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高考数学专题讲座 第5讲 数列的综合应用


高考数学专题讲座 第 5 讲 数列的综合应用
一、考纲要求
1.掌握数列性质的应用; 2、掌握等比数列的应用(增长率、贷款等) ; 3、掌握等差数列、等比数列的综合应用.

二、基础过关
1. (2004 年全国)等差数列 ?a n ?中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78,则此数

列前 20 项和等于 ( ) . A.160 B. 180 C.200 D.220

2.等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是 ( ) . A. S 6 B. S11 C. S12 D. S13
2 2

3.一房地产开发商将他新建的 20 层商品房的房价按下列方法定价,先定一个基价 a 元/m2,再根据楼层的 不同上下浮动.一层的价格为(a-d)元/m2,二层的价格为 a元 / m ,三层的价格为 (a ? d)元 / m ,
i ?3 ? ?2? ? 2 第 i 层( i ? 4 )的价格为 ?a ? d ? ? ?元 / m ,其中 a ? 0 , d ? 0 ,则该商品房的各层房的各层房价 ?3? ? ? ? ?

的平均值是( A. a元 / m C. a ?
2

) .

1 ? ?2? ?1 ? ? ? 10 ? ? 3 ? ?

17

? 2 ? d元 / m ? ?

? ? 2 ?17 ? B. a ? ?1 ? ? ? ? d元 / m 2 ? ?3? ? ? ? 18 1 ? ?2? ? D. a ? ?1 ? ? ? ? d元 / m 2 10 ? ? 3 ? ? ? ?

4.已知数列 1, a1 , a2 ,4 成等差数列, 1, b1 , b2 , b3 ,4 成等比数列,则
*

a1 ? a2 的值为 b2



5.(2001 年上海)设数列 ?an ? 的通项为 an ? 2n ? 7 ( n ? N ),则 a1 ? a2 ? ? ? a15 ? . 6.若数列 ?an ? n ? N * 是等差数列,则数列 bn ?

?

?

a1 ? a 2 ? ? ? a n (n ? N * ) 也为等差数列,类比上述性 n

质,相应地,若数列 ?cn ? 是等比数列,且 cn ? 0(n ? N * ) ,则有

dn ?
三、典型例题

(n ? N * ) 也是等比数列.

? a a b 例 1 (2002 年河南. 广东. 广西) ?an ? 为等差数列,bn ? 为等比数列, 1 ? b1 ? 1, 2 ? a4 ? b3 , 2 b4 ? a3 , 设
分别求出 ?an ? 及 ?bn ? 的前 10 项的和 S10 及T10 . 例 2 设数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足关系式:

3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t (t ? 0, n ? 2,3,4,?) . (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列;
(2)设数列 ?an ? 的公比为 f (t ) ,作数列 ?bn ? ,使 b1 ? 1 bn ? f ( , 的通项 bn ; (3)求和: b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? ?? ? b2n?1b2n ? b2n b2n?1 . 例3 假设 A 型汽车关税税率在 2001 年是 100%,在 2006 年是 25%,2001 年 A 型进口车每辆价格为 64 (1)已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车,2001 年每辆价格为 46 万元,若 A 型车的价格只受关税 降低的影响,为了保证在 2006 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90%,B 型车价格要逐年降低,问平 均每年至少下降多少万元? (2)某人在 2001 年将 33 万元存入银行,假设该银行扣利息税后的年利率为 1.8%(五年内不变), 且每年按复利计算(例如,第一年的利息计入第二年的本金),那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够 买一辆按(1)中所述降价后的 B 型汽车? 例 4 已知函数 f ?x ? ? 万元(其中含 32 万元关税税款) .

1 )(n ? 2,3,4,?) ,求数列 ?bn ? bn?1

1 4 ?2
x

?x ? R ? ,点 P1 ?x1 , y1 ? , P2 ?x2 , y2 ? 是函数 f ?x ? 图像上的两个点,且线段

1 P P2 的中点 P 的横坐标为 . 1 2 (Ⅰ)求证:点 P 的纵坐标是定值;
?n? (Ⅱ)若数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? f ? ? ?m?
(Ⅲ)若 m ? N 时,不等式

?m ? N , n ? 1,2,?, m? ,求数列 ?an ?的前 m 项的和 S m ;

a m a m?1 恒成立,求实数 a 的取值范围. ? S m S m?1

四、 热身演练
1. 1. (2003 年北京)在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 ,那么 a3 等于( ) . A.4 B. 5 C.6 D.7 2 . (1993 年 全 国 卷 ) 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a5 a6 ? 9 , 则

l o 3g 1 + log3 a2 ? log3 a3 ? ? ? log3 a10 ? ( a
A.12 A.1 B. 10 C.8

) . ) .

