11.2011年全国高中数学联赛四川赛区预赛

中 等 数 学　

２１ 年全国高中数学联赛四川赛区预赛　 ０１ 　
中圈分类号 ： ４４７　 文献标识码 ： 　 Ｇ ２．９ Ａ 文章缩号　 ０ｓ ４６ ２ｌ ）４ ０３ － ４ ｏ一６Ｉ（０２ｏ － ０４ ０　

一

、

选择题 （ 每小 题 ５分 ， ３ 共 ０分 ） 　

（ 　

） ． 　

ｌ双曲 　一 ＝ 的 右准线ｚｚ ? 线 　 １ 左、 ?： 、　
将线段 Ｆ　 三等分 （ 。 分别为双曲线的　 。 Ｆ、 　 左、 右焦点 ） ．则该双 曲线 的离心率 ｅ等于　
（ 　 ） ． 　

（号 Ｂ　 （２ （４ Ａ 　（１ ｃ　 Ｄ　 ） ） ） ）
６ 如图 Ｉ边长为２的正方形Ａ Ｃ ． 　， Ｂ Ｄ和正　 方形 Ａ Ｅ Ｂ Ｆ所 在 的 面成　 ６ 。 ， Ｎ 分 别 是 线　 ０ 角 Ｍ、 段 Ａ Ｂ 上 的 点， Ｃ、 Ｆ 且　 Ａ ＝Ｆ ．则 线 段 ＭＮ　 Ｍ Ｎ 的 长 的 取 值 范 围 是　
（ 　

（ 　 Ａ）

（ ） Ｂ　

（ 　 ｃ）

（ ２ Ｄ）　

２ 已知 三次 函数　 ． ，　 似　 　．＋ ＋ ｌ 、、、 Ｒ） （）＝ ＋ ２ 　 ｄ ａ　ｃｄ∈ （ ． 　

命题 Ｐ， 　 ） Ｒ上的单调函数； ：＝ ， 是 　 命题 ｑｙ ，　） ： － （ 的图像与　轴恰有一个　
交 点． 　

（　 ２ Ａ 】 ） 　
（ ）　 ，】 ｃ 【 ２　

） ． 　

网 ｌ 　
（ ）［ ，］ Ｂ １２　

（ ）　 ，］ Ｄ ［ ２　

则Ｐ ｑ 　 ） 是 的（ 条件． 　 （） Ａ 充分但不必要　 　 ． （） Ｂ 必要但不充分　 （ ） 要　 Ｃ充 （） Ｄ 既不充 分也不 必要　 ３ 甲、 丙三 人一 起玩 “ 刀 、 头、 ． 乙、 剪 石 　 布” 的游戏． 每一局 甲、 丙 三人 同时出剪　 乙、 刀、 石头、 布中的一种手势， 且是相互独立的． 　

二、 填空题（ 每小题 ５ ， ３ 分 共 ０分） 　 ７ 已知实数　满足　 ．
１ｘ＋ ｌ ＋ １ｘ－５Ｉ ． ２ Ｉ ２ ＝６　

则　的取值范围是　 ． 　 ８设 平 面 内 的 两 个 非 零 向量 ａ与 ｂ相　 ． 互垂直 ， Ｉ　 ＝１ 则使 得向 量 ａ＋ 且 　Ｉ ． ｂ 神 与　 口＋ １ ｍ ６ （ 一 ） 互相垂直的所有实数 ｍ之和为　
－ 　
●－ ＿● ＿－＿ －＿ ●。 。● ＿＿＿ ＿一

设在一局中甲赢 的人数为ｌ 亭 ．则随机变量　
的数学期望　 落的值为（ 　
１ ４ 函数　 ． ）＝￣ ５＋ ２ ３ 　 ， 　一 　 ４— ｘ （） Ｂ　 （ 　

