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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-4指数与指数函数试题


2-4 指数与指数函数
1.函数 f(x)=(a -1) 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( A.|a|>1 C.|a|< 2 [答案] D [解析] 由题意知,0<a -1<1, ∴1<a <2,∴1<|a|< 2. 2.(文)若指数函数 y=a 的反函数的图象经过点(2,-1),则 a 等于( A. 1 2 B.2 C.3 D.10
x
2 2 2

x

)

B.|a|<2 D.1<|a|< 2

)

[答案] A [解析] 运用原函数与反函数图象关于直线 y=x 对称,则函数 y=a 过点(-1,2),故 选 A. (理)(2011·山东文,3)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 C.1 [答案] D [解析] 由点(a,9)在函数 y=3 图象上知 3 =9, 即 a=2,所以 tan
x a x x


6

的值为(

)

B.

3 3

D. 3


6

π =tan = 3. 3 1 2

1 x 3.(2012·北京文,5)函数 f(x)=x -( ) 的零点个数为( 2 A.0 [答案] B B.1 C.2 D.3

)

1 x 1 x [解析] 函数 f(x)=x -( ) 的零点个数即为方程 x =( ) 的实根个数,在平面直 2 2 1 x 角坐标系中画出函数 y=x 和 y=( ) 的图象,易得交点个数为 1 个. 2 1 2

1 2

1 2

[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象. 4.(文)在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=2 A.原点对称 C.y 轴对称 [答案] C [解析] y=2
x+1 x+1

与 g(x)=2

1-x

的图象关于(

)

B.x 轴对称 D.直线 y=x 对称

的图象关于 y 轴对称的曲线对应函数为 y=2
|1-x|

1-x

,故选 C.

(理)(2011·聊城模拟)若函数 y=2 ( ) A.m≤-1 C.m≥1 [答案] A

+m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是

B.-1≤m<0 D.0<m≤1

[解析] ∵|1-x|∈[0,+∞),∴2 欲使函数 y=2
|1-x|

|1-x|

∈[1,+∞),

+m 的图象与 x 轴有公共点,应有 m≤-1.
x

x<1, ?2 , 5.(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数 f(x)=? ? x-1, x≥1,
实数 a 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,1)∪(2,+∞) [答案] C [解析] 由?
? ?a<1, ? ?2 >1,
a

且 f(a)>1, 则

) B.(2,+∞) D.(1,+∞)

得 0<a<1,由?

?a≥1, ? a-1>1,

得 a>2,所以实数 a 的取值范围是

(0,1)∪(2,+∞). (理)函数 y=|2 -1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是( A.(-1,+∞) C.(-1,1) B.(-∞,1) D.(0,2)
x

)

[答案] C [解析] 由于函数 y=|2 -1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函 数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有 k-1<0<k+1,解得-1<k<1.
x

??1?x ?? ? x≥4, 6.f(x)=??2? ? x<4. ?f? x+1?
A. C. 1 3 1 12 D

则 f(2+log23)的值为(

)

B. D.

1 6 1 24

[答案]

[解析] ∵1<log23<2,∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(3+log23)

7.(文)(2011·青岛模拟)若定义运算 a*b=? 值域是________. [答案] (0,1]

? ?a

? ?

a<b? , a≥b? ,

?b ?

则函数 f(x)=3 *3 的

x

-x

[解析] 由 a*b 的定义知,f(x)取 y=3 与 y=3 的值中的较小的,∴0<f(x)≤1. (理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中, f(x)=2 , (x)=x , 若 g 则 h(3)的值等于________.
x
2

x

-x

[答案] 9 [解析] 由程序框图可知, (x)的值取 f(x)与 g(x)的值中较大的, f(3)=2 =8, (3) h ∵ g =3 =9,9>8,∴h(3)=9.
2 3

