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2.10 函数模型及其应用


2.10

函数模型及其应用

1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c 为常数,

b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型

幂函数模型

(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数 y=ax (a>1)与幂函数 y=xn (n>0) 在区间(0,+∞),无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn,但由于 y=ax 的增长速度快于 y=xn 的增长速度, 因而总存在一个 x0, 当 x>x0 时有__________. ②对数函数 y=logax (a>1)与幂函数 y=xn (n>0) 对数函数 y=logax (a>1)的增长速度, 不论 a 与 n 值的大小如何总会慢于 y=xn 的增长 速度,因而在定义域内总存在一个实数 x0,使 x>x0 时有____________. 由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数, 但它们的增长速度不同, 且不在 同一个档次上, 因此在(0, +∞)上, 总会存在一个 x0, 使 x>x0 时有__________________. 2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型;
1

(3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

1.某物体一天中的温度 T(单位:℃)是时间 t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0 表 示中午 12∶00,其后 t 取正值,则下午 3 时的温度为________. 2.某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 1 万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q- Q2,则总利润 L(Q)的最 20 大值是________万元. 3.某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r,存期是 x,本利和(本金加 利息)为 y 元,则本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式是______________. 4.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比, 而每月车载 货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算, 如果在距离车站 10 千米处建仓库, 这两项费用 y1,y2 分别是 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建 在离车站 A.5 千米处 C.3 千米处 B.4 千米处 D.2 千米处 ( )

5.某企业第三年的产量比第一年的产量增长 44%,若每年的平均增长率相同(设为 x), 则以下结论正确的是 A.x>22% C.x=22% B.x<22% D.x 的大小由第一年的产量确定 ( )

2

题型一 一次函数、二次函数模型 例1 某企业生产 A, B 两种产品, 根据市场调查与预测, A 产品的利润与投资成正比,

其关系如图 1;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润和 投资单位:万元).

(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金,并将全部投入 A,B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这 18 万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最 大利润约为多少万元?

题型二 分段函数模型 例 2 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻

关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月 处 理 成 本 y( 元 ) 与 月 处 理 量 x( 吨 ) 之 间 的 函 数 关 系 可 近 似 地 表 示 为 y =

?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, ?1 ?2x -200x+80 000,x∈[144,500],
3 2 2

1

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工

产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时, 判断该项目能否获利?如果获利, 求出最大利润; 如果不获利, 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

3

.函数建模及函数应用问题

试题:(12 分)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企 业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全 体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转让 费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为 每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关 系如图所示;③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最 大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 审题视角 (1)认真阅读题干内容,理清数量关系.(2)分析图形提供的信息,从图形可看 出函数是分段的.(3)建立函数模型,确定解决模型的方法. 规范解答 解 设该店月利润余额为 L, ①

则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,

? ?14≤P≤20?, ?-2P+50 由销量图易得 Q=? 3 ? ?-2P+40 ?20<P≤26?,
代入①式得

[2 分]

? ??-2P+50??P-14?×100-5 600 ?14≤P≤20?, L=? 3 ? ? ? ??-2P+40??P-14?×100-5 600 ?20<P≤26?,
(1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元; 当 20<P≤26 时,Lmax= 1 250 61 元,此时 P= 元. 3 3

[4 分]

故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元. (2)设可在 n 年内脱贫,
4

[8 分]

依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫. [12 分]

§ 2.10
一、选择题

函数模型及其应用
A 组 专项基础训练题组

1.某个体企业的一个车间有 8 名工人,以往每人年薪为 1 万元,从今年起,计划每人的 年薪都比上一年增加 20%,另外,每年新招 3 名工人,每名新工人的第一年的年薪 为 8 千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,如果将第 n 年企业付 给工人的工资总额 y(万元)表示成 n 的函数,则其表达式为 A.y=(3n+5)1.2n+2.4 B.y=8×1.2n+2.4n C.y=(3n+8)1.2n+2.4 D.y=(3n+5)1.2n 1+2.4


(

)

2.某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元售出时,每天可卖出 60 个.商店经理到 市场上做了一番调查后发现,若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每提高 1 元,则日销售量就减少 5 个;若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每降低 1 元,则日销售量就增加 10 个.为了每日获得最大利润,则商品的售价应定为 A.10 元 C.20 元 B.15 元 D.25 元 ( )

3.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元, B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟) 与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟时, 这两种方式电话费相差 A.10 元 B.20 元 C.30 元 ( 40 D. 元 3 )

4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析 每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*) 为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少年时, 其营运的平均利润最大 A.3 二、填空题 5. A 市和 B 市分别有某种库存机器 12 台和 6 台,现决定支援 C 村 10 台,D 村 8 台.已
5

( C.5 D.6

)

B.4

知从 A 市调运一台机器到 C 村和 D 村的运费分别是 400 元和 800 元,从 B 市调运一 台机器到 C 村和 D 村的运费分别是 300 元和 500 元.设 B 市运往 C 村机器 x 台, 若要 求运费 W 不超过 9 000 元,共有________种调运方案. 6.某同学高三阶段 12 次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连 续下降的趋势.现有三种函数模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x- q)2+p(其中 p,q 为正常数,且 q>2).能较准确反映数学成绩与考试序次关系,应选 ________作为模拟函数; 若 f(1)=4, f(3)=6, 则所选函数 f(x)的解析式为___________. 7.(2010· 浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元, 预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月 份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万 元,则 x 的最小值是________. 三、解答题 8.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x2 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量 5 最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元, 那么当年产量为多少吨时, 可以获得最大利润? 最大利润是多少?

6

B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得最 大利润为 A.45.606 万元 C.45.56 万元 B.45.6 万元 D.45.51 万元 ( )

2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的 行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图, 为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取 矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面 积最大时,矩形两边长 x、y 应为 A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 二、填空题 4.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面上方 空出 2 cm 的边,下、左、右方都空出 1 cm 的边,为使 中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为__ __________. 1 5.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 , 3 则现在价格为 8 100 元的计算机经过 15 年的价格应降为________元. 6.某商人购货, 进价已按原价 a 扣去 25%.他希望对货物订一新价, 以便按新价让利 20% 销售后仍可获得售价 25%的利润, 则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式为______________. ( )

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

7

三、解答题 7.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

8.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下, 大桥上的车 流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次 函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时)

8


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