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高三第一学期期中考试数学试题


高三第一学期期中考试数学试题
注意事项: 考生答题前请认真阅读注意事项及各题答案要求。 1.本试卷包含填空题(第 1 题—第 4 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题)两部分。本试卷满分 160 分, 考试时间为 120 分钟。 2.答题前,请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。 3.作答时必须用斗 5 写黑色字迹的

0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律 无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,把答案直接填在答题卡相 应位置上. 1.设集合 M={x|0≤x-≤1},函数 f ( x) ? 的定义域为 N,则 M∩N= 2.已知复数 z 满足(1+2i)z=4+3i,则 z= 3.函数 y=x2—2x (x∈[0,3]的值域是 4.已知 cos a ?

1 1? x
。 .

5 ? 。且 a∈(一 ,0) , 3 2


则 sin( ? ? a )=

5.在△ABC 中,AB= 3 .A=45°,B=75°, 则 BC 等于 6.已知直线 y ? 。

1 x ? b 是曲线 y=lnx(x>0)的 2
。 。

一条切线,则实数 b 的值是

7.一个算法的流程图如图所示?若输入的 n 是 100,则输出值 S 是

8.已知集合 A=(x,y)|x 一 2y 一 l=0},B={(x,y)|ax-by+1=0},其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},则 A∩B= ? 的 概率为 .

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? ? 0 , | ? |?

?
2

)的 。
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图象如图所示,则,f(0)=

10.已知 f ( x) ? x ? ax 在区间[1,+∞)
3

上是单调增函数,则实数 a 的最大值是 11.不等式 | x ?



1 。 | ?a ? 4 ? 0 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 x ??? ? ??? ? 1 12 . 已 知 向 量 m ? (1,1), n ? (0, ) , 设 向 量 OA ? (cos ? ,sin ? )(? ? [0, ? ]), 且m ? (OA ? n) , 则 5

t a? ? n


2

13. a ? 1 , 设 若函数 f ( x) ? log a (ax ? x) 在区间 [ , 4] 上是增函数, a 的取值范围是 则 14.对于函数 f ( x ) ?

1 2



x ,下列结论正确的是 1? | x |



① ?x ? R, f (? x) ? f ( x) ? 0; ② ?m ? (0,1), 使得方程f ( x) ? m 有两个不等的实数解; ③ ?k ? (1, ??), 使得函数g( x) ? f ( x) ? kx 在 R 上有三个零点; ④ ?x1 , x2 ? R, 若x1 ? x2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ). 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 15.已知 f ( x) ? cos x ? sin x(sin x ? 2 3 cos x), x ? R.
2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) ?

8 ? ? , 且x ? [ , ] ,求 sin 2x 的值。 5 4 2

16.如图, ?ABC 为正三角形, EB ? 平面 ABC,AD//BE,且 BE=AB+2AD,P 是 EC 的中点。 求证: (1)PD//平面 ABC; (2)EC ? 平面 PBD。

17.为了研究某种药物,用小白鼠进行试验,发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而 不同。若使用注射方式给药,则在注射后的 3 小时内,药物在白鼠血液内的浓度 y1 与时间 t 满足关系 式: y1 ? 4 ? at (0 ? a ?

4 , a为常数) ,若使用口服方式给药,则药物在白鼠血液内的浓度 y2 与时间 3
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? t, 0 ? t ? 1, ? t 满足关系式: y2 ? ? 现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物,且注射药 2 3 ? ,1 ? t ? 3 1 ? t ? 3. ? t ?
物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。 (1)若 a=1,求 3 小时内,该小白鼠何时血液中药物的浓度最高,并求出最大值? (2)若使小白鼠在用药后 3 小时内血液中的药物浓度不低于 4,求正数 a 的取值范围。

18.设 m ? Z ,函数 f ( x) ? x ?2 m

2

? m?3

, g ( x) ? log m?1

x?2 3 , 且f ( ) ? 1. 2? x 5

(1)求 m 的值,并确定函数 f ( x) 的奇偶性; (2)判断函数 g ( x) 的单调性,并加以证明。

19.已知函数 f ( x) ? ax ? ax和g ( x) ? x ? a, 其中a ? R且a ? 0.
2

(1)若函数 f ( x)与g ( x) 的图象的一个公共点恰好在 x 轴上,求 a 的值; (2)若 p 和 q 是方程 f ( x) ? g ( x) 的两根,且满足 0 ? p ? q ? 当 x ? (0, p)时, g ( x) ? f ( x) ? p ? a.

1 , 证明: a

20 . 若 存 在 实 数 k , b , 使 得 函 数 f ( x) 和 g ( x) 对 其 定 义 域 上 的 任 意 实 数 x 同 时 满 足 :

f ( x ) ? k x 且 ( )? ? b g x

。已知 k? ,则称直线: l : y ? kx ? b 为函数 f ( x)和g ( x) 的“隔离直线” x b

f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 2e ln x (其中 e 为自然对数的底数) 。试问:
(1)函数 f ( x)和g ( x) 的图象是否存在公共点,若存在,求出交点坐标,若不存在,说明理由; (2)函数 f ( x)和g ( x) 是否存在“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的方程;若不存在,请 说明理由。

附加题
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注意事项:考生答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共四个解答题(第 1 题~第 4 题) 。本试卷满分 40 人分,考试时间为 30 分钟。 2.答题前,请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 1.已知矩阵 A ? ?

? 2 1? ?1 ? 2 ? ,B ? ? ? ? ? ?2 1 ? ?0 1 ?

(1)计算 AB; (2)若矩阵 B 把直线 l : x ? y ? 2 ? 0变为直线l ?, 求直线l ? 的方程。

2.已知 ? O1和 ? O2 的极坐标方程分别是 ? ? 2cos ? 和? ? 2a sin ? (a 是常数). (1)分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若两个圆的圆心距为 5, 求a 的值。

3.如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?ACB ? 90 , AB ? 2, BC ? 1, AA1 ?
?

6, D 是棱 CC1 的中点。

(1)证明:A1D⊥平面 AB1C1; (2)求二面角 B—AB1—C1 的余弦值;

4.某电视台的一个智力游戏节目中,有一道将四本由不同作者所著的外国名著 A、B、C、D 与它们的作者 连线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本名著连线。每连对一个得 3 分, 连错得一 1 分,一名观众随意连线,他的得分记作 X。 (1)求该观众得分非负的概率; (2)求 X 的分布列及数学期望。

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w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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