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11.2011年全国高中数学联赛四川赛区预赛


中 等 数 学 

21 年全国高中数学联赛四川赛区预赛  01  
中圈分类号 : 447  文献标识码 :   G 2.9 A 文章缩号  0s 46 2l )4 03 - 4 o一6I(02o - 04 0 





选择题 ( 每小 题 5分 , 3 共 0分 )  

(  

) .  

l双曲  一 = 的 右准线zz ? 线   1 左、 ?: 、 
将线段 F  三等分 ( 。 分别为双曲线的  。 F、   左、 右焦点 ) .则该双 曲线 的离心率 e等于 
(   ) .  

(号 B  (2 (4 A  (1 c  D  ) ) ) )
6 如图 I边长为2的正方形A C .  , B D和正  方形 A E B F所 在 的 面成  6 。 , N 分 别 是 线  0 角 M、 段 A B 上 的 点, C、 F 且  A =F .则 线 段 MN  M N 的 长 的 取 值 范 围 是 
(  

(   A)

( ) B 

(   c)

( 2 D) 

2 已知 三次 函数  . ,  似   .+ + l 、、、 R) ()= + 2   d a cd∈ ( .  

命题 P,   ) R上的单调函数; := , 是   命题 qy , ) : - ( 的图像与 轴恰有一个 
交 点.  

(  2 A 】 )  
( )  ,】 c 【 2 

) .  

网 l  
( )[ ,] B 12 

( )  ,] D [ 2 

则P q   ) 是 的( 条件.   () A 充分但不必要    . () B 必要但不充分  ( ) 要  C充 () D 既不充 分也不 必要  3 甲、 丙三 人一 起玩 “ 刀 、 头、 . 乙、 剪 石   布” 的游戏. 每一局 甲、 丙 三人 同时出剪  乙、 刀、 石头、 布中的一种手势, 且是相互独立的.  

二、 填空题( 每小题 5 , 3 分 共 0分)   7 已知实数 满足  .
1x+ l + 1x-5I . 2 I 2 =6 

则 的取值范围是  .   8设 平 面 内 的 两 个 非 零 向量 a与 b相  . 互垂直 , I  =1 则使 得向 量 a+ 且  I . b 神 与  口+ 1 m 6 ( 一 ) 互相垂直的所有实数 m之和为 
-  
●- _● _-_ -_ ●。 。● ___ _一

设在一局中甲赢 的人数为l 亭 .则随机变量 
的数学期望  落的值为(  
1 4 函数  . )= ̄ 5+ 2 3   ,  一   4— x () B  (  

9 记实数等 比数列 }i 的前 n . a} 项和 为 
S.若 So 0 So 7 , ¥   l=1 ,3= 0 则 4 o=


) .  
( )  D1

. 


1. 0 设 为实数 , 定义r 1   为不小于实数 

的  、 整数(   = , _c =一 )则关  如r ] 4 r 7 ] 3。 于 实数  的方 程 
1  

的最大值为(  

) .  

r + ] 2 ÷  3 1 = x一
的全部实 根之 和等 于 
1. 1 已知 

() A   ( ) ( ) √  ( )  B 3 c 23 、 3 D 5 已知数列 { {     为等差数列  , 数列     { } b
满 足 
6 1=nt 6 , 2=a 2+口3 6 , 3=口 4+口 5+口6 … . ,  
^  

( + )   +  1    = 6

,  

若 l   = 则数列 {  的公 差 d为  i m 2, 口}

其中9 , 为 数-    = — . a ̄ 整 . 里 。 — n  6 则  
1. 2 已知三棱锥 S— B A C的底面是以 A   B

万方数据

2 1 年第 4 02 期 

为斜边的等腰直角三角形 , s = B= C= 且 A S S   A 2 设 SA、 C四点均 在 以 0为球 心 的  B= . 、 曰、 某个球 面上.则点 0到平 面  C的距离为  三、 解答题 ( 每小题 2 0分 , 8 共 0分)   l. 3 已知 m> .若 函数  0 , =   lO , (  + O 一,  ) l   的最大值为 g m)求 g m 的最小值. ( , ()   1. 4 已知 函数   ) 2 s  + o4 + s   + o ) = (i n cs  ) m(i n oa  

则  × 詈 112了   = 0 × ×= . 4+ + 2
4 C. .  