?1,x<0, ?x 8.若函数 f(x)=? 1 ??3? ,x≥0. ?? ? ? ?
x

1 则不等式|f(x)|≥ 的解集为________. 3

[答案] [-3,1] [解析]

f(x)的图象如图.
1 1 |f(x)|≥ ? f(x)≥ 3 3

1 或 f(x)≤- . 3 1 ?1?x 1 1 ∴? ? ≥ 或 ≤- 3? 3 x 3 ? ∴0≤x≤1 或-3≤x<0,∴解集为{x|-3≤x≤1}. 9.定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=3 的定义域为[a,b],值域为 [1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为______,最小值为______. [答案] 4 2 [解析] 由 3 =1 得 x=0,由 3 =9 得 x=±2,故 f(x)=3 的值域为[1,9]时,其 定义域可以为[0,2],[-2,0],[-2,2]及[-2,m],0≤m≤2 或[n,2],-2≤n≤0 都可以, 故区间[a,b]的最大长度为 4,最小长度为 2. 2 10.(文)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数. [解析] (1)∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0, 又当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1), 2 ∴f(-x)= -x = x, 4 +1 1+4 2 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=- x, 1+4 ∴f(x)在(-1,1)上的解析式为
x x
|x| |x| |x| |x|

2

-x

x

x∈? ? ? 2 f(x)=? - x∈? 4 +1 ?0 x=0. ?
2 x 4 +1
x x

x

0,1? -1,0?

, ,

(2)当 x∈(0,1)时,f(x)= 设 0<x1<x2<1,

2 . x 4 +1

x

2x1 2x2 则 f(x1)-f(x2)= - 4x1+1 4x2+1 = ? 2x2-2x1? ? 2x1+x2-1? , ? 4x1+1? ? 4x2+1?

∵0<x1<x2<1,∴2x2-2x1>0,2x1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故 f(x)在(0,1)上是减函数.

(理)已知 f(x)=

a
2

a -1

(a -a )(a>0 且 a≠1).

x

-x

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f (x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. [分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算 f(-x),看是否等于 f(x)(或-f(x)); (2)可用单调性定义,也可用导数判断 f(x)的单调性; (3)b≤f(x)恒成立,只要 b≤f(x)min,由 f(x)的单调性可求 f(x)min. [解析] (1)函数定义域为 R,关于原点对称. 又因为 f(-x)=

a -x x (a -a )=-f(x), a2-1

所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a -1>0,
2

y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数,从而 y=ax-a-x 为增函数,所以 f(x)为增函数.
当 0<a<1 时,a -1<0,
2

y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数,从而 y=ax-a-x 为减函数,所以 f(x)为增函数.
故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数,∴f(-1)≤f(x)≤f(1), ∴f(x)min=f(-1)=

a 1-a -1 (a -a)= 2 · =-1. a -1 a -1 a
2

a

2

∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1,故 b 的取值范围是(-∞,-1]. 能力拓展提升 11.(文)(2012·四川文)函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)的图象可能是(
x

)

[答案] C [解析] 根据函数 y=a -a 过定点(1,0),排除 A、B、D 选项,得 C 项正确. (理)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2
-x+1

x

在同一直角坐标系内的图象大致是(

)

[分析] 函数 f(x)=1+log2x 的图象可由函数 y=log2x 的图象变换得到;函数 y=2
+1

-x

1 x 可由函数 y=( ) 的图象变换得到. 2 [答案] C [解析] f(x)=1+log2x 的图象是由 y=log2x 的图象向上平移一个单位长度得到的;

g(x)=2-x+1=( )x-1 的图象可由 y=( )x 的图象向右平移一个单位长度得到.

1 2

1 2

[点评] 幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点,解决此类题的关键是熟 记一次函数、二次函数,含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律,相关性质, 掌握平移伸缩变换和常见的对称特征,掌握识、画图的主要注意事项,学会识图、用图. 12. (文)(2011·广州市综合测试)函数 f(x)=e +e (e 为自然对数的底数)在(0, +∞) 上( ) A.有极大值 C.是增函数 [答案] C [解析] 设 0<x1<x2, f(x2)-f(x1)=ex2+ 则 -ex1)(1- 数.
?? 3-a? x-3,x≤7, ? (理)(2011·大连模拟)已知函数 f(x)=? x-6 ? ?a ,x>7.
x
-x

B.有极小值 D.是减函数

1

ex2

-ex1-

1

ex1

=(ex2-ex1)-

ex2-ex1 =(ex2 ex2ex1

1

ex2ex1

)>0,所以函数 f(x)=e +e (e 为自然对数的底数)在(0,+∞)上是增函

x

-x

若数列{an}满足 an

=f(n)(n∈N ),且{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是( 9 A.[ ,3) 4 C.(2,3) [答案] C [解析] ∵{an}是递增数列, ∴f(n)为单调增函数, 9 B.( ,3) 4 D.(1,3)

*

)

?a>1, ? ∴?3-a>0, ?a8-6>? 3-a? ×7-3, ?

