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双曲线第一课时课件课件1


2012年12月19日

复习回顾
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
思考:
2. 引入问题:

r />Y

?x, y? M
F 2 ? c, 0 ? X

F 1 ?? c, 0 ?

O

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?
双曲线 图象 拉链画双曲

定义

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

图象

F1

··

y

F2 F1

oF2 x

· ·
o

y

x

方程 焦点

x2 a2

2 y + 2=1 b

y2 x2 + 2 = 1 2 a b
F(0, ± c)

F ( ±c,0)

a.b.c的 2012 年12月19日 关系

a2=b2+c2

一.复习旧知
1. 请说出椭圆定义及符号表示: 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹叫做椭圆.

即:|MF1|+|MF2|=2a( 2a>2c>0) ? 点M的轨迹是椭圆
Y

M?x, y?

F 1 ?? c, 0 ?

O

F 2 ? c, 0 ? X

若2a=2c,点M的轨迹是线段 F1F2; 若2a<2c,点M的轨迹不存在。 x2 + = 1(a>b>0) 2 b
(焦点在y轴上)

2. 请说出椭圆的标准方程: 2 2 y 2 x + y = 1(a>b>0) 或 2 2 a 2 a b
(焦点在x轴上)

3.方程中a,b,c之间有怎样的关系?

a2=b2+c2且a>b>0,a>c>0。
4.根据标准方程如何判断椭圆的焦点位置? 根据x2 , y2 分母的大小来判断,谁的分母大,焦点 就在相应的坐标轴上。

思考: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数
的点的轨迹是否存在?如果存在,又是什么 曲线呢?

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线
动画演示

思考:1.在作图的过程中哪些量是定量? 哪些量是不定量? 2.动点在运动过程中满足什么条件? 3.这个常数与|F1F2|的关系是什么? 4.动点运动的轨迹是什么? 5.若拉链上被固定的两点互换, 则出现什么情况?
2012年12月19日

数学实验:
[1]在黑板上取两定点记为F1,F2; [2]取一条拉链,并拉开;在链拉的一边取 下端点固定在F1处, 在另一边上取一点固 定在F2处,剩余的一段表示为F2 F,如图A 所示; [3]拉链的拉环表示的点记为M,将拉链逐 渐拉开或者闭拢,请观察M的轨迹;

思考:M运动时|MF1| ,|MF2|,|F2 F |
三者之间有何关系?
若将拉链上两点固定的位置互换,剩余的 一段长度不变记为F1 F,如图B所示,那么当M 运动时,它的轨迹又是什么?此时|MF1| |MF2|, |F2 F |三者之间又有何关系?

①由图(A)知: |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②由图(B)知:

|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 这 两条曲线合起来叫做双曲线, 每一条叫做双曲线的一支。 根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

2012年12月19日

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

1.双曲线的几何定义: 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
双曲线定义的符号表述:
M

||MF1| - |MF2||=常数(小于|F1F2|)

2.说明:(1)距离的差
(2)绝对值(想一想:若不加绝对
值,动点的轨迹又是什么?)

F1

o F2

(3)差的绝对值小于|F1F2 | 讨论:定义当中差的绝对值小于|F1F2 |如果去掉,那么点的 轨迹还是双曲线吗?(类比椭圆进行思考)

二.群策群力 探知寻规
1.双曲线的几何定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意:0<2a<2c ;
F1
o F2 M

双曲线定义的符号表述:
| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< |F1F2|)

2、讨论:定义当中差的绝对值小于|F1F2 |如果去掉,那么点的 轨迹还是双曲线吗?
(要求:类比椭圆,请同学先独立思考,然后同桌讨论,踊跃举手 发表你们的观点.)

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
F

M

||MF1| - |MF2||=常数(小于|F1F2|)

1

o

F

2

2012年12月19日

请思考?
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a(小于|F1F2| )的轨迹是什么?
双曲线的一支

2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(等于|F1F2| )的轨迹是什么?
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线

3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(大于|F1F2| )的轨迹是什么?
2012年12月19日

不存在

(1)若|F2F|=|F1F2|或|F1F|=|F1F2|

P

Q

M

F1

F2

M

轨迹是以F1、F2为端点向外的两条射线F1P ,F2Q。 (2)若|F2F|>|F1F2|或|F1F|>|F1F| M

轨迹不存在。
F1 F2

二.群策群力 探知寻规
小试身手:请说出下列方程对应曲线的名称:
稍加思考,举手回答

(双曲线) ( 1 ) F ( ? 5 , 0 ), F ( 5 , 0 ), || PF | ? | PF || ? 6 1 2 1 2

( 2 ) F ( ? 5 , 0 ), F ( 5 , 0 ), | PF | ? | PF | ? 6 (双曲线右支) 1 2 1 2

2 2 2 2 |( x ? 5 ) ? y ? ( x ? 5 ) ? y |6 ? (双曲线) (3 )
2 2 2 2 ( x ? 3 ) ? y ? ( x ? 3 ) ? y ? 6 (两条射线)

(4 )

探究:
(1)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 为8,则M点的轨迹是什么?

