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二次三胞胎与含参数函数的单调性


二次三胞胎与含参数函数的单调性 2015.1
一.基础知识 1.分解因式 abx2 ? (an ? bm) x ? mn ? 2.设二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0? ,则
2
2 (1)当△=b -4ac≤0 时,f(x) 2 ,当且仅当△=b -4ac=0



头?头

=头 十 字 相 乘 法 a

尾?尾=尾 -m

时, f ? ?

? b ? ??0, ? 2a ?

b

n

2 (2)当△=b -4ac>0 时, ax 2 ? bx ? c ? 0 在 R 上有两个实数根

交叉相乘的和是一次项的系数

x1 ?

, x2 ?

, ? x1 ? x2 ? , ;当 x∈ ? x1 , x2 ? 时,f(x) 。

当 x∈ ? ??, x1 ? ∪ ? x2 , ??? 时,f(x)

注意:能分解因式优先考虑,因为此时△=b2-4ac>0. 3.解题方法:①定义域,②求导,③找出决定导数符号的所对应的函数 g(x)(常是二次的) , 研究它的不变性,是指开口,对称轴的位置,判别式的符号,以及区间端点函数值的符号, ④画出 g(x)的图像,从而找出 g(x)函数值正负所对应的区间。注意能分解因式时要优先,会 出现不同情况的就进行分类讨论。分类要有统一的标准,逐层逐层的分,分 。 类要准确完整,否则没有得分 . ............. 二.例题 例 1.设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中 a ? -1,求 f(x)的单调区间.
' 【解析】由已知得函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,且 f ( x) ?

..................

ax ? 1 (a ? ?1), x ?1

(1)当 ?1 ? a ? 0 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递减, (2)当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0, 解得 x ? .
f ' ( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下表
1 a

x
f ' ( x)
f ( x)

1 (?1, ) a

1 a

1 ( , ??) a



0 极小值

+

从上表可知
1 a

当 x ? ( ?1, ) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 (?1, ) 上单调递减.
1 a

1 a

1 a

当 x ? ( , ??) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 ( , ??) 上单调递增.

综上所述:当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递减.当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ) 上 单调递减,函数 f ( x) 在 ( , ??) 上单调递增. 例 2.已知函数 f ( x ) ?
1 a

1 a

x?a ( a ? 0 , a ? R ). x ? 3a 2
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若对任意 x1, x2 ? [?3, ??) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m 成立,求实数 m 的最 小值. 解: f '( x) ?

?( x ? a)( x ? 3a) . ( x 2 ? 3a 2 )2
……………………………………2 分

令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?3a .

(Ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x ) , f ( x ) 随着 x 的变化如下表

x
f '( x )
f ( x)

(??, ?3a)

?3a
0
极小值

(?3a, a)

a
0
极大值

(a, ??)

?


?


?


函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?3a, a) ,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (??, ?3a) , ( a, ??) . ……………………………………4 分 当 a ? 0 时, f '( x ) , f ( x ) 随着 x 的变化如下表

x
f '( x )
f ( x)

(??, a )

a
0
极小值

(a, ?3a)

?3a
0
极大值

(?3a, ??)

?


?


?


函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (a, ?3a) , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ( ??, a ) ,

(?3a, ??) .

……………………………………6 分

(Ⅱ)当 a ? 1 时,由(Ⅰ)得 f ( x ) 是 (?3,1) 上的增函数,是 (1, ??) 上的减函数. 又当 x ? 1 时, f ( x ) ?

x ?1 ?0. x2 ? 3

……………………………………8 分 ……10 分

1 1 ,最大值为 f (1) ? 6 2 2 所以 对任意 x1, x2 ? [?3, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( ?3) ? . 3
所以 f ( x ) 在 [?3, ??) 上的最小值为 f ( ?3) ? ?

所以 对任意 x1, x2 ? [?3, ??) ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m 恒成立的实数 m 的最小值为 13 分

2 .…… 3

2 x 例 3.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? e , a ? R .

?

?

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间.
2 x 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? e . x ? R

?

?

……………………2 分 ………4 分

依题意得 f ?(1) ? (3a ? 1) ? e = 0 ,解得 a ?

1 . 经检验符合题意. 3

2 x (Ⅱ) f ?( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? e ,设 g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1,

?

?