∴2<a<3.

1 1 a b 13.(2011·陕西师大附中一模)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=________.

a b

[答案]

10
a b

[解析] ∵2 =5 =m, ∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + a b log2m log5m =logm2+logm5=logm10=2, ∴m= 10.

14.(文)(2011·南通六校联考)已知 a=

5-1 x ,函数 f(x)=a ,若实数 m、n 满足 2

f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系为________.
[答案]

m<n
5-1 x ∈(0,1),∴y=a 是减函数, 2

[解析] ∵a= 故 a >a ? m<n. (理)已知?2x- 1 [答案] - 3
m n

? ?

21 2?9 ? 的展开式的第 7 项为 4 ,则 x 的值为________. 2?

[解析] T7=C9(2 ) ·?-
6

x 3

? ?

2?6 21 x 21 ? = ×8 = 4 , 2? 2

1 ∴3x=-1,∴x=- . 3 15.(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数 f(x)= (1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)的单调性,并用定义证明; (3)求函数的值域. [解析] (1)∵f(x)的定义域为 R,且为奇函数. ∴f(0)=0,解得 a=1. 2 -1 2 (2)由(1)知,f(x)= x =1- x ,∴f(x)为增函数. 2 +1 2 +1 证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2.
x

a·2x+a-2
2 +1
x

是奇函数.

f(x1)-f(x2)=1-
= ?

2 2 -1+ 2x1+1 2x2+1

2? 2x1-2x2? , 2x1+1? ? 2x2+1?

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,且 2x1+1>0,2x2+1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)为 R 上增函数. 2 -1 -1-y x (3)令 y= x ,则 2 = , 2 +1 y-1 -1-y x ∵2 >0,∴ >0,∴-1<y<1. y-1 ∴函数 f(x)的值域为(-1,1).
x

(理)定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x)|≤M

?1? 成立, 则称 f(x)是 D 上的有界函数, 其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)=1+a·? ? ?2?
x

?1?x +? ? . ?4?
(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(-∞,0)上是

否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在[0,+∞)上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

?1?x ?1?x [解析] (1)当 a=1 时,f(x)=1+? ? +? ? . ?2? ?4?
因为 f(x)在(-∞,0)上递减,所以 f(x)>f(0)=3, 即 f(x)在(-∞,0)上的值域为(3,+∞).故不存在常数 M>0,使|f(x)|≤M 成立. 所以函数 f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (2)由题意知,|f(x)|≤3 在[0,+∞)上恒成立.

?1?x ?1?x ?1?x ∴-3≤f(x)≤3,即-4-? ? ≤a·? ? ≤2-? ? , ?4? ?2? ?4? ?1?x ?1?x x x ∴-4·2 -? ? ≤a≤2·2 -? ? 在[0,+∞)上恒成立, ?2? ?2?
1 1 x 设 2 =t,h(t)=-4t- ,p(t)=2t- ,

t

t

由 x∈[0,+∞)得 t≥1, 设 1≤t1<t2,h(t1)-h(t2)= ?

t2-t1? ? 4t1t2-1? >0 t1t2

p(t1)-p(t2)=

?

t1-t2? ? 2t1t2+1? <0 t1t2

所以 h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增,

h(t)在[1,+∞)上的最大值为 h(1)=-5,p (t)在[1,+∞)上的最小值为 p(1)=1,
所以实数 a 的取值范围为[-5,1].

1. 若关于 x 的方程|a -1|=2a(a>0, ≠1)有两个不等实根, a 的取值范围是( a 则 A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) [答案] D B.(0,1) 1 D.(0, ) 2

x

)

[解析] 若 a>1,如图(1)为 y=|a -1|的图象,与 y=2a 显然没有两个交点;当 0<a<1 1 x 时,如图(2),要使 y=2a 与 y=|a -1|的图象有两个交点,应有 2a<1,∴0<a< . 2

x

2.设函数 f(x)=|2 -1|的定义域和值域都是[a,b](b>a),则 a+b 等于( A.1 [答案] A B.2 C.3 D.4

x

)

[解析] 因为 f(x)=|2 -1|的值域为[a,b],所以 b>a≥0,而函数 f(x)=|2 -1|在 [0,+∞)内是单调递增函数,
? ?|2 -1|=a, 因此应有? b ? ?|2 -1|=b,
a

x

x

解得?