双曲线的一支

(2)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为10,则M点的轨迹是什么?

动点M的轨迹是分别以点A,B为端点,方向指向 AB外侧的两条射线.
(3)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为12,则M点的轨迹是什么?

不存在

(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?
2012年12月19日

线段AB的垂直平分线

感悟:
1)当常数等于|F1F2|时,动点M的轨迹是 以点F1、F2为端点,方向指向F1F2外侧的两条射线. 2)当常数大于|F1F2|时,动点M的轨迹 不存在 3)若常数等于0时,轨迹是 线段F1F2的垂直平分线 4)在双曲线的定义描述中要注意: 差的绝对值、常数小于|F1F2|及常数大于0这三 个条件
2012年12月19日

双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤: 1.建系 以F1,F2所在的直线为x轴,线
段F1F2的中点为原点建立直角坐标系xoy. y
M

2.设点 设M(x , y)是双曲线上任意
一点,双曲线的焦距为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0), . 又设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 2a.
F

1

O

F

2

x

3.列式

||MF1| - |MF2||=2a

5.化简

即 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 由两点间的距离公式可得
2012年12月19日

即 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ? 2 a
2 2 2 2

2 2 2 2 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ? 2 a

?? ? ? ( x ? c ) ? y ? ? 2 a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2 2

2 2

2 2 2 cx ? a ? ? a ( x ? c ) ? y

2 22 2 2 2 2 2 ( c ? a ) x ? a y ? a ( c ? a )
2 2 2 c ? a ? b

y x 2 2 2012 年12月19日 a b
2

? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )

2

类比椭圆的标准方程,请思考焦点在y轴上的双 y 曲线的标准方程是什么?

F2
2 2 y x ? 2? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2 a b

O

x
F1

这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在y轴上,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c). 其中c2=a2+b2.

y
M

代数式化简得:
2 2 2 22 2 2 2

F

1

O

F

2

x

( ? ) ? ? ( ? ) y c a x a a c a

可令:c2-a2=b2 代入上式得:b2x2-a2y2=a2b2 此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程

y x 即 : ? ? ( 1a? 0 ,b? 0 ) a b
2 2 2
2012年12月19日

2

其中c2=a2+b2

y
M F O F2

若建系时,焦点在y轴上呢?
y

1

x
F ( ±c, 0) F(0, ± c)

O

x

2 2 2 2 x y y x ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) ? 2? ( 1a ? 0 ,b ? 0 ) 2 2 a b a b 练习:写出以下双曲线的焦点坐标 2 2 2 2 x y x y ( 1 ) ? ? 1 , ( 2 ) ? ? ? 1 16 9 16 9

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?
2012年12月19日

(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象 是什么?标准方程怎样求?

yy FF 22
o o FF 11 xx

焦点在y轴上的双曲线 的标准方程

F11((0 0 ,-c), F ,-c),
2 2
2012年12月19日

F (0,c) F 22 (0,c)
2

c? a? b

焦 点 位置确定: 椭圆看分母大小 双曲线看x2、y2 的系数正负

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义 方程



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 2 x y ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b 2 2 y x ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 2 x y ? 2? 1 ( a? b? 0 ) 2 a b 2 2 y x ? 2? 1 ( a? b? 0 ) 2 a b

焦点 a.b.c的 关系
2012年12月19日

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 5 4 3 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________
2012年12月19日

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F 1

o

F 2

x
F1

x

方程 焦点
2012年12月19日

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2

a.b.c 的 关系

c? a? b

1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点o为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦
距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
FF 11

y

y
M

O

o

常数为2a
3.列式. |MF1|

F F22 x x

- |MF2|= ? 2a



(x+c)2 + y2 -

_ 2a (x-c)2 + y2 = +

4.化简.
2012年12月19日

①如图(A),
P ? {M | | MF | | MF | ? 2a} 1 2

②如图(B),

P ? {M | | MF | | MF | ? 2a} 2 1
由①②可得:

P ? {M | | | MF | | MF | | ? 2a} 1 2
(差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

一、 双曲线定义(类比椭圆)
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线 . y

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

M

② |F1F2|=2c ——焦距.
说 明: 思考: 0<2a<2c ;