９ 记实数等 比数列 ｝ｉ 的前 ｎ ． ａ｝ 项和 为　
Ｓ．若 Ｓｏ ０ Ｓｏ ７ ， ￥ 　 ｌ＝１ ，３＝ ０ 则 ４ ｏ＝
—

） ． 　
（ ）　 Ｄ１

．　
—

１． ０ 设　为实数 ， 定义ｒ １ 　 为不小于实数　

的　 、 整数（ 　 ＝ ， ＿ｃ ＝一 ）则关　 如ｒ ］ ４ ｒ ７ ］ ３。 于 实数　 的方 程　
１ 　

的最大值为（ 　

） ． 　

ｒ　＋ ］ ２ ÷　 ３ １ ＝ ｘ一
的全部实 根之 和等 于　
１． １ 已知　

（） Ａ 　 （ ） （ ） √　 （ ）　 Ｂ ３ ｃ ２３ 、 ３ Ｄ ５ 已知数列 ｛ ｛ 　 　 为等差数列　 ， 数列　 　　 ｛ ｝ ｂ
满 足　
６ １＝ｎｔ ６ ， ２＝ａ ２＋口３ ６ ， ３＝口 ４＋口 ５＋口６ … ． ， 　
＾ 　

（ ＋ ） 　 ＋　 １ 　 　＝ ６

， 　

若 ｌ 　 ＝ 则数列 ｛　 的公 差 ｄ为　 ｉ ｍ ２， 口｝

其中９ ， 为 数－ 　　　＝ — ． ａ￣ 整 ． 里 。 — ｎ　 ６ 则 　
１． ２ 已知三棱锥 Ｓ— Ｂ Ａ Ｃ的底面是以 Ａ 　 Ｂ

万方数据

２ １ 年第 ４ ０２ 期　

为斜边的等腰直角三角形 ， ｓ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝ 且 Ａ Ｓ Ｓ 　 Ａ ２ 设 ＳＡ、 Ｃ四点均 在 以 ０为球 心 的　 Ｂ＝ ． 、 曰、 某个球 面上．则点 ０到平 面　 Ｃ的距离为　 三、 解答题 （ 每小题 ２ ０分 ， ８ 共 ０分） 　 ｌ． ３ 已知 ｍ＞ ．若 函数　 ０ ， ＝ 　 ｌＯ ， （ 　＋ Ｏ 一， 　） ｌ 　 的最大值为 ｇ ｍ）求 ｇ ｍ 的最小值． （ ， （） 　 １． ４ 已知 函数 　 ） ２ ｓ 　＋ ｏ４ ＋ ｓ 　 ＋ ｏ　） ＝ （ｉ ｎ ｃｓ 　） ｍ（ｉ ｎ ｏａ 　

