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高中数学 直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质学案 新人教A版必修2


2.2.1 直线与平面平行的判定
一:知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种 1 根据定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. (一般用反证法.) 2.判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平 面平行. (符号表示为: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 图形如图所示). 二:例题 a 判定定理证明:已知

:a ? α ,b ? α ,且 a∥b 求证:a∥α b l

?

例 1:求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。 已知:如图空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点。 求证:EF∥平面 BCD 证明:
B C E

A F D

例 2: 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,试判断 BD1 与平面 AEC 的位置 关系,说明理由。
D1 C1 A1 E

B1

D

C

A B

用心

爱心

专心

1

三练习: 1.判断下列说法是否正确,并说明理由. 1 平面 ? 外的一条直线 a 与平面 ? 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 ? 平行; ○ 2 平面 ? 外的两条平行直线 a , b ,若 a // ? ,则 b // ? ; ○ 3 直线 a 和平面 ? 平行,则直线 a 平行于平面 ? 内任意一条直线; ○ 4 直线 a 和平面 ? 平行,则平面 ? 中必定存在直线与直线 a 平行. ○ 2.已知直线 l1 、l2 , 平面α , l1 ∥ l2 , l1 ∥α , 那么 l2 与平面α 的关系是 ( ) . A. l1 ∥α B. l2 ? α C. l2 ∥α 或 l2 ? α D. l2 与α 相交 3.以下说法(其中 a,b 表示直线,? 表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ④若 a∥?,b??,则 a∥b 其中正确说法的个数是( ). A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.已知 a,b 是两条相交直线,a∥?,则 b 与 ? 的位置关系是( ). A. b∥? B. b 与 ? 相交 C. b ? α D. b∥? 或 b 与 ? 相交 5.如果平面 ? 外有两点 A、B,它们到平面 ? 的距离都是 a,则直线 AB 和平面 ? 的位置关系一定是( ). A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB?? 6.平面 ? 与△ABC 的两边 AB、AC 分别交于 D、E,且 AD∶DB=AE∶EC,求证:BC ∥平面 ?. B

C

? E

D A

7.P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E 为 PB 的中点,O 为 AC, BD 的交点. (1)求证:EO‖平面 PCD ; (2)图中 EO 还与哪个平 面平行?

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点. 求证:EF∥平面 BB1D1D
D1 A1 B1 F C1

D E A B

C

用心

爱心

专心

2

2.2 平面与平面平行的判定 一:知识要点 平面与平面平行的判断方法有三种 1. 定义:两平面没有公共点,则两平面平行. 2.判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行. 用 符号表示为:
a ? ? , b ? ? , a ? b ? P? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ?

图形如图所示图形如图所示 3.推论: ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行. ③平行与同一平面的两个平面平行. 二:例题 判定定理证明:已知:如图, m ? ? , n ? ? , m ? n ? O , m // ? , n // ? 求证: ? // ?

?

n

m

O

?

a

(思考 1: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线, 那么这两个平面平行吗?为什么?) (思考 2:.在判断一个平面是否水平时,把水准器在这个平 面内交叉地放两次,如果水准器的气泡都是居中的,就 可以判定这个平面和水平面平行,你能说出理由吗?) 例 2:已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 ,求证:平面 AB1D1 //平面 C1BD 。

拓展:已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 ,M、N 分别为 A1A、CC1 的中点 . 求证:平面 NBD∥平面 MB1D1.

用心

爱心

专心

3

三:练习 1.下列说法正确的是( ). A. 一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 2.在下列条件中,可判断平面α 与β 平行的是( ). A. α 、β 都平行于直线 l. B. α 内存在不共线的三点到β 的距离相等 C. l、m 是α 内两条直线,且 l∥β ,m∥β D. l、m 是两条异面直线,且 l∥α ,m∥α ,l∥β ,m∥β 3.下列说法正确的是( ). A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行 4.经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( ). A. 0 个 B. 1 个 C. 0 个或 1 个 D. 1 个或 2 个 5.不在同一直线上的三点 A,B,C 到平面α 的距离相等,且 A ? α ,则( ). A. α ∥平面 ABC B. △ABC 中至少有一边平行于α C. △ABC 中至多有两边平行于α D. △ABC 中只可能有一条边与α 平行 6.已知直线 a、b,平面α 、β , 且 a// b,a//α ,α //β ,则直线 b 与平面 β 的位置关系为 . 7.已知 a、b、c 是三条不重合直线,?、?、? 是三个不重合的平面.下列说法中: ⑴ a∥c,b∥c ? a∥b; ⑵ a∥?,b∥? ? a∥b; ⑶ c∥?,c∥? ? ?∥?; ⑷ ?∥?,?∥? ? ?∥?; ⑸ a∥c,?∥c ? a∥?; ⑹ a∥?,?∥? ? a∥?. 其中正确的说法依次是 . 8.已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 ,P,Q, R,分别为 A1A,AB,AD 的中点 。 求证:平面 PQR∥平面 CB1D1

P R Q
9.如图所示平面 ABCD∩平面 EFCD = CD, M、N、H 分别是 DC、CF、CB 的中点, 求证: 平面 MNH // 平面 DBF D E
A A A

M

N C 用心 爱心 H 专心 F 4

B

2.2.3 直线与平面平行的性质 马永春 一:知识要点 线面平行的性质:①线面平行,则线面没有公共点 ②线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线
a // ? 的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 即: a ? ? ? ? ? ? a // b . ? ? ? ? b? ?