F

1

o

F

2

x

(1)若2a=2c,则轨迹是什么?(1)两条射线

(2)若2a>2c,则轨迹是什么?(2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

二、 双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F

1

O

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a
2 2 2 2

即 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ? 2 a
4.化简

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ? 2 a
2 2 2 2

?? ? ? ( x ? c ) ? y ? ? 2 a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2 2

2 2

cx ? a ? ? a ( x ? c )? y
2 2

2

( c ? a ) x ? a y ? a ( c ? a )
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 c ? a ? b

x 2 a

2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2? b

2 y

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

④化简

2 ? ?? ? ?? x ? c y ? x ? c y ? 2 a 2 2 2
2 ? ? ? ? x ? c ? y ? x ? c ? y ? ? 2 a 2 2 2

将上述方程化为:

2 2 ? ? cx ? a ? ? a x ? c ? y 移项两边平方后整理得: 2

? ? ? c ? a x ? a y ? a c ? a 两边再平方后整理得:?
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 x y c? a ? 得: ? 2 2 ?1 两边同时除以 a ? 2 a c ?a 2 2 c ? a ? 0 2 c?2 a即: c ?a ? 由双曲线定义知:
2 2 2

2 2 2 设c ? ? ? a ? b b ? 0 代入上式整理得:

2 2 x y ? 2? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2 a b

这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在x轴上,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0). 其中c2=a2+b2.

类比椭圆的标准方程,请思考焦点在y轴上的双 y 曲线的标准方程是什么?

F2
2 2 y x ? 2? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2 a b

O

x
F1

这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在y轴上,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c). 其中c2=a2+b2.

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么? 2 y
2 a

-

2 x

y F2
o F1 x

2 b

= 1

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

( a ? 0 , b ? 0 )

讨论:
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正,则 在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 2 x y ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b 2 2 y x ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 2 x y ? 2? 1 ( a? b? 0 ) 2 a b 2 2 y x ? 2? 1 ( a? b? 0 ) 2 a b

方 程

焦 点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

三.双曲线两种标准方程的比较
2 2 x y ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a by

M

2 2 y x ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b y

M

F2 x F1
O

F1 O F2

x

① 方程用“-” 号连接。2 2 a , b , a ? 0 , b ? 0 a , b但 ② 分母是 2 2 2 小不定。 c ? a ? b ③ 。



x 的系数是正的,则焦点在 x ④如果 y 的系数是正的,则焦点在 轴上。
2

2 y 轴上;如果

四、双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 2 x y ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b 2 2 y x ? 2? 1 ( a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 2 x y ? 2? 1 ( a? b? 0 ) 2 a b 2 2 y x ? 2? 1 ( a? b? 0 ) 2 a b

方程

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

讨论:
2 2 当 m 取何值时,方程 mx 表示椭圆,双 ? ny ? 1 、 n 曲线,圆 。

解:由各种方程的标准方程知,

? 0 , n ? 0 , m ? n 当m 时方程表示的曲线是椭圆

? n ? 0 当m 时方程表示的曲线是圆
? n ?0 当m 时方程表示的曲线是双曲线

三.知识迁移 深化认知
例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,
x y (1)双曲线的标准方程为______________ ? ?1 9 16 (2)若 |PF1|=10,则|PF2|=_________ 4或16
13 (3)若|PF1|= 7,则|PF2|=_________ (4)动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求
2 2

(二)典型例题

动点 P 的轨迹方程. x 2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 9 16

三、例题选讲

? ? ? ? ? 5 , 0 , F 5 , 0 1 2 例1 已知两定点 F ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程。
解:∵ F1 F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 ( ?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ?1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练:已知两定点 F ,动点 P 满 ? ? ? ? ? 5 , 0 , F 5 , 0 1 2 足 PF1 ? PF2 ? ,6 求动点 的轨迹方程 P
解: ∵ F1 F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 ( ?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

三.知识迁移 深化认知
x y 例2:如果方程 ? ?1 表示双曲 2?m m?1 线,求m的取值范围.
2 2

由 ( 2 ? m ) ( m ?? 1 )0 得 m ? ? 2 或 m ? ? 1 解: ∴ m 的取值范围为 ( ??, ?2) ? ( ?1, ?? ) 思考:
2 2 x y 方程 ? ?1 表示焦点在y轴双曲线时, 2?m m?1 m?? 2 则m的取值范围_____________.

课堂练习:
1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3),动点P满足 |PF1| - |PF2|= 10,则P点的轨迹是( D ) A、双曲线 C、直线
2 2 2

B、双曲线一支 D、一条射线

x y 2、若椭圆 与双曲线 ? ? 1( a?0 ) a 4 x y
2 2

3

?