则 　× 詈 １１２了　 　＝ ０ ×　×＝ ． ４＋ ＋ ２
４ Ｃ． ． 　

） 的定义域为 ５ 　 ８ ≤ ≤。 　

由 　）　 １ ＋ － ＝ ，　＝ 焉 丽 ３ 。 （ 　

在 ∈０ 】最 值１ 实 ｍ 值 　 【詈有 大 ５ 数 的 ． ， 求 　
１． ５ 已知抛 物线 ｙ＝ ２ Ｘ 与过 点 Ｐ（ ， ） 一ｌ 一１　

孕　 ． Ｎ（＝ ）， ） ， ／）　孚＝５ ＝ 　 ５ ３ ２　 　 所一 以 　 孕＝３ ），． ２－ 　
＝

５ Ｄ． ． 　

注 意到 ， 　
ｂ 　＝口 　
＝

的直线 ｚ 交于 Ｐ 、２ 。 两点． 　 Ｐ 求： （） １ 直线 Ｚ 的斜率 ｋ 的取值范围； 　 （） ２ 在线段 ＰＰ 上满足条件　 。２
ｌ 　

＋ ＋口 ￡ 垃＋ ｌ 苎 　 ２＋… ＋口 　 ＋ 　 璺 吐 ｎ

孚【 ＋ ｎ ＋　 口 。　 　 　 ＋ 】

Ｐ　 Ｑ 的点 Ｑ的轨迹 方程 ． 　
２

１ 　 ＋ＰＰ 一 —

２ 　
一

．　 ，
＝

钟， ＋ 　
＝一 ｌ ｉ ｍｌ
、

＋ …Ｈ 【 　 　　

１． ６ 已知 ｍ 为实数 ， 数列 ｛　 的前 ， ａ｝ ｌ 项　 和为 Ｓ ， 足　 　满
ｓ 　　 　＝ ９
一

＝

号２ ＋ ． （　 　） 口 　

则　

÷ ＋， 譬 　 ｍ　 　 且

［ ＋＝一　 　 ｄ詈ｚ ） ．

从而， ４ ｄ＝ ． 　

对任何的正整数 ｎ恒成 立． 明： ｍ取 到　 证 当 最大值时 ， 对任何正整数 ｎ 都有　
，

三　

ｓ 、１ ‘ Ｉ ６ 　

如图 ２ 过点　 ， 作 Ｍ ／Ｂ Ｈ／ Ｃ与 Ａ 　 Ｂ
交 于点 日 则　 ．
Ａ 　 ＡＣ Ａ 。 　 Ｂ Ｄ　
图２ 　

参 考 答 案　
一

、

１ Ｂ． ． 　

因 Ａ ＝Ｆ 　 Ｍ Ｎ， ｊ　 ＝ ． ｅ　 　
ＡＣ＝Ｆ 　 Ｂ．

由 ２ －３× Ｃ ＂ 　
２ Ａ． ． 　 ３ Ｃ　 ． ．

所以，Ｎ＝ 　 Ⅳ ∥Ａ 　 Ａｌ Ｆ ｌ 　 日 　
从而 ，ｉ上 Ａ ， Ｈ上 Ａ ． Ｎｌ Ｂ Ｍ Ｂ 　 于是 ， ＭＨ ６ 。 ／ Ｎ＝ ０． 　 设 Ａ 　 ０ 　 ） 则　 日＝ （ ≤ ≤２ ．
ＭＨ ＝戈 Ｎｉ ＝２一 　 ． ｌ 　．

注 意到 ， 　 Ｐ ６＝ ）＝ 　 ４＝４ （ ０ ３ｘ 　
， 　

Ｐ　＝１ ： ｘ 　 （ ） ３ ４＝４ 百
　 Ｐ（ ２ 　＝ ）＝３ｘ ｌ
１
－ 一 　

， 　

故Ｍ 　 Ｎ＝
＝ 　

＋ ２ ｘ　 ２（ － ）ｏ６￣ （ － ）－ ｘ２ ｘ ｅ 　 　 ｓ０

丽

∈［， ． １２ 　 ］

．　

２ ７

万方数据

中 等 数 学　

二．丢 ． 、【 专】 ７一 　
注意 到 ， 　
ｌ 　 ＋ｌ ＋ Ｉ 　一５Ｉ ２ 　 Ｉ ２ 　

１． １　

． 　

由题设 知　
（ 　 ） １一 　＝Ｑ －ｂ ｎ 　 ． 　

≥ Ｉ２ （ ｘ＋１ ）＋（ ５—２ ） ＝ ． ｘ Ｉ ６　

则口＝ （＋　“ （—Ｙ　， 　÷［１√）＋ １４） 　 ］
［ １ ｖ ） （ — ｇ　? （ ＋ｇ　 １ ４ ） 　
故 ｌ　 ｉ ｍ
： ｌ ｉ ｍ　 × 　 ： 　 ． 　