D.2+log35 3. (2001 年全国)设 ?an ? 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( B. 2 C.4 D.6 ) .
a?b 1 1 4.已知 1 是 a 2 与 b 2 的等比中项,又是 与 的等差中项,则 2 的值是( a b a ? b2

A.1 或

1 2

B.1 或 ?

1 2

C.1 或

1 3

D.1 或 ?

1 3
) .

5.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 S n (万件)近似地满足

Sn ?

n (21n ? n 2 ? 5)( n ? 1,2, ?,12) ,按此预测在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( 90
B.6 月、7 月 C.7 月、8 月 D.8 月、9 月

A.5 月、6 月

6.(2002 年北京)等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,公差不为零,且 a1 , a3 , a11 恰好是等比数列的前三项,那 么该等比数列公比的值等于 .

7.(04 年全国)已知数列{an}满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1 (n>1),则{an}的通项 an=______ . 8.某地区重视环境保护,绿色植被面积呈上升趋势,经调查,从 1989 年到 1998 年这 10 年间每两年上升 2%,1997 年和 1998 年这两年种植植被 815 万平方米,当地政府决定今后四年内仍按这一比例发展下去, 那么从 1999 年到 2002 年种植植被面积为 (保留整数). 9. (04 年天津)设{an}是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110且 a1、a 2 、 a4 成等 比数列. (1)证明: a1 ? d ; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式. 10.(2004 年全国)已知等差数列 ?an ? , a2 ? 9, a5 ? 21. (1)求 ?an ? 的通项公式;
a

(2)令 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 11.(2004 年全国)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,已知 a1 ? 1, a n ?1 ? 证明: (1)数列 ?

n?2 S n (n ? 1,2,3,?) . n

? Sn ? (2) S n?1 ? 4an . ? 是等比数列; ?n?

12.(2001 年全国)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,

1 , 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元, 5 1 由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总收入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 a n , bn 的表达式;
根据规划, 本年度投入 800 万元, 以后每年投入将比上年减少

(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总收入?

答案 二.基础过关 1、B 2、B 3、C 4、 三.案例探究 1.解:?

5 2

5、153 6、 n c1c2 ?cn

?an ?为等差数列, ?bn ?为等比数列,? a2 ? a4 ? 2a3,b2b4 ? b3 2 .
2 2

? 已知 a2 ? a4 ? b3,b2 b4 ? a3 ,?b3 ? 2a3,a3 ? b3 ,得 b3 ? 2b3 ,? b3 ? 0, b3 ?
由 a1 ? 1,a 3 ? 由 b1 ? 1,b3 ?

1 1 ,a3 ? . 2 4

1 3 10 ? 9 55 , ?an ? 的公差为 d ? ? ,? S10 ? 10 a1 ? d ?? . 知 4 8 2 8 1 2 2 , ?bn ? 的公比为 q ? 知 或q ? ? , 2 2 2

当q ?

b (1 ? q10 ) 31 b (1 ? q10 ) 31 2 2 时, T10 ? 1 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ) ;当 q ? ? ? (2 ? 2 ) 2 2 1? q 32 1? q 32

2.解: (1)由 S1 ? a1 ? 1, S 2 ? 1 ? a2 得

3t (1 ? a2 ) ? (2t ? 3) ? 3t .? a2 ?

2t ? 3 a2 2t ? 3 . , ? 3t a1 3t
?①

当 n ≥3 时,又 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t ,

3tS n?1 ? (2t ? 3)S n?2 ? 3t,

?②

①-②,得

3tan ? (2t ? 3)an?1 ? 0 .?

an 2t ? 3 ? , n ? 2,3,4,?? , an?1 3t

所以 ?an ? 是一个首项为 1,公比为 (2)由 f (t ) ?

2t ? 3 的等比数列. 3t

2t ? 3 2 1 2 1 2 ? ? ,得 bn ? f ( ) ? ? bn ?1 .可见, ?bn ? 是一个首项为 1,公差为 的等差 3 3t 3 t bn ?1 3 2 2n ? 1 (n ? 1) ? . 3 3

数列.于是 bn ? 1 ? (3) 由 bn ?