2

? 1 的焦点相同,则

a = 3

例2 已知方程

x2 y2 ? ?1 9?k k ?3

表示双曲线,

求 k 的取值范围。
y x x 分析:由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 2 2 x 、 y y 轴也可能在 轴,故而只要让 的系数异号即 可。

练习:课后练习3
x2、y2

-4), F2(0,4)且过点 P(2 2, 例1 (1)求焦点是 F1(0, -6)的双曲线的标准方程; 9 (2)求焦点在 y 轴上, 且过点 P1(3, -4 2), P 2( , 4 5)的双曲线的标准方程.
【思路点拨】 (1)是利用待定系数法求双曲线的 标准方程,待定系数法的关键在于先定位,即确 定方程的形式,再定量,即确定a、b的值.

(2)是典型的待定系数法求方程问题, 列方程组容 1 1 易,但解出 a 、b 难,可将 2、 2作整体换元, a b
2 2

方程组就简化了.
y2 x2 【解】 (1)设所示标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0) a b 且 c=4, ∵曲线过点 P(2 2,-6),

?36 8 ? 2 - 2=1, ∴有? a b ? 2 2 ?a +b =16,

?a2=12, ∴? 2 ?b =4,

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 12 4 y2 x2 (2)设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0). 因 a b 为 P1,P2 在双曲线上,所以 P1,P2 的坐标适合

9 ? ?32 2 - 2=1, b ?a 方程, 所以有? 81 ?25 2- 2 = 1, ? a 16 b ?
?32m-9n=1, ? 程组可化为? 81 25m- n=1, ? 16 ?
2 ? a ? =16, ? 2 ? b ? =9.

1 1 令 m= 2 , n= 2.则方 a b
? ?m= 1 , 16 ? 解得? 1 ? n= . ? 9 ?



y2 x2 ∴所求方程为 - =1. 16 9

x y 例3 已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别 9 16 是 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2= 60° ,求△F1PF2 的面积.
【思路点拨】 可先由双曲线方程确定a、b、

2

2

c,再利用定义和余弦定理求得 |PF1 |· |PF2 |,从 而求得△F1PF2的面积.

【解】

x2 y 2 由 - =1,得 a=3,b=4,c=5. 9 16

由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=± 6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° , 所以 102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 所以|PF1|· |PF2|=64, 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|· sin∠F1PF2 2 1 3 = ×64× =16 3. 2 2

【名师点评】

与焦点三角形有关的问题,常用

双曲线的定义,并注意与三角形知识相结合,如 余弦定理、勾股定理等,同时要注意整体运算思 想的应用.

互动探究

把本例中的∠F1PF2=60°改为∠F1PF2

=90°,其他条件不变,求△F1PF2的面积.

x2 y2 解:由 - =1,得 a=3,b=4,∴c=5. 9 16 由双曲线定义及勾股定理得 |PF1|-|PF2|=± 6,

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=102, ∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· |PF2|=100, 100-36 ∴|PF1|· |PF2|= =32, 2 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|=16. 2

方法感悟 1.遇到动点到两定点距离之差问题,要联想应 用双曲线定义解题,点P在双曲线上,有||PF1|- |PF2||=2a,充分利用这一隐含条件,是解决问 题的重要技巧. 2.求双曲线的标准方程主要有:一是没有给出 坐标系,必须建立坐标系,根据双曲线的定义确

定出方程;二是给出标准形式,要先判断出焦点
的位置,如果焦点不确定要分类讨论,采用待定 系数法求方程或用形如mx2+ny2=1(mn<0)的形 式求解. 3.应用双曲线的定义解题,要分清是双曲线的

哪一支,是否两支都符合要求,结合已知条件进
行判断.

m A B 两地相距 800 例3、已知 A、 ,在 地听到炮 B 340 m /s 弹爆炸声比在 地晚 ,求 2,且声速为 s 炮弹爆炸点的轨迹.
分析:依题意有,爆炸地点距 A、 B两地的距离差值为一 B 个定值,故而可知,爆炸点在以 A、 为焦点的双曲线 上,又在 A 地听到的晚,所以爆炸点离 A 较远,应是靠 近 B 的一支。

课堂小结:
?

本节课学习了双曲线的定义、 图象和标准方程,要注意使用类 比的方法,仿照椭圆的定义、图 象和标准方程的探究思路来处理 双曲线的类似问题。

练习:
课后练习1、2

作业:
教材 P61习题2.3A组 第 1、2题

2014年4月3日星期四


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