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1--5 函数极限的四则运算


第五节 函数极限的四则运算
定理 设 lim f ( x ) ? A, lim g ( x ) ? B , 则

(1) lim[ f ( x ) ? g ( x )] ? A ? B; ( 2) lim[ f ( x ) ? g ( x )] ? A ? B; f ( x) A ( 3) lim ? , 其中B ? 0. g( x ) B

>


此定理证明的基本原则:

lim f ( x ) ? A ? f ( x ) ? A ? ? ( x )
定理(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
推论1

如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] ? c lim f ( x ).

常数因子可以提到极限记号外面.
推论2

如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n ? [lim f ( x )]n .

极限性质
定理(保序性)

设 lim f ( x ) ? A, lim g ( x ) ? B .
x ? x0 x ? x0

若?? ? 0, ?x ? U 0 ( x0 , ? ), 有f ( x ) ? g( x ), 则A ? B .
定理(保号性)

若 lim f ( x ) ? A, 且A ? 0(或A ? 0),
x ? x0 0

则?? ? 0,当x ? U ( x0 , ? )时, f ( x ) ? 0(或f ( x ) ? 0).
推论 若 lim f ( x ) ? A, 且?? ? 0,当x ? U 0 ( x0 , ? )时,
x ? x0

f ( x ) ? 0(或f ( x ) ? 0), 则A ? 0(或A ? 0).

求极限方法举例

x3 ? 1 例1 求 lim 2 . x?2 x ? 3 x ? 5
? lim x 2 ? lim 3 x ? lim 5 解 ? lim( x ? 3 x ? 5) x ? 2 x?2 x?2
2 x?2

? (lim x ) 2 ? 3 lim x ? lim 5
x?2 x?2 x?2

? 2 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? 0,

x ?1 23 ? 1 7 x?2 ? x?2 2 ? lim 2 ? . ? x?2 x ? 3 x ? 5 3 lim( x ? 3 x ? 5) 3 x?2
3

lim x 3 ? lim1

小结: 1. 设 f ( x ) ? a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? a n , 则有
x ? x0

lim f ( x ) ? a0 ( lim x ) n ? a1 ( lim x ) n ?1 ? ? ? a n
x ? x0
n

x ? x0

? a0 x0 ? a1 x0

n ?1

? ? ? a n ? f ( x0 ).

P( x) 2. 设 f ( x ) ? , 且Q( x0 ) ? 0, 则有 Q( x )

P ( x0 ) lim f ( x ) ? ? f ( x0 ). ? x ? x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x ? x0 x ? x0

lim P ( x )

若Q( x0 ) ? 0, 则商的法则不能应用 .

4x ? 1 . 例2 求 lim 2 x ?1 x ? 2 x ? 3
解 ? lim( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0,
x ?1

商的法则不能用

又 ? lim(4 x ? 1) ? 3 ? 0,
x ?1

x2 ? 2x ? 3 0 ? lim ? ? 0. x ?1 4x ? 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得

4x ? 1 lim 2 ? ?. x ?1 x ? 2 x ? 3

x ?1 例3 求 lim 2 . x ?1 x ? 2 x ? 3
2

0 解 x ? 1时, 分子, 分母的极限都是零 ( 型 ) . 0
先约去不为零的无穷小因子x ? 1后再求极限.
x2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) lim 2 ? lim x ?1 x ? 2 x ? 3 x ?1 ( x ? 3)( x ? 1)

x?1 1 ? . ? lim x ?1 x ? 3 2

(消去零因子法)

2x3 ? 3x2 ? 5 例4 求 lim . 3 2 x ?? 7 x ? 4 x ? 1


? x ? ?时, 分子, 分母的极限都是无穷大( 型 ) . ?
5 x3 ? 2. 1 7 x3

先用x 3去除分子分母 分出无穷小 再求极限. , ,

3 2? ? 3 2 2x ? 3x ? 5 x lim 3 ? lim x?? 7 x ? 4 x 2 ? 1 x?? 4 7? ? x

(无穷小因子分出法)

小结:当a0 ? 0, b0 ? 0, m和n为非负整数时有

? a0 ? b , 当n ? m , m m ?1 ? 0 a 0 x ? a1 x ? ? ? am ? lim ? ?0,当n ? m , n n ?1 x ?? b x ? b x ? ? ? bn 0 1 ? ? , 当n ? m , ? ? ?
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.

例5

x ?1 ?1 求 lim x ?0 x
x ?1 ?1 lim x ?0 x



x ? 1 ?1 ? lim x ?0 x( x ? 1 ? 1)

1 1 ? lim ? x ?0 x ?1 ?1 2

例6

1 ? cos x 求 lim x ?0 x

解:

x 2 sin 1 ? cos x ? lim 2 lim x ?0 x ?0 x x
2

x sin 2 ? sin x ? 0 ? lim x ?0 x 2 2

例7

x x ) 求 lim( x ?? 1 ? x

1 x 1 x x ) ? lim( ) ? lim( 解: x ?? 1 x ?? 1 ? x e 1? x 或 lim( x ) x ? lim(1 ? 1 ) x x ?? x ?? 1 ? x 1? x

1 ?(1? x ) ?1 1 ?1 ? lim[(1 ? ) ] ? (1 ? ) x ?? 1? x 1? x

? e ?1 ? e

?1

?1

例8

1 2 n 求 lim ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ). n? ? n n n
n ? ?时, 是无穷小之和. 先变形再求极限.



1 2 n 1 ? 2 ? ?? n lim( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? lim n? ? n n?? n n n2
1 n( n ? 1) 1 1 1 2 ? lim ? lim (1 ? ) ? . 2 n? ? n?? 2 n n 2

由以上几例可见,在应用极限的四则运算法则求 极限时,必须注意定理的条件,当条件不具备时, 有时可作适当的变形,以创造应用定理的条件,有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。



结:

极限的四则运算法则及其推论;
极限的常用求法: a.多项式与分式函数代入法求极限; b. 0 型 有理分式, 消去零因子法求极限;
0

c.

0 型无理式,分子或分母有理化后求极限; 0

d.无穷小因子分出法求极限; e.利用无穷小运算性质求极限; f.利用两个重要极限的结论; g. 利用左右极限求分段函数极限.


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