) 的定义域为 5   8 ≤ ≤。  

由  )  1 + - = , = 焉 丽 3 。 (  

在 ∈0 】最 值1 实 m 值   【詈有 大 5 数 的 . , 求  
1. 5 已知抛 物线 y= 2 X 与过 点 P( , ) 一l 一1 

孕  . N(= ), ) , /) 孚=5 =   5 3 2    所一 以   孕=3 ),. 2-  


5 D. .  

注 意到 ,  
b  =口  


的直线 z 交于 P 、2 。 两点.   P 求: () 1 直线 Z 的斜率 k 的取值范围;   () 2 在线段 PP 上满足条件  。2
l  

+ +口 £ 垃+ l 苎   2+… +口   +   璺 吐 n

孚【 + n +  口 。      + 】

P  Q 的点 Q的轨迹 方程 .  


1   +PP 一 —

2  


.  ,


钟, +  
=一 l i ml


+ …H 【     

1. 6 已知 m 为实数 , 数列 {  的前 , a} l 项  和为 S , 足   满
s     = 9




号2 + . (   ) 口  

则 

÷ +, 譬   m    且

[ +=一    d詈z ) .

从而, 4 d= .  

对任何的正整数 n恒成 立. 明: m取 到  证 当 最大值时 , 对任何正整数 n 都有 


三 

s 、1 ‘ I 6  

如图 2 过点  , 作 M /B H/ C与 A   B
交 于点 日 则  .
A   AC A 。   B D 
图2  

参 考 答 案 




1 B. .  

因 A =F   M N, j  = . e   
AC=F   B.

由 2 -3× C "  
2 A. .   3 C  . .

所以,N=   Ⅳ ∥A   Al F l   日  
从而 ,i上 A , H上 A . Nl B M B   于是 , MH 6 。 / N= 0.   设 A   0   ) 则  日= ( ≤ ≤2 .
MH =戈 Ni =2一   . l  .

注 意到 ,   P 6= )=   4=4 ( 0 3x  
,  

P =1 : x   ( ) 3 4=4 百
  P( 2  = )=3x l

- 一  

,  

故M   N=
=  

+ 2 x  2( - )o6 ̄ ( - )- x2 x e     s0



∈[, . 12   ]

. 

2 7

万方数据

中 等 数 学 

二.丢 . 、【 专】 7一  
注意 到 ,  
l   +l + I  一5I 2   I 2  

1. 1 

.  

由题设 知 
(   ) 1一  =Q -b n   .  

≥ I2 ( x+1 )+( 5—2 ) = . x I 6 

则口= (+ “ (—Y ,  ÷[1√)+ 14)   ]
[ 1 v ) ( — g ? ( +g  1 4 )  
故 l  i m
: l i m  ×   :   .  

当且仅当(x 1 (  5 ≤O 即  2 + )2 一 ) ,


寻  寻 ≤≤  

时, 上式等号成立.  
8 1 ..  

注意 到 ,   0=( 口+m ) [ b ?口+( 一m) ] 1 b 
:   a. m( m)   口 + b+ 1一 b


一+  簟
l. 2 
j 

( + 3  ( 一 3 “ 1 √ )一 1 √ )  

.  

l  +m( m)  aI 1一 ,



m m — l I 0   一 a = .

如图 3 .   因 为 S =S = A B  

S  

由根与系数的关系知符合条件所有实数  m 之 和为 I .  

S , 以, S 在 平  C所 点 面 A C 上 的 射 影 是  B 9 1 0  .5 . △ A C的 外 心 。 A   B 即 B 记 b = l'2 8o 1’ I S0b = 2 —S0   的中点 凰  ’   b 3:So—S 0 b 3 2,4=8o—l 0 4 s . 3  罔3   同理 , D 点 在平面  设q { } 为   的公 比. b、 、 、 构成  则 。b b b  ,. A C上的射影也是 鼠 B   以 r g 为公 比的等 比数列. =帕 于是 ,   故只需在等边△ SB中, O A 求 H的长 , 即  7 =S 0=b 0 3 t+b 2+b   3


b( +r 产)=1 ( +r 2 . I1 + 0 1 +r)   .  




-  =

= 

×2 ×

从 而 ,2 r 6= . ,+ 一 O  

譬譬 =.  
. 则 = 0 t  0 2 1 -
.  

解得 r 2或 r 3 舍去) = =一 ( .   、   故 S : 0 1 r r+ 3 = 5 . 4 1 ( + + 2 r) 10 0  
1 .一4  O .

1冷 t   3 =


故 y: ’   
= 一  

,I , 

+t  

设2 一 = ∈Z则  x÷ k .
=  小   +   .  

