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高中数学课件 空间两点间的距离公式


4.3.2 空间两点间的距离公式

1.了解空间两点间的距离公式的推导过程和方法.
2.掌握空间两点间的距离公式.

3.能够应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.

空间两点间的距离 (1)公式:已知空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则
(x1 ? x 2 )

? (y1 ? y 2 ) ? (z1 ? z 2 ) |P1P2|=____________________________.
2 2 2

(2)特殊情况:空间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为
x ?y ?z |OP|=____________.
2 2 2

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打

“×”).
(1)点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为a.( )

(2)空间两点间的距离公式与两点顺序有关.(
(3)点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1.(

)
)

(4)在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴的距离分别
等于相应坐标的绝对值.( )

提示:(1)错误.点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为 |a|. (2)错误.空间中两点间的距离与两点的顺序无关. (3)正确.| AB |? (1 ? 1)2 ? (1 ? 1)2 ? (0 ? 1) 2 ? 1.

(4)错误.在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴的
2 2 2 2 2 2 距离分别是 d x ? y0 ? z 0 ,d y ? x 0 ? z 0 ,d z ? x 0 ? y0 .

答案:(1)〓 (2)〓

(3)√

(4)〓

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线

上).
(1)已知A(-1,2,3),B(-1,4,-2),则|AB|= .

(2)已知A(-2,1,m),B(-2,2,0),若|AB|=1,则m=
(3)点M(2,-3,5)到x轴的距离是 .

.

2 【解析】(1)| AB |? [ ? 1 ? (?1)]? (4 ? 2) 2 ? (?2 ? 3) 2 ? 29.

答案: 29
2 (2)因为| AB |? [ ? 2 ? (?2)]? (2 ? 1) 2 ? (0 ? m) 2 ? 1.

所以1+m2=1,所以m=0.

答案:0
(3)过点M作x轴的垂线,垂足的坐标是(2,0,0),

所以 d ? (2 ? 2)2 ? (?3 ? 0) 2 ? (5 ? 0) 2 ? 34.
答案: 34

空间两点间的距离公式
观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点

P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为
P1P2 ? (x1 ? x 2 ) 2 ? (y1 ? y 2 ) 2 ? (z1 ? z 2 ) 2

探究1:观察公式,探究以下问题 (1)空间两点间的距离公式有何特征?

提示:空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和
的算数平方根.

(2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么
关系?

提示:空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的
推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标.

探究2:结合空间两点间的距离公式,探究式子(x1-x2)2+(y1y2)2+(z1-z2)2的几何意义是什么? 提示:式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2表示两点P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)距离的平方.

【拓展延伸】空间两点间的距离公式的几何意义 空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离 OP ? x 2 ? y 2 ? z 2 , 当 OP为定值时, x 2 ? y 2 ? z 2 =r(r>0)的几何意义是以原点O为球心, 以r为半径的球面.

【探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明 (1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广. (2)公式的推导是转化成平面内两点之间的距离,结合勾股定 理推出的. (3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以改变.

类型 一

空间两点间的距离公式

尝试解答下列题目,归纳利用空间两点间的距离公式求空间
距离的步骤.

1.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于
(
A. 14 B. 13 C.2 3 D. 11

)

2.设点P在x轴上,它到点P1(0, 2 ,3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍,求点P的坐标.

【解题指南】1.先求出点B的坐标,再由距离公式求解. 2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据 两点间距离公式列出关于a的方程,然后解方程即可.

【解析】1.选B.因为点B坐标为(0,2,3), 所以| OB |? 02 ? 22 ? 32 ? 13, 故选B. 2.设P(a,0,0),因为|PP1|=2|PP2|, 所以 (a ? 0)2 ? (0 ? 2) 2 ? (0 ? 3) 2
? 2 (a ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ,

所以a2+2+9=4(a2+1+1),

所以a=〒1,即P(1,0,0)或P(-1,0,0).

【互动探究】若题2中“点P在x轴上”换为“点P在z轴上”其 他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】设P(0,0,c),因为|PP1|=2|PP2|, 所以 (0 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (c ? 3) 2
? 2 (0 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (c ? 1) 2 ,

所以2+(c-3)2=4(1+c2+2c+1),

所以 c ? ?7 ? 58 ,
3
? 所以P(0,0, ?7 ? 58 )或P(0,0, 7 ? 58 ) . 3 3

【技法点拨】利用空间两点间距离公式求距离的两个步骤

【变式训练】在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),
B(1,-3,1),点M在y轴上,且M与A与B的距离相等,则M的

坐标是___________.
【解题指南】设出M点坐标,利用|MA|=|MB|列式求解.