(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?e x , f ( x ) 在 ? ??, ??? 上为单调减函数. ……5 分 (2)当 a ? 0 时,方程 g ( x) ? ax 2 ? 2ax ?1= 0 的判别式为 ? ? 4a 2 ? 4a , 令 ? ? 0 , 解得 a ? 0 (舍去)或 a ? ?1 . 1°当 a ? ?1 时, g ( x) ? ? x2 ? 2 x ?1 ? ?( x ? 1)2 ? 0 ,
2 x 即 f ?( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? e ? 0 ,

?

?

且 f ?( x ) 在 x ? ?1 两侧同号,仅在 x ? ?1 时等于 0 , 则 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上为单调减函数. ……………………7 分

2°当 ?1 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? ax2 ? 2ax ?1 ? 0 恒成立, 即 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上为单调减函数. 3° a ? ?1 时, ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ,令 g ( x) ? 0 , 方程 ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 ……………9 分

x1 ? ?1 ?

a2 ? a , a2 ? a , x2 ? ?1 ? a a a2 ? a a2 ? a , ? ?1 ? a a a 2 ? a 时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 a2 ? a 上 (??, ?1 ? ) a a

作差可知 ?1 ?

则当 x ? ?1 ?

为单调减函数; 当 ?1 ?

a2 ? a a 2 ? a 时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , ? x ? ?1 ? a a

2 2 f ( x) 在 (?1 ? a ? a , ?1 ? a ? a ) 上为单调增函数; a a

当 x ? ?1 ?

a 2 ? a 时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 a2 ? a (?1 ? , ??) 上为 a a

单调减函数. ……………………………………………………………………13 分 综上所述,当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调减区间为 ? ??, ??? ;当 a ? ?1 时, 函数 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ?1 ?

a2 ? a , a2 ? a 函数 f ( x ) 的 ) (?1 ? , ??) , a a
…………………………14 分

单调增区间为 (?1 ?
2

a2 ? a a2 ? a . , ?1 ? ) a a

例 4.设函数 f ? x ? ? x ? b ln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值点。 解: 由题意可得 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ' , f ? x? 的 ? x ?1 x ?1

分母 x ? 1 在定义域 ? ?1, ?? ? 上恒为正, 方程 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 是否有实根, 需要对参数 b 的 取值进行讨论。 (1)当 ? ? 4 ? 8b ? 0 ,即 b ? 所以 g ? x ? ? 2x ? 2x ? b ? 0
2

1 1 时,方程 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 无实根或只有唯一根 x ? ? , 2 2

在 ? ?1, ?? ? 上恒成立, 则f

'

? x ? ? 0 在 ? ?1, ??? 上恒成立,所以函数 f ? x ? 在 ? ?1, ??? 上单

调递增,从而函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。

(2)当 ? ? 4? 8 b? 0 ,即 b ? 实根:

1 ' 时,方程 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 ,即 f ? x ? ? 0 有两个不相等的 2

x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 。 , x2 ? 2 2

这两个根是否都在定义域 ? ?1, ?? ? 内呢?又需要对参数 b 的取值分情况作如下讨论: ( ⅰ ) 当

b?0





x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1, x2 ? ? ?1 2 2

x

? ?1, x2 ?

,所以 x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? 。 此时, f 如下表:
'

f ' ? x?

? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况

?

x2
0 极小值

? x2 , ???

?
递增

f ? x?

递减

由此表可知:当 b ? 0 时, f ? x ? 有唯一极小值点 x2 ? (ⅱ)当 0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b 。 2

1 时, 2

x
f ? x?

? ?1, x1 ?

x1

? x1 , x2 ? x2

? x2 , ???

x1 ?


?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1, x2 ? ' ? ?1 f ? x? 2 2

?

0
极大值

?
递减

0
极小值

?
递增





递增

x1 ?? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ???
。 此时, f
'

? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况如下表:
1 ?1 ? 1 ? 2b 时, f ? x ? 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 2 2

由此表可知:当 0 ? b ?

x2 ?

?1 ? 1 ? 2b 。 2
x

例 5. 已知函数 g(x)=e -2ax-b,其中 a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数. (1)讨论函数 g(x)的单调性, (2)求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值。 所以 g′(x)=e -2a. 当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
x

1 当 a≤2时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥2时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当2<a<2时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1), 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增, 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 1 e 当2<a<2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; e 当 a≥2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b.


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