2n ? 1 5 4 4n ? 1 , 可知 ?b2 n?1 ? 和 ?b2 n ?是首项分别为 1 和 , 公差均为 的等差数列, 于是 b2 n ? , 3 3 3 3

? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ?? ? b2 n ?1b2 n ? b2 n b2 n ?1 ? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ? ? b2 n (b2 n ?1 ? b2 n ?1 ) 4 ? ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) 3 4 1 5 4n ? 1 ? ? ? n( ? ) 3 2 3 3 4 ? ? (2n 2 ? 3n) 9

3 ? 24 (万元) ,所以 2006 年 A 型车价格为 64-24=40 万元.因 4 为五年后 B 型车价格应不高于 A 型车价格的 90%,所以有 B 型车价格 ? 40 ? 90% ? 36 (万元) ,2001 年
3.解: (1)由题意减少的关税税款为 32 ? B 型车价格为 46 万元,故五年中至少要降 10 万元,所以平均每年至少降价 2 万元.

( ) (2)根据题意,2001 年存入的 33 万元五年后到期时连本带息可得 33? 1 ? 1.8% 万元.
5

因 33? 1 ? 1.8% 5 ? 33? [1 ? 5 ?1.8%? 10? (1.8% 2 ] ? 36.07692(万元) ( ) ) 所以够买一辆(1)中所述五年后降价为 36 万元以下得 B 型车. 4.解:这是一道函数、数列、不等式的综合问题.对于(Ⅰ) ,直接验证即可;对于(Ⅱ) ,观察 S m 的构 成: S m ? f ?

?1? ?? ? m?

?2? f ? ? ??? ? m?

? m ? 2? f? ?? ? m ?

? m ? 1? f? ?? ? m ?

? m? f ? ?, ? m?

可知(Ⅰ)的结论又为(Ⅱ)作了铺垫;对于(Ⅲ) ,则应在(Ⅱ)的基础上,充分利用“恒成立” ,结合 函数、不等式的知识去解决.总之,本题层层递进,每一小题均为后一小题的基础,因此,从(Ⅰ)开始, 认真走好每一步是解决好本题的关键. (Ⅰ)由题可知: x1 ? x 2 ? 2 ?

1 ? 1 ,所以, 2

y1 ? y 2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?
点 P 的纵坐标 y P ?
x1 x2 x1 ? x2

1 1 4 x1 ? 4 x2 ? 4 ? x2 ? x1 4 x1 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 4 x2 ? 2

?

??

?

4

4 ?4 ?4 4 ?4 ?4 1 ? ? x1 x2 x1 x2 ?24 ?4 ?4 24 ?4 ?4 2
x1 x2

?

?

?

?

y1 ? y 2 1 ? 是定值,问题得证. 2 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:对任意自然数 m, n , f ?

?n? ?? ? m?

?m?n? 1 f? ? ? 恒成立. ? m ? 2

由 于 Sm ? f ? 法.即由于:

?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? ? ? f ? ? ??? f ? ?? f? ? ? f ? ? ,故可考虑利用倒写求和的方 ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m?

?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? Sm ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? f? ?? f? ? ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m? ? m? ? m ? 1? ? m ? 2? ?2? ?1? ? f? ?? f? ?? f? ? ??? f ? ? ? f ? ? ? m? ? m ? ? m ? ? m? ? m?
所以,

? ?1? ? m ? 1 ?? ? ? 2 ? 2S m ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? ? m ?? ? ? m ? ? ? m? 1 1 ? ?m ? 1? ? 2 f (1) ? ?3m ? 1? 2 6

? ? m ? 1? ? m ? 2 ?? f? ?? ? ? ? ? f ? ?? ? m ?? ? ? m ?

? 1 ?? ? m? f ? ?? ? 2 f ? ? ? m ?? ? m?

所 以 ,

Sm ?

1 ?3m ? 1? 12

(Ⅲ)∵ S m ?

1 ?3m ? 1? , 12

∴ S m ?1 ?

1 ?3m ? 2? 12




a ? a m a m?1 ? 1 等价于 12a m ? ? ? ??0 S m S m?1 ? 3m ? 1 3m ? 2 ?

依题意,①式应对任意 m ? N 恒成立. (1) 当 a ? 0 时,①式显然不成立,因此 a ? 0 不合题意.

