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第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题(word版)


第 32 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2015 年 9 月 19 日

说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。 一、 (15 分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和 质子-质子循环;其中碳循环是贝蒂在 1938 年提出的,碳循环反应过 程如图所示。 图中 p 、e + 和? e 分别表示质子、 正电子和电子型中微子

; 粗箭头表示循环反应进行的先后次序。 当从循环图顶端开始, 质子 p 与

C 核发生反应生成 13 N 核, 反应按粗箭头所示的次序进行, 直到完成 + 一个循环后,重新开始下一个循环。已知 e 、 p 和 He 核的质量分别 为 0.511 MeV/c2、1.0078 u 和 4.0026 u(1u≈931.494 MeV/c2) ,电子型 中微子? e 的质量可以忽略。 (1)写出图中 X 和 Y 代表的核素; (2)写出一个碳循环所有的核反应方程式; (3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。
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二、 (15 分)如图,在光滑水平桌面上有一长为 L 的轻杆,轻杆两端各固定 一质量均为 M 的小球 A 和 B 。开始时细杆静止;有一质量为 m 的小球 C 以 垂直于杆的速度 v 0 运动,与 A 球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。 (1)求碰后系统的动能(用已知条件和球 C 碰后的速度表出) ; (2)若碰后系统动能恰好达到极小值,求此时球 C 的速度和系统的动能。

三、 (20 分)如图,一质量分布均匀、半径为 r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间, π 3π 圆环质心速度 v0 与竖直方向成 ? ( ? ? ? )角,并同时以角速度 ? 0 ( ? 0 的正方向如图中箭 2 2

头所示)绕通过其质心 O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动, 在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复系数为 k ,重力加速度大小为 g 。忽 略空气阻力。 (1)求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2) 求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上 升的最大高度; (3)若让 ? 角可变,求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距 离 s 随 ? 变化的函数关系式、s 的最大值以及 s 取最大值时 r 、v 0 和 ? 0 应 满足的条件。

第 32 届全国中学生物理竞赛复赛试题

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四、(25 分)如图,飞机在距水平地面(xz 平面)等高的航线 KA(沿 x 正方向)上,以大 小为 v ( v 远小于真空中的光速 c )的速度匀速飞行;机载雷达天线持续向航线正右侧地面上 的被测固定目标 P 点(其 x 坐标为 x P )发射扇形无线电波束(扇形的角平分线与航线垂直) , 波束平面与水平地面交于线段 BC(BC 随着飞机移动,且在测量时应覆盖被测目标 P 点) , 取 K 点在地面的正投影 O 为坐标原点。已知 BC 与航线 KA 的距离为 R0 。天线发出的无线电 波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波,其频率为 f 0 。 (1)已知机载雷达天线经过 A 点(其 x 坐标为 xA )及此后朝 P 点 相继发出无线电波信号,由 P 反射后又被机载雷达天线接收到, 求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差(频移) 。 (2)已知 BC 长度为 Ls ,讨论上述频移分别为正、零或负的条件, 并求出最大的正、负频移。 (3)已知 R0 ?? Ls ,求从 C 先到达 P 点、直至 B 到达 P 点过程中 最大频移与最小频移之差 (带宽) , 并将其表示成扇形波束的张角 ? 的函数。 已知:当 y ?? 1 时, 1 ? y 2 ? 1 ?
y2 。 2

五、 (20 分)如图, “田”字形导线框置于光滑水平面上,其中每个 小正方格每条边的长度 l 和电阻 R 分别为 0.10 m 和 1.0 ? 。 导线框处于 磁感应强度 B ? 1.0 T 的均匀磁场中,磁场方向竖直向下,边界(如图 中虚线所示)与 de 边平行。今将导线框从磁场中匀速拉出,拉出速 度的大小为 v ? 2.0 m/s ,方向与 de 边垂直,与 ae 边平行。试求将导 线框整体从磁场中拉出的过程中外力所做的功。

六、 (23 分)如图,一固定的竖直长导线载有恒定电流 I ,其旁边有 一正方形导线框,导线框可围绕过对边中心的竖直轴 O1O2 转动,转 轴到长直导线的距离为 b 。已知导线框的边长为 2a ( a ? b ) ,总电阻 为 R,自感可忽略。现使导线框绕轴以匀角速度 ? 逆时针(沿轴线从 上往下看)方向转动,以导线框平面与长直导线和竖直轴所在平面 重合时开始计时。求在 t 时刻 (1)导线框中的感应电动势 E; (2)所需加的外力矩 M。

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七、(22 分)如图,1mol 单原子理想气体构成的系统 分别经历循环过程 abcda 和 abc ?a 。已知理想气体在任 一缓慢变化过程中,压强 p 和体积 V 满足函数关系 p ? f ?V ? 。 (1)试证明:理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热 容可表示为
C? ? CV ? pR p ?V dp dV
1

p 3p1 2p p1
c?
'

b

c

a

d

V O

5 V1 V1 3 V1 式中, CV 和 R 分别为定容摩尔热容和理想气体常数; (2)计算系统经 bc ? 直线变化过程中的摩尔热容; (3) 分别计算系统经 bc ? 直线过程中升降温的转折点在 p-V 图中的坐标 A 和吸放热的转折 点在 p-V 图中的坐标 B; (4)定量比较系统在两种循环过程的循环效率。

八、(20 分)如图,介质薄膜波导由三层均匀介质组成:中间层 1 为波导薄膜,其折射率为 光波在其中传播; 底层 0 为衬底, 其折射率为 n0 ; 上层 2 为覆盖层, 折射率为 n2 ; n1 , n1 ? n0 ? n2 。 光在薄膜层 1 里来回反射,沿锯齿形向波导延伸方向传播。图中, ? ij 是光波在介质 j 表面上 的入射角, ? tj 是光波在介质 j 表面上的折射角。 (1) 入射角 ? i1 在什么条件下光波可被完全限制在波导薄膜里 (即光未折射到衬底层和覆盖层 中)? (2)已知波导薄膜的厚度为 d ,求能够在薄膜波导中传输的光波在该介质中的最长波长 ?max 。 已知:两介质 j 与 k 的交界面上的反射系数(即反射光的电场强度与入射光的电场强度 之比)为
rjk ? n j cos?i j ? nk cos? t k n j cos ?i j ? nk cos? t k ? rjk e
? i? jk

式中, ? ij 和 ? tj 是分别是光波在介质 j 的表面上的入射角和折射角,余类推;正弦函数和余弦 函数在复数域中可定义为
sin ? ? ei? ? e?i? ei? ? e?i? , cos? ? 2i 2

n2 θi1 d n 1 n0 θi1 θt0

θt2

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