? ?a=0, ? ?b=1,

所以有 a+b=1,选 A. [点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出 b>a≥0,从而避免了对 a、b 的各 种可能存在情况的讨论,然后根据函数的单调性,建立关于 a、b 的方程组求解. 3.(2011·石家庄一中模拟)若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0,且 a≠1)的反函数,其 图象经过点( a,a),则 f(x)=( A.log2x ) B.log1 x 2 D.x
2

x

C.

1 x 2

[答案] B [解析] 函数 y=a 的反函数是 f(x)=logax, ∵其图象经过点( a,a), 1 ∴a=loga a,∴a= ,∴f(x)=log1 x. 2 2 4.已知所有的点 An(n,an)(n∈N )都在函数 y=a (a>0,a≠1)的图象上,则 a3+a7 与 2a5 的大小关系是( )
*

x

x

A.a3+a7>2a5 B.a3+a7<2a5 C.a3+a7=2a5 D.a3+a7 与 2a5 的大小关系与 a 的值有关 [答案] A [解析] 因为所有的点 An(n,an)(n∈N )都在函数 y=a (a>0,a≠1)的图象上,所以有
*

x

an=an,故 a3+a7=a3+a7,由基本不等式得:a3+a7>2 a3·a7=2 a10=2a5,∴a3+a7>2a5(因
为 a>0,a≠1,从而基本不等式的等号不成立),故选 A. 5.(2011·山东济南一模)若实数 x,y 满足 4 +4 =2 围是( ) B.0<t≤4 D.t≥4
x y x+1

+2

y+1

,则 t=2 +2 的取值范

x

y

A.0<t≤2 C.2<t≤4 [答案] C [解析] 由 4 +4 =2
x y 2 x x y x+1

+2

y+1


y

得(2 +2 ) -2×2 ×2 =2(2 +2 ). 即 t -2·2
x y
2

y

x

x+y

=2t,t -2t=2·2
x+y

2

x +y

.

又由 2 +2 ≥2 2 即2
x+y

,得 2

x+y

1 x y 2 ≤ (2 +2 ) , 4

1 2 ≤ t. 4

1 2 2 所以 0<t -2t≤ t .解得 2<t≤4. 2

??1?x ?? ? x≤1, 6.已知函数 f(x)=??2? ?log2? x-1? x>1, ?
[答案] [1, 2+1] 1 [解析] 由 f(x)≤ 得, 2

1 则 f(x)≤ 的解集为________. 2

??1?x≤1, ?? ? ??2? 2 ?x≤1, ?

?log2? x-1? ≤1, ? 2 或? ?x>1, ?

∴x=1 或 1<x≤ 2+1, ∴1≤x≤ 2+1,故解集为[1, 2+1]. 7. (2011·潍坊模拟)设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 满足条件 y=f(x+1)是偶函

2 3 1 x 数,且当 x≥1 时,f(x)=2 -1,则 f( )、f( )、f( )的大小关系是________. 3 2 3 2 3 1 [答案] f( )<f( )<f( ) 3 2 3 [解析] 由 f(x+1)=f(-x+1)知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,x≥1 时,f(x)为 单调增函数,则 x≤1 时,f(x)为单调减函数. 3 1 1 1 1 1 2 又 f( )=f(1+ )=f(1- )=f( ), < < , 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 ∴f( )<f( )<f( ). 3 2 3 8. 已知函数 f(x)=a +a (a>0, ≠1), f(-1)=3, f(0)+f(2)的值为________. a 若 则 [答案] 9 1 [解析] 由 f(-1)=3 得 a+ =3,
x
-x

a

1 1 2 2 2 于是 f(2)=a + 2=(a+ ) -2=3 -2=7.

a

a

又∵f(0)=1+1=2,∴f(0)+f(2)=9.


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