1 a ? ? 0 ,所以,只需 a m ? 0 对任意 m ? N 恒成立,而当 m 为偶 3m ? 1 3m ? 2 m 数时, a ? 0 不成立,因此, a ? 0 不合题意. 1 a m ? ? 0 对任意 m ? N 恒成立. (3) a ? 0 时, 当 因为 a ? 0( m ? N ) 所以, , 需且只需 即: 3m ? 1 3m ? 2 3m ? 2 3m ? 2 a? 对 m ? N 恒成立.记 g ?m ? ? (m? N ) . 3m ? 1 3m ? 1
(2) 当 a ? 0 时, ∵ g ?m ? 1? ? g ?m ? ?

3m ? 5 3m ? 2 ?9 ? ? ?0, 3m ? 2 3m ? 1 ?3m ? 2??3m ? 1?
5 , 2
∴ a?

∴ g ?m ? ( m ? N )的最大值为 g ?1? ?

5 . 2

?1 (n ? 1) ? 四.热身练习 1、A 2、B 3、B 4、D 5、C 6、4 7、 a n ? ? n! 8、1679 万平方米 ? ( n ? 2) ?2
9.解: (1)证明:因 a1、a 2 、 a4 成等比数列,故 a2 ? a1a4 . 而 ?an ? 是等差数列,
2

于是 ?a1 ? d ? ? a1 a1 ? 3d) ,即 a1 ? 2a1d ? d 2 ? a1 ? 3a1d ,化简得 a1 ? d . (
2 2 2

( 2 ) 解 : 由 条 件 S10 ? 110 和 S10 ? 10 a1 ?

10 ? 9 d , 得 到 10a1 ? 45d ? 1 1 0, 因 a1 ? d , 代 入 得 2

55 d ? 110 ,

故 d ? 2 ,所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n .

10.解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d,依题意,得方程组 ? 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 1 .

?a1 ? d ? 9, 解得 a1 ? 5, d ? 4 , ?a1 ? 4d ? 21,

(2)由 an ? 4n ? 1 ,得 bn ? 2 4n?1 .所以 ?bn ? 是首项 b1 ? 2 , 公比 q ? 2 的等比数列.
5 4

于是得 ?bn ? 的前 n 项和 S n ?

2 5 (2 4 n ? 1) 32(2 4 n ? 1) ? . 15 24 ? 1

11.解: (1)? a n ?1 ? S n ?1 ? S n , a n ?1 ? 整理,得 nSn ?1 ? 2(n ? 1) S n ,

n?2 Sn , n

? (n ? 2) S n ? n( S n ?1 ? S n ) ,

?

S n ?1 S ?S ? ? 2 n .故 ? n ? 是以 2 为公比的等比数列. n ?1 n ?n?

(2)由(1) ,知 又 a2 ? 3

S n ?1 S S ? 4 ? n ?1 (n ? 2) ,于是 S n?1 ? 4(n ? 1) ? n?1 ? 4a n (n ? 2) n ?1 n ?1 n ?1

S1 ? 3, 故S1 ? a1 ? a2 ? 4 ,因此对于任意正整数 n ? 1 ,都有 S n?1 ? 4an .
1 5 1 5
n ?1

( ( 12. (1) 1 年投入为 800 万元, 2 年投入为 800 ? 1 ? ) 解: 第 第 万元, ?, n 年投入为 800 ? 1 ? ) 第
万元,所以,n 年内的总投入为 a n ? 800 ? 800 ? (1 ? ) ? ? ? 800 ? (1 ? )

1 5

1 5

n ?1

? ? 4 ?n ? 1 k ?1 ? ? 800? (1 ? ) ? 4000? ?1 ? ? ? ? 5 k ?1 ? ?5? ? ? ?
n

( 第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400 ? 1 ? ) 万元,?,第 n 年旅游业收入为 1 n 400 ? 1 ? )?1 万元. ( 4
所以,n 年内的旅游业总收入为 bn ? 400 ? 400? (1 ? ) ? ? ? 400? (1 ? ) n?1 ?

1 4

1 4

1 4

? 5? ? 400? ? 4 ? ? ? k ?1
n

k ?1

?? 5 ? n ? ? 1600? ?? ? ? 1? . ?? 4 ? ? ? ?
(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn ? an ? 0 ,

?? 5 ? n ? ? ? 4 ?n ? 即 1600? ?? ? ? 1? ? 4000? ?1 ? ? ? ? ? 0 ?? 4 ? ? ? ? 5? ? ? ? ? ?
2 令 ? ? ? x ,得 5x ? 7 x ? 2 ? 0 .解此不等式,得 x ?

? 4? ? 5?

n

2 , 5

x ? 1(舍去) ,

2 ? 4? 即 ? ? ? .由此,得 n ? 5 . 5 ? 5?
答:至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.

n


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