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点差法解决圆锥曲线的中点弦问题


普通高中课程标准实验教科书 数学(选修)1-1,2-1圆锥曲线与方程(江苏教育出版社)

“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
授课教师:张祖辉

x2 y2 例1.过椭圆 ? ?1 内一点M(2,1)引一条弦, 使弦被M平分, 16 4 求这条弦所在的直线方 程。

参考答案: x ? 2y ? 4 ? 0
x2 y2 练习:已知椭圆方程为 ? ? 1,过点P(1,1)的直线l交椭圆于A、B两点, 16 4 1 O为坐标原点 , 点P满足OP ? (OA ? OB),求直线l的方程。 2

参考答案: x ? 4y ? 5 ? 0

y2 x2 例2.已知椭圆 ? ? 1,斜率为3的直线l与椭圆交于A,B两点 75 25 若P为弦AB的中点,试求点 P的轨迹方程

参考答案:x ? y ? 0
y2 练习:设椭圆方程为 x ? ? 1,过点M(0,1)的直线交椭圆于 A、B, 4 若点P满足为弦AB中点,求点P的轨迹方程
2

参考答案: 4x2 ? y 2 ? y ? 0

总结:与圆锥曲线的弦的中点有关的问
题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐 标为M(X1,y1),N(x2,y2),将这两点代入圆锥 曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与 弦MN的中点和斜率有关的式子,可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为 “点差法”。利用点差法求解圆锥曲线中点 弦问题,方法简捷明快,结构精巧,很好地 体现了数学美,而且应用特征明显,是训练 思维、熏陶数学情感的一个很好的材料,利 于培养解题能力和解题兴趣。

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