【解析】设M(0,b,0),则由|MA|=|MB|
得 1 ? b2 ? 4 ? 1 ? (b ? 3) 2 ? 1, 解得b=-1.即M的坐标是(0,-1,0). 答案:(0,-1,0)

类型 二

空间两点间距离公式的应用

通过解答下列与两点间距离公式应用有关的题目,试总结 两点间距离公式在几何上的应用. 1.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状为 ( A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )

2.如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M为BD′的
中点,点N在A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求|MN|.

【解题指南】1.先利用空间两点间距离公式求出三角形的三 边长,再根据三角形的三边确定三角形的形状. 2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系,然后 根据题目中的条件求出点M,N的坐标,最后利用空间两点间 距离公式即可求出|MN|.

【解析】1.选C.| AB |? (4 ? 1)2 ? (2 ? 2)2 ? (3 ? 11)2 ? 89.
| AC |? (6 ? 1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? (4 ? 11) 2 ? 75 ? 5 3. | BC |? (6 ? 4) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? (4 ? 3) 2 ? 14.

因为|AB|2=|AC|2+|BC|2,
又|AB|,|AC|,|BC|两两不等,

所以△ABC为直角三角形,故选C.

2.以D为原点,建立如图所示空间直角坐标系.

因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a),
D′(0,0,a).由于M为BD′的中点,取A′C′的中点O′,所以
a a a a a M( , , ), O?( , ,a). 2 2 2 2 2

因为|A′N|=3|NC′|,所以N为A′C′的四等分点, 从而N为O′C′的中点,故 N( a , 3 a,a).
4 4

根据空间两点间的距离公式,可得
a a 2 a 3a 2 a 6 2 | MN |? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? a) ? a. 2 4 2 4 2 4

【技法点拨】两点间距离公式在几何中的应用
(1)求立体几何中线段长度问题

①建系:将立体图形放在空间直角坐标系中.
②定坐标:在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐 标. ③定距离:利用空间两点间距离公式确定所求线段的长. (2)判断三角形形状 ①利用两点间距离公式求三边长. ②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状.

【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.

(2)充分利用几何图形的对称性.

【变式训练】四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1, 且SA⊥底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的点P,使得∠SPD 是直角?

【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0). 设P(1,x,0)(0<x<2), 所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2 =x2+2, PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2 =(x-2)2+1, SD2=(0-0)2+(0-2)2+(1-0)2=5.

因为∠SPD是直角,
所以SP2+PD2=SD2,

即x2+2+(x-2)2+1=5,
所以x2-2x+1=0,

解得x=1.因此边BC上存在异于B,C的点P,使得∠SPD是直角.

1.点A(3,6,1)与B(5,3,-1)的距离是(
A.4 B. 7 C. 17

)
D. 19

【解析】选C.|AB| ? (3 ? 5)2 ? (6 ? 3) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 17.

2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB的中点M,则 |CM|=(
A. 53 4

)
B. 53 2 C. 53 2 D. 13 2

【解析】选C.由于AB的中点M的坐标为 (2, 3 ,3) ,则
2
3 53 | CM |? 2 2 ? ( ? 1) 2 ? 32 ? . 2 2

3.在空间直角坐标系中,已知点P(a,b,c)满足方程(x+2)2+(y-

1)2+(z-3)2=3,则点P的轨迹是(
A.直线 B.圆 C.球面

)
D.线段

【解析】选C.由题意,动点P到定点(-2,1,3)的距离为定值 3 , 所以点P的轨迹是球面.

4.已知A(2,5,-6),点P在y轴上,|PA|=7,则点P的坐标是 ( A.(0,8,0) C.(0,8,0)或(0,2,0) B.(0,2,0) D.(0,-8,0) )

【解析】选C.因为点P在y轴上,所以可设P(0,b,0),
因为|PA|=7,A(2,5,-6),所以 22 ? (b ? 5)2 ? 62 ? 7,

解得b=2或b=8.

5.在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点

A(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长等
于 .

【解析】 AM |? (3 ? 0)2 ? (?1 ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? 13, |
所以对角线|AC1| ? 2 13, 设棱长为x,则3x2= (2 13)2 , 所以 x ? 2 39 .
3

答案:2 39
3

6.如图,在宽、长、高分别为2,4,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中, 利用空间两点间距离公式,求对角线AD1,AB1和AC1的长.

【解析】以D为坐标原点,DA,DC和 DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建 立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,3), B1(2,4,3),C1(0,4,3). 所以 | AD1 |? 22 ? (?3) 2 ? 13,
| AB1 |? (?4) 2 ? (?3) 2 ? 5, | AC1 |? (2 ? 0) 2 ? (?4) 2 ? (?3) 2 ? 29.


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