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高中必修一数学常用公式及常用结论


高中数学必修一、二常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .

2.包含关系
A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

>
3.集合 {a1, a2 ,?, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空 子集有 2n –1 个;非空的真子集有 2n –2 个. 4.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .

5.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, x ? ? 若

b 处及区 2a

b b ? ? p, q ?, f x) nm ? ( ? ,) (f x ) 则 ( i f 2a 2a

xmxm a a

? (f,)p )?q ( f

?;

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ? ? p, q ? , 则 f ( xm i ? m?i nf p ) , , (若 ) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ) n ( f q ? 2a b x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a x??

6.一元二次方程的实根分布(画抛物线帮助理解)
依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 ? 或? 或? ; ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0

1

? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2

7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ? ,?? ,??? 不同)上含参数 (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立

的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . 的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

8.函数的单调性

(1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2

9. 如 果 函 数 f (x) 和 g (x) 都 是 减 函 数 , 则 在 公 共 定 义 域 内 , 和 函 数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在其对应的定义 域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数. 10.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数.

11.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的
a?b ; 2 12.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

对称轴是函数 x ?

13.两个函数图象的对称性
(1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (x) 和它的反函数 y ? f
?1

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

14.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .
x (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? .
?
'

15.分数指数幂
(1) a (2) a
m n

?
?

1
n

?

m n

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a

m n

2

16.根式的性质
(1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ?

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

17.有理指数幂的运算性质
ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用.
p

18.指数式与对数式的互化式
loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

19.对数的换底公式
log a N ? log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

20.对数的四则运算法则
若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) . n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m 21.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b 2 ? 4ac .若 f (x) 的定义
(2) log a

域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 32. 平均增长率的问题
如 果 原来 产值 的基 础数为 N ,平 均增 长率 为 p ,则 对 于时 间 x 的 总产 值 y ,有

y ? N(1? p)x .

33.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的解的步骤: 求两根, 画草图, 确定解集。注意判别式的值小于 0 时的情况。结合图象解决问题。 34.含有绝对值的不等式
当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .

35.指数不等式与对数不等式
(1)当 a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ;

3

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2)当 0 ? a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

36.斜率公式
k? y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ). 1 2 x2 ? x1

37.直线的五种方程
(1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ? 1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式

38.两条直线的平行和垂直
(1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, 1

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2 ② l1 ? l2 ? A A2 ? B1B2 ? 0 ; 1

39 两种常用直线方程
(1)平行直线方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线方 程. 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ), 是参变量. λ (2) 垂直 直 线方 程: 与 直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠ 0 , B≠ 0)垂 直 的直 线 方程 是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.

40.两点距离公式: 41、点到直线的距离
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

42、两条平行线的距离公式: 43. 圆的两种方程
(1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).圆心坐标和半径公式
2 2

4

44.点与圆的位置关系
点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

45.直线与圆的位置关系
直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2

46.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;
d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.

47.圆的切线方程
(1)若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,. (2)过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有 两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. (3)斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.

48.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为二直线同与第三条直线平行; (2)转化为线面平行; (3)证明平行四边形 (4)三角形中位线

49.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为线线平行; (2)转化为面面平行.

50.证明平面与平面平行的思考途径
转化为线面平行;

51.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直(勾股定理) ; (2)转化为线面垂直 (3)直径所对的圆周角是直角 (4)正方形,菱形的对角线互相垂直

52.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (2)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

5

53.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直.

54.空间两点间的距离公式
若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .

55.球的半径是 R,则
4 ? R3 , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ?

56.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

57.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;
①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

58、中点坐标公式:

6


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