| PF1 |+| PF2 |=2| F1 F2 |=4 ∴ 2a ? 4 , 2c=2, ∴b= 3 ∴椭圆的方程为

(2)设∠ F1 PF2 ? ? ,则∠ PF2 F1 =60°-θ 由正弦定理得: 由等比定理得 :

x2 y2 ? ? 1. 4 3

F1 F2 sin? F1 F2 sin ? 4

? ?

PF2

sin120 ? sin(60? ? ? ) PF1 ? PF2 sin 120 ? ? sin(60 ? ? ? )

?

PF1

?

2 ? sin?

3 ? sin(60? ? ? ) 2
3 (1 ? cos? )

整理得: 5 sin? ?
2?

?

sin ? 3 ? 3 ? 故 tan ? 2 2 1 ? cos? 5

3 5 ?5 3. t an F1 PF2 ? t an? ? 3 11 1? 25

13.证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

y ?y x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,得 k AB ? 2 1 , x2 ? x1 2 2

b 2 x12 ? a 2 y12 ? a 2b 2 , b 2 x2 2 ? a 2 y2 2 ? a 2b 2 , 得 b2 ( x2 2 ? x12 ) ? a 2 ( y2 2 ? y12 ) ? 0,


y2 2 ? y12 b2 x ?x ? ? 2 , AB 的垂直平分线的斜率 k ? ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1 a y2 ? y1 y ?y x ?x x ?x AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 2 ? ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 2 y2 ? y1 2

y2 2 ? y12 ? x2 2 ? x12 b 2 x2 ? x1 ? (1 ? 2 ) 当 y ? 0 时, x0 ? 2( x2 ? x1 ) a 2

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . 而 ?2a ? x2 ? x1 ? 2a ,?? a a
14.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?
2 2 2 2
2 2 2

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4
2

而 3x1 ? 4 y1 ? 12, 3x2 ? 4 y2 ? 12, 相减得 3( x2 ? x1 ) ? 4( y2 ? y1 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4 x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? ?m? 。 13 13 4 3
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