(詈 + 詈 t ) + . 一   
=. 1 0  

当 = 时y 最 值  ,  t詈 , 大  + 即 有 m g )1 + ≥ ( =0孚 2 m  0  
所以 , 当且仅当 m= 0时 , ( 有最小  2 g m) 值 1. 0   1. 4 注意 到 ,   ) 2 (s  ? = 一 2i c   r s  + o )  .n 憾 ) +a i cg   (n .
令t i =s n戈+C8 O 

于是 , 原方程等价于 

l 3 1 2 ≤1   1  -  一 2— <   k   t
一  

< ≤ 一  

寻  
7  

k=一 5或 一 . 4 

相应 的  为
I.   .^ I   . t  





9  

4 ,一一 ? 4  

故所有实根之和为 一 . 4  

= s +)[ ]  i 手∈1 . n (   ,   

万方数据

21 0 2年第 4期 

3  7
凼此 ,   明轨迹 万程是  点
2 x-y+1=O.  

于是 ,s  ?O  =t一1 2 i C8 n   .  

故  )= 2一(  ) m ‘ t一1 + t   ( m—1 t 4 t +1 )‘ -   . 2  


其中 ,   一 <   一 , 一 1  < 1且 ≠ 一 . 1  

令 l t ∈[ ,] ‘   12 . =   由题意知 g 1 =( ( ) m—1 l + u+l ‘ )  2 ‘ 在  H∈[ ,] 12 有最大值 5 .  
当 m —l 0时 , =   gt 2 (‘ )= u+l ( )= , ≤g 2 5 

1当=时由。 口4m   6 nl,口詈. +, . = 一 得
a = ( m) 1 8 4一 .   当n ≥1时 ,  

故 m= 符合条件 ; l   当 m—l> 0时 ,   g 1   ≥g 2 2×2+1 , () ‘ ( )> =5  矛盾 ;   ’  
当 , —l 0时 , , < I  
g1 2 (‘ )< u+l , ≤5  矛 盾.  

s  一  +,   ÷ m =  
S+ =9  l  

s n, 一 - × … + . a+ 一= I了 m  ‘
9  
川 一 


4 -×3一 ‘+m +

则  . .口 =9

则   口   一×  - 川一 争  . 手3  
口 + =9  +6         l a 4 X3 一

a + + 2x3 = (  + 2x   )   l 3    。 9 口 3   3 .  

故 口 + 2x  =(l 3 3 ) 9     3 3 a + 2x   x  ’
=  

综上 , 求 的实数 m=1 所 .   1. 1 直 线 ly+l=k x+1 与 抛 物线  5() : ( )

(6— m)×  一 ×3. 1 3 9      

方程 y X 联立消去 y -  并整理得  k x一( k—1 = . ) O  由 △=( 后 + ( 一 ) 4  一1 0, 得  )> 解


由条件知 
- 2

 ̄6 m 一 ≥ (— )     13 
m) 4 8 ( 6 3 >6 ×  1


k> 一 2   k<一 2  . 2+ √ 或 2— √   () 2 设点 口( y ,i  , )  ( ,2.  ,)P(I ,   ,)   , 

1  
+  × 



则 l   =kx 2 一( 一1. + 2 ,l =   七 )  

因为点 P 、 2口都在直线 z , 。P 、 上 所以,  



对任何正整数 n 恒成立.   由于 6 ×1+  × 在 n l 了   3   4 2 = 时取最大  值 而 故  9 6


PPll   PP
l  
;。 ~

L .! 一 .. 2 一   2 P  Q


. 

1  
4-一 = 一

2  
 

I  l+1 。I   l  ,+1I I +1    —     I‘

( 6— m) 9 ? m≤了 1 3 一 6 >   4
2 7
. 

又 ( +1 ( 2 )    + 1   +l  I )  +1 = l2   + 2  
= 一

( —1 t +l 2> . k )"k = 0 -  

当 m取最大值 时 , = (  3) 口   9 一  .    

于是 ,l 、2 、   +1髯 +l戈+l同号 .  
则  +   =  

K  ×(一)43  S詈 93一 ×+ =    了  


鲁3 13 1 ( )“ ) 川一 (一.  

j 矗 ~ =   一=+   一= 2 1k     一
k=2 2   x

— —

?

+1  

,=  +1 一l=l   ,  ( ) 一2
2 x-y+l=0  .

则 _客  k   n三 3 一台  1 一 三 (- 3 1 8 I — ’)  士 “ J  3    


因 詹> 一 2 或 k 一 2+   < 2—2 , 以 ,   所  
一   一

一(  ’ 8 一 .   1 一 < × =   三3    ^  ’ 8 一 I三 一一  一 3 )  21 I / 13 、  6


l<   一l且   ≠ 一1 菇< , .  

( 斌 参   柳 供)

万方数据

2011年全国高中数学联赛四川赛区预赛
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(4)

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