③线面平行则夹在线面间的平行线段长相等。 二:例题 性质定理的证明:已知:a∥α ,a ? β ,α ∩β =b。 求证:a∥b。

例 2:有一块木料如图所示:已知棱 BC 平行于面 A ' C ' 。 (1)要经过面 A ' C ' 内一点 P 和棱 BC 将木料锯开, 应怎样画线? (2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系? (在例题的图中,如果 AD∥BC,BC∥面 A′C′,那么,AD 和面 BC′、面 BF、 面 A′C′都有怎样的位置关系.为什么?)

例 3:已知平面外的两条平行直线中的一条平行这个平面,求证:另一条也平行 于这个平面

β a
?

b

c
用心 爱心 专心 5

β

三:练习 1.已知直线 l//平面α ,m 为平面α 内任一直线,则直线 l 与直线 m 的位置关 系是( ). A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 2.直线 a,b 是异面直线,直线 a 和平面 ? 平行,则直线 b 和平面 ? 的位置关 系是( ) A.b?? B.b∥? C.b 与 ? 相交 D.以上都有可能 3.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位 置关系是( ). A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 不能确定 4.若直线 a 、b 均平行于平面α ,则 a 与 b 的关系是( ). A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面 5.直线 a ∥平面 ?.平面 ? 内有 n 条互相平行的直线。那么这 n 条直线和直线 a ( ) A.全平行.B.全异面;C.全平行或全异面;D.不全平行或不全异面。 6.直线 a ∥平面 ?,平面 ? 内有 n 条交于一点的直线,那么这 n 条直线和直线 a 平行的 ( )

A.至少有一条;B.至多有一条;C.有且只有一条.D.不可能有。 7.设不同的直线 a,b 和不同的平面α ,β ,γ ,给出下列四个说法: ① a∥α ,b∥α ,则 a∥b; ② a∥α , a∥β , 则α ∥β ; ③α ∥γ ,β ∥γ ,则α ∥β ;④ a∥b,b ? α ,则 a∥α . 其中说法正确的序号依次是 . 8.P 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AC 面上的一点 D P (1)画出经过 P、B1、C1 的平面与长方体各侧面的交线; A (2)画出经过 P、B1、D1 的平面截长方体所得的截面; D1 (3)以上各条与面的交线与平面 A1C1 是什么关系
A1

C B C1 B1

9.如图四面体 ABCD 被平面所截,截面与四条棱 AD,AB,CB,CD 相交与点 E,F, G,H 四点,且截面 EFGH 是平行四边形,求证: AC//平面 EFGH。
D E H

A F C G

B

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专心

6

2.2.4 平面与平面平行的性质 一:知识要点 1. 面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们 的交线平行. 用符号语言表示为: ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b . 即:面面平行 线线平行(指交线) / /;即:面面平行 2. 其它性质:① ? / /? l, ? ? ? l ? 线面平行 ② ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? . ③夹在平行平面间的平行线段相等. 二:例题 例 5:如图,已知平面 ? , ? , ? 满足 ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,求证: a //b.

例 6:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等。 已知: ? // ? , AB∥CD , A ?? , D ?? , B ? ? , C ? ? , 求证: AB ? CD
? ?
A

D

B

C

例 3:如图,设平面α ∥平面β ,AB、CD 是两异面直线,M、N 分别是 AB、CD 的 中点,且 A、C ∈α ,B、D ∈β . 求证:MN∥α .
? M E A C

N D

?

B

用心

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专心

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三:练习 1.下列说法正确的是( ). A. 如果两个平面有三个公共点,那么它们重合 B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行 2.已知 ? ∥ ? , a ? ? , B ? ? , 则在 ? 内过点 B 的所有直线中( ). A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 3.下列说法正确的是( ) A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行 C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4.下列命题中,假命题的是( ) A .如果平面 ? 内有两相交直线与平面 ? 内的两条相交直线对应平行,则 ? // ? ; B .平行于同一平面的两个平面平行; C .如果平面 ? 内有无数条直线都与平面 ? 平行,则 ? // ? ; D .如果平面 ? 内任意一条直线都与平面 ? 平行,则 ? // ? . 5.已知平面 ? // 平面 ? ,直线 a ? ? ,直线 b ? ? , a // b ,点 P ?? ,则下列命题 中真命题是( ) A . ? , ? 间的距离等于 a 与 ? 的距离也等于 P 到 ? 的距离. B .P 到 b 的距离等于 a , b 间的距离; C . a , b 间的距离等于 a 与 ? 间的距离;D. a , b 间的距离等于 ? , ? 间的距离 6.过平行平面α 、β 外点 P 的两条直线 AB 与 CD,它们分别交α 于 A、C 两点, 交β 于 B、D 两点,若 PA=6,AC=9,PB=8,则BD 的长为__________. 7.设 P, Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D 、面 A1B1C1D1 的中心,如下图, 求证: PQ // 平面 AA1B1B 。

用心

爱心

专心

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