当且仅当（ｘ １ （　 ５ ≤Ｏ 即　 ２ ＋ ）２ 一 ） ，
一

寻 　寻 ≤≤ 　

时， 上式等号成立． 　
８ １ ．． 　

注意 到 ， 　 ０＝（ 口＋ｍ ） ［ ｂ ?口＋（ 一ｍ） ］ １ ｂ　
： 　 ａ． ｍ（ ｍ） 　 口 ＋ ｂ＋ １一 ｂ
＝

一＋　 簟
ｌ． ２　
ｊ　

（ ＋ ３　 （ 一 ３ “ １ √ ）一 １ √ ） 　

． 　

ｌ 　＋ｍ（ ｍ）　 ａＩ １一 ，

即

ｍ ｍ — ｌ Ｉ ０　 　一 ａ　＝ ．

如图 ３ ． 　 因 为 Ｓ ＝Ｓ ＝ Ａ Ｂ 　

Ｓ 　

由根与系数的关系知符合条件所有实数　 ｍ 之 和为 Ｉ ． 　

Ｓ ， 以， Ｓ 在 平　 Ｃ所 点 面 Ａ Ｃ 上 的 射 影 是　 Ｂ ９ １ ０　 ．５ ． △ Ａ Ｃ的 外 心 。 Ａ 　 Ｂ 即 Ｂ 记 ｂ ＝ ｌ＇２ ８ｏ １’ Ｉ Ｓ０ｂ ＝ ２ —Ｓ０ 　 的中点 凰　 ’ 　 ｂ ３：Ｓｏ—Ｓ ０ ｂ ３ ２，４＝８ｏ—ｌ ０ ４ ｓ ． ３　 罔３ 　 同理 ， Ｄ 点 在平面　 设ｑ ｛ ｝ 为 　 的公 比． ｂ、 、 、 构成　 则 。ｂ ｂ ｂ 　，． Ａ Ｃ上的射影也是 鼠 Ｂ 　 以 ｒ ｇ 为公 比的等 比数列． ＝帕 于是 ， 　 故只需在等边△ ＳＢ中， Ｏ Ａ 求 Ｈ的长 ， 即　 ７ ＝Ｓ ０＝ｂ ０ ３ ｔ＋ｂ ２＋ｂ 　 ３
＝

ｂ（ ＋ｒ 产）＝１ （ ＋ｒ ２ ． Ｉ１ ＋ ０ １ ＋ｒ） 　 ． 　

鲫
－

－　 ＝

＝　

×２ ×

从 而 ，２ ｒ ６＝ ． ，＋ 一 Ｏ 　

譬譬 ＝． 　
． 则　＝ ０　ｔ 　０ ２ １ －
． 　

解得 ｒ ２或 ｒ ３ 舍去） ＝ ＝一 （ ． 　 、 　 故 Ｓ ： ０ １ ｒ ｒ＋ ３ ＝ ５ ． ４ １ （ ＋ ＋ ２ ｒ） １０ ０ 　
１ ．一４　 Ｏ ．

１冷 ｔ 　 ３ ＝
，

故 ｙ： ’　 　
＝ 一 　

，Ｉ ，　

＋ｔ 　

设２ 一 ＝ ∈Ｚ则　 ｘ÷ ｋ ．
＝　 小 　 ＋ 　 ． 　

（詈 ＋ 詈 ｔ ）　＋ ． 一　 　
＝． １ ０ 　

当 ＝ 时ｙ 最 值 　，　 ｔ詈 ， 大 　＋ 即 有 ｍ ｇ ）１ ＋ ≥ （ ＝０孚 ２ ｍ　 ０ 　
所以 ， 当且仅当 ｍ＝ ０时 ， （ 有最小　 ２ ｇ ｍ） 值 １． ０ 　 １． ４ 注意 到 ， 　 ） ２ （ｓ 　? ＝ 一 ２ｉ ｃ 　 ｒ ｓ 　＋ ｏ　）　 ．ｎ 憾　） ＋ａ ｉ ｃｇ 　 （ｎ ．
令ｔ ｉ ＝ｓ ｎ戈＋Ｃ８ Ｏ　

