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高中数学人教版必修4知识点精华总结


高中数学必修 4 知识点

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在 第几象限,则称 ? 为第几象限角.

7、 弧度制与角度制的换算公式:2? ? 360 ,1 ?

r />? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,
1 1 面积为 S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?

9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 , 则 sin ? ?
tan ? ?

?

?

y x , cos ? ? , r r
y P T v O M A x

y ? x ? 0? . x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象 限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、 三角函数线:sin ? ? ?? ,cos ? ? ?? ,tan ? ? ?? .

12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

? sin

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

? n ? ?* ? 所在象限的方法:先把各象限 n 均分 n 等份, 再从 x 轴的正半轴的上方起, 依次将各区域标上一、 二、 三、
4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ?
tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? .



cos ? 2k? ? ? ? ? cos?



? 四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值 l 是? ? . r

? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? .

? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

①振幅: ? ;②周期: ? ? ⑤初相: ? .

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ; ? 2?

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? , 当 x ? x1 时, 取得最小值为 ymin ; 当 x ? x2 时, 取 得 最 大 值 为 ym a x, 则 ? ?
1 ? ym a ? x y 2
m i n

? ? ?? ? ? 6 ? sin ? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到 函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横 坐标伸长 (缩短) 到原来的
1

?

, ??

? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

1 ? ymax ? ymin ? , 2

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

?

倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y ? sin ?? x ? ? ?

的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短) 到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 坐标不变) ,得到函数
1

图 象



?

倍(纵

义 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? y ? sin ? x 的图象; 再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左 (右) 平移 ?
个单位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得 到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:

值 域

??1,1?
当 x ? 2 k? ? ?
2

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时, 当 x ? 2 k? ? ? ymax ? 1 ;

R

最 时, y ? 1 ; 当 x ? 2 k? ? ? max 2 值

既无最大值也无最小 值

? k ??? 时,ymin ? ?1. ? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期 奇 偶

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数



⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?



在 ? k? ? , k? ? ? 单 ? k ??? 上是增函数; 上 是 增 函 数 ; 在 2 2? ? 调 在 性 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ??? 上是增函数.

?2k? ? ? ,2k? ?? k ???

⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③

?

?

?

?

?

?

??

a ?0 ? 0?a ? a .
⑸ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

C

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

a
?

? k ??? 上是减函数.

a ? b ?? 1x ? 2 ,x

1

. y ? ?2 y

?
b

? k ??? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 对 称 中 心

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向 量. ⑵ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C



? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

x ? k? ?

?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

2

?k ? ??

a ? b ?? 1x ? 2 ,x

1

y ? ? 2. y

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起 点.

设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相 反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵ 运 算 律 : ①

? ? ?a ? ? ? ?? ? a ; ② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ; ③

? a ? b ? ? a ? ?b .
⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .

?

?

20 、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使

?

?

⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ? 2

b ? ?a .
设 a ? ? x1, y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则

b b ? 0 共线.
21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 . (不共 线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,

?

?

cos? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x 2 ?y2



24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

1. cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 2. cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3. sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 4. sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? ?
23、平面向量的数量积:

x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ⑹ tan ?? ? ? ? ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?
⑸ tan ?? ? ? ? ? 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?( cos 2 ? ? cos 2? ? 1 ,sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ) .
2

⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为

?

?

2

⑶ tan 2? ? 2 tan ? .
1 ? tan 2 ?

0.
⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,
2 a ?b ? a b ; 当 a 与 b 反向时,a ? b ? ? a b ;a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a . ③ 2

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

a ?b ? a b .
⑶ 运 算 律 : ① a ?b ? b ? a ; ②

? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ?

; ③

?a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .


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