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河北省石家庄市一中2015-2016学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷


石家庄市第一中学 2015—2016 学年第二学期高二年级第一次月考数学(文)试题 试卷Ⅰ(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.每小题选出答案后,请填涂在答题卡上. 1.设集合 A ?

?4,5, 7,9? , B ? ?3, 4, 7,8,,9? ,

全集 U ? A ? B ,则集合
B.4 个 C.5 个 D.6 个

CU ( A ? B) 中的元素共有
A.3 个 2.若复数 A. ?2

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i
B. 4 C. ?6 D. 6

3.在等比数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4, a6 ? 16 ,则 a 4 ? A. ?8 C. 8 D.不确定 ?? ? ? 4.已知平面向量 m, n 的夹角为 , 且 m ? 3 , n ? 2 , 6 ??? ? ?? ? ???? ?? ? ???? AC ? 2m ? 6n , D 为 BC 中点,则 AD ? 在 ?ABC 中, AB ? 2m ? 2n , A.2 B.4 C.6 D.8 得分情况的 场比赛得分 每场比赛得 B. ?8

5.右图是甲、乙两名篮球运动员每场比赛的 茎叶图, x1 , x2 分别表示甲乙两名运动员每 的平均数, s1 , s2 分别表示甲乙两名运动员 分的标准差,则有 A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 B. x1 ? x2 , D. x1 ? x2 , s1 ? s2

s1 ? s2
?
6 ) 的图象,

6.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示,为了得到函数 y ? cos(2 x ? 只需将 y ? f ( x) 的图象 A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移

?
3

个单位长度 个单位长度 个单位长度

?
3

?

个单位长度 6 7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 和偶函数 g ( x) 满足

?

6

f ( x) ? g ( x) ? a x ? a ? x ? 2 (a ? 0, 且a ? 1) ,若 g (2) ? a ,则 f (2) ?

A. 2

B.

17 4

C.

15 4

D. a 2

x2 y 2 8. 设点 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右 a b
焦点, I 为 ?PF1 F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2 S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

1 4

9. 如下图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某多面体的三视图, 则该几何体的各个面中最大面的面积为 A.1 B.

5 2

C. 6

D.2 3

10.已知四面体 P ? ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO ? 平面 ABC ,

AB ? 2 AC ,若四面体 P ? ABC 的体积为

9 3 ,则该球的表面积为 16
D.

A.

9 ? 2

B.

32? 3

C. 16?

9?

11. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ?

an 1 (n ? N*) .若 bn ?1 ? (n ? ? )( ? 1) , b1 ? ?? , an ? 2 an

且数列 ?bn ? 是递增数列,则实数 ? 的取值范围为 A. ? ? 2 B. ? ? 3 C. ? ? 2 D.

? ?3

12.已知函数 f ? x ? ? ? 值范围是 A. k ? ?2

?kx ? 2, x ? 0 ? k ? R ? ,若函数 y ? f ( x) ? k 有三个零点,则实数 k 的取 ?1nx, x ? 0
C. ?1 ? k ? 0 D. k ? 2

B. ?2 ? k ? ?1

试卷Ⅱ(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在答题纸相应的空内. 13.有一根长为 1 米的细绳,随机将细绳剪断,则使两截的长度都大于

1 米的概率为 8



14.若 ?

? y ?1 ,则 x ? 3 y 的最大值是_________. ? y ?| x |
3 , 则 AB ? 2 BC 的最大值为

2 2

15.在三角形 ABC 中, B ? 60 ? , AC ? 16.已知 F1 、 F2 分别为椭圆

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点, B 、 C 分别为椭圆的上、 2 a b 7 下 顶 点 , 直 线 BF2 与 椭 圆 的 另 一 个 交 点 为 D , 若 cos ?F1 BF2 ? , 则 直 线 CD 的 斜 率 25
为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 袋子中有质地、大小完全相同的 4 个球,编号分别为 1,2,3,4.甲、乙两人玩一种游 戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号.若两个编号的和为奇数 则甲获胜,否则乙获胜.记基本事件为 ( x, y ) ,其中 x 、 y 分别为甲、乙摸到的球的编号. (1)求甲获胜且编号之和为 5 的事件发生的概率; (2)比较甲胜的概率与乙胜的概率的大小,并说明这种游戏规则是否公平. 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? ?? x ?

??

f ( x) 的最小正周期为 ? . (1)求函数 f ( x) 的解析式并求 f ( x) 的对称中心;

?

?? ? ,且函数 ? ? cos ? ? x ? ? ? 1 ( ? ? 0 , x ? R ) 3? 3? ?

(2)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f ( B ) =1, S ?ABC ? 且 a ? c ? 3 ? 3 ,求边长 b .

