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高中数学选修2精品课件2.3.2双曲线的简单几何性质[二]


2.3.2 双曲线的简单几何性质 第二课时

复习与回顾
方程 图形
x2 y2 ? 2 ? 1(a , b ? 0) 2 a b
y o x

x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1(a , b ? 0) b a
y o x

顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线

(± a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 ( 原点是双曲线的中心 ) |x|≥a |y|≥a (± c , 0 )
b x a
c e ? (e ? 1) a

( 0, ±c )
a y?? x b

y??

4 1、若双曲线的渐近线方程为 y ? ? x, 则双曲线 3
的离心率为 。

x2 y 2 2.若双曲线 2 ? 2 ? 1的两条渐近线互相垂直, a b 那么它的离心率为 __ 3.若双曲线离心率为2,则两条渐近线的交角为 ______
4.求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点 P (1,-3)且离心率为 2 的双曲线标准方程。

结论:
1.由双曲线求渐近线:
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1的渐近线为 2 ? 2 ? 0 a b a b

2.已知渐近线求双曲线:
x y 3.与 2 ? 2 ? 1 具有相同的渐近线的双曲线 a b 2 2
x y x2 y 2 (? ? 0) ? ? 0 的双曲线可设为 2 ? 2 ? ? 渐近线方程为 a b a b 2 2

可设为

x y ? 2 ?? (? ? 0) 2 a b

λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

x2 y 2 (1)与双曲线 ? ? 1有共同的渐近线,且经过 9 16 点(?3, 2 3)

例1 :求下列双曲线的标准方程:

(2)已知双曲线经过点(6, 3), 且渐近线方程是 1 y ? ? x. 3 x2 y 2
(3)与双曲线 16 ? 4 ? 1有共同的焦点,且经过 点(3 2, 2)

4 求与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 16 8

x ? 3 y ? 0 的双曲线方程。

例2、点M(x,y)与定点F(5,0),的距离 16 和它到定直线 l : x ? 的距离的比是常 5 5 数 , 求点M的轨迹.

4

y

l
d

0

双曲线的第二定义,
平 面 内 与一 个 定 点 的 距 离 和它 到一 条

的点的轨迹。

c 定直线的距离 的 比 是 常 数e ? (e ? 1) a

定点称为双曲线的焦点 定直线称为双曲线的准线
a2 a2 左准线: x ? ? 、右准线: x ? c c

练习 1、求和定点A(5,0)及定直线x= 的点的轨迹方程。

16 的距离之比是5: 4 5

x2 y 2 2.已知双曲线 ? ? 1上有一点P到左准线的距离为8, 16 9 则P到右焦点的距离是 ________
16 3.若双曲线的一条准线方程为y ? , 一条渐近线方程为4 x ? 3 y ? 0, 5 求其标准方程。

4.若双曲线的两准线把焦点所连线段三等分,则离心率是 ________

例题讲解
例3、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径

为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0

y
13 C 12 A x

B′

25

B

x2 y 2 例3、过点( P 2,-2)的直线被双曲线 ? ? 1截得的弦 8 4 MN的中点恰好为点P,求直线MN的方程。

变式. 直线y=x-1被双曲线2x2 ? y 2 ? 3所截得的中点坐标是 ___

例4、若双曲线的一条准线为x=4,其相应 焦点为(10,0),离心率为2,求双曲 线方程。


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