3 3 , 4

19.(本题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 {a n } 的前四项和 S 4 ? 14 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 ?

? 1 ? Tn 的最大值. ? 的前 n 项和,求 n?2 ? an an ?1 ?

20.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,且 PA ⊥底面 ABCD , BD ? PC , E 是 PA 的中点. (1)求证:平面 PAC ⊥平面 EBD ; (2)若 PA ? AB ? AC ? 2 ,求三棱锥 P ? EBD 的高.

P E A B C

D

21. (本题满分 12 分) 如图,已知动直线 l 经过点 P (4, 0) ,交抛物线 y ? 2ax(a ? 0) 于 A, B 两点,坐标原点 O
2

是 PQ 的中点,设直线 AQ, BQ 的斜率分别为 k1 , k2 .

(1)证明: k1 ? k2 ? 0 ; (2)当 a ? 2 时,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? ,被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值? 若存在,请求出直线 l ? 的方程;若不存在,请说明理由.

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R ) . (1)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围; (3)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较
2

y 1 ? ln y 与 的大小. x 1 ? ln x

石家庄市第一中学 2015—2016 学年第二学期高二年级第一次月考数学(文)答案
1-5 ACCAA 13. 17. 6-10 CCADD 15. 2 7 11-12AA 16.

3 4

14. 4

12 25

?? , 18. 解: f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 1 ? 2sin ? ? ? x ? ? ?1
? 6?



2?

?

? ? 得 ? ? 2 ,……… 3 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? 所以对称中心为 (

?
6

) ?1, 2x ?

?
6

? k? , x ?

k? ? ? 2 12

k? ? ? , ?1), k ? Z 2 12

………6 分

所以 b ? 3 (或由 a ? c ? 3 ?

……… 12 分

3 , ac ? 3 3 解得 a ? 3, b ? 3或a ? 3, b ? 3
3 ? 3 ,? b ? 3 ) 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 3 ? 9 ? 2 ? 3 ? 3 ?

19.解:(1)设公差为 解得 或

。由已知得 所以 ,故

(舍去)

(2)因为

所以

所以的最大值为 20.(Ⅰ)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 又 BD⊥PC,所以 BD⊥平面 PAC, 因为 BD?平面 EBD,所以平面 PAC⊥平面 EBD.

…5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,BD⊥AC,所以 ABCD 是菱形,∠BAD=120?. 1 1 所以 S△ABD= 2 BD· 2 AC= 3. 设 AC∩BD=O,连结 OE,则(Ⅰ)可知,BD⊥OE. 1 所以 S△EBD= 2 BD·OE= 6. 设三棱锥 P-EBD 的高为 h,则 1 1 1 1 2 3 S△EBD·h= 3 S△ABD·AE,即 3 × 6h= 3 × 3×1,解得 h= 2 . …12 分 21. (Ⅰ)证明:设直线 l 方程为 x=my+4(m∈R) ,与抛物线方程联立可得:y2﹣2amy﹣8a=0,再设点 …9 分 …7 分



,则 y1?y2=﹣8a 所以

,故

k1+k2=0………6 分 (Ⅱ)解:因为 a=2,所以抛物线的方程为:y2=4x. 记线段 AP 中点即圆心为 ,则圆的半径 ,

假设存在这样的直线,记作 l':x=t.若要满足题意,只需 r2﹣d2 为常数即可. 故 r2﹣d2=

所以

,即 t=3 时,能保证为常数,

故存在这样的直线 l ? :x=3 满足题意.………12 分 1 ax ? 1 22 解: (Ⅰ)f ?( x) ? a ? ? , 当 a ? 0 时,f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 函数 f ( x) 在 (0,??) x x 单调递减,∴ f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a

1 1 1 ∴ f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ??) 上递增,即 f ( x) 在 x ? 处有极小值. a a a ∴当 a ? 0 时 f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点,
当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上有一个极值点. ················ 3 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 , ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 ln x ? ? b , ···················· 5 分 x x

1 ln x 2 2 ? ,可得 g ( x) 在 0, e 上递减,在 e ,?? 上递增, x x 1 1 ∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? 2 ,即 b ? 1 ? 2 . ················· 7 分 e e 1 ? ln x 2 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 g ( x) ? 1 ? 在(0,e )上单调减 x
∴0<x<y<e 时, g ( x) ? g ( y )
2

? ?

?

?



1 ? ln x 1 ? ln y ? x y

当 0<x<e 时,1-lnx>0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴ 当 e<x<e 时,1-lnx<0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴
2

y 1 ? ln y ? x 1 ? ln x

y 1 ? ln y ? x 1 ? ln x


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