于是 ， 原方程等价于　

ｌ ３ １ ２ ≤１ 　 １ 　－　 一 ２— ＜ 　 ｋ 　 ｔ
一 　

＜ ≤ 一 　

寻 　
７ 　

ｋ＝一 ５或 一 ． ４　

相应 的　 为
Ｉ． 　 ．＾ Ｉ 　 ． ｔ 　

一

一

９ 　

４ ，一一 ? ４ 　

故所有实根之和为 一 ． ４ 　

＝ ｓ ＋）［ ］ 　ｉ 手∈１ ． ｎ （ 　 ，　 　

万方数据

２１ ０ ２年第 ４期　

３　 ７
凼此 ， 　 明轨迹 万程是　 点
２ ｘ－ｙ＋１＝Ｏ． 　

于是 ，ｓ 　?Ｏ　 ＝ｔ一１ ２ ｉ Ｃ８ ｎ 　 ． 　

故　 ）＝ ２一（　 ） ｍ ‘ ｔ一１　＋ ｔ 　 （ ｍ—１ ｔ ４ ｔ ＋１ ）‘ － 　 ． ２ 　
＝

其中 ， 　 一 ＜ 　 一 ， 一 １ 　＜ １且　≠ 一 ． １ 　

令 ｌ ｔ ∈［ ，］ ‘ 　 １２ ． ＝ 　 由题意知 ｇ １ ＝（ （ ） ｍ—１ ｌ ＋ ｕ＋ｌ ‘ ）　 ２ ‘ 在　 Ｈ∈［ ，］ １２ 有最大值 ５ ． 　
当 ｍ —ｌ ０时 ， ＝ 　 ｇｔ ２ （‘ ）＝ ｕ＋ｌ （ ）＝ ， ≤ｇ ２ ５　

１当＝时由。 口４ｍ 　 ６ ｎｌ，口詈． ＋， ． ＝ 一 得
ａ ＝ （ ｍ） １ ８ ４一 ． 　 当ｎ ≥１时 ， 　

故 ｍ＝ 符合条件 ； ｌ 　 当 ｍ—ｌ＞ ０时 ， 　 ｇ １ 　 ≥ｇ ２ ２×２＋１ ， （） ‘ （ ）＞ ＝５　 矛盾 ； 　 ’ 　
当 ， —ｌ ０时 ， ， ＜ Ｉ 　
ｇ１ ２ （‘ ）＜ ｕ＋ｌ ， ≤５　 矛 盾． 　

ｓ　 一　 ＋， 　 ÷ ｍ ＝ 　
Ｓ＋ ＝９ 　ｌ 　

ｓ ｎ， 一 － × … ＋ ． ａ＋ 一＝ Ｉ了 ｍ　 ‘
９ 　
川 一　
一

４ －×３一 ‘＋ｍ ＋

则　 ． ．口 ＝９

则 　 口 　 一× 　－ 川一 争　 ． 手３ 　
口 ＋ ＝９ 　＋６ 　 　　 　 　ｌ ａ ４ Ｘ３ 一

ａ ＋ ＋ ２ｘ３ ＝ （ 　＋ ２ｘ 　 ） 　 ｌ ３ 　 　。 ９ 口 ３ 　 ３ ． 　

故 口 ＋ ２ｘ　 ＝（ｌ ３　３ ） ９ 　 　 ３　３ ａ ＋ ２ｘ 　 ｘ 　’
＝ 　

综上 ， 求 的实数 ｍ＝１ 所 ． 　 １． １ 直 线 ｌｙ＋ｌ＝ｋ ｘ＋１ 与 抛 物线　 ５（） ： （ ）

（６— ｍ）× 　一 ×３． １ ３ ９ 　 　 　

方程 ｙ Ｘ 联立消去 ｙ －　 并整理得　 ｋ ｘ一（ ｋ—１ ＝ ． ） Ｏ　 由 △＝（ 后　＋ （ 一 ） ４ 　一１ ０， 得　 ）＞ 解
一

由条件知　
－ ２

￣６ ｍ 一 ≥ （— ） 　 　 １３　
ｍ） ４ ８ （ ６ ３ ＞６ ×　 １
—

ｋ＞ 一 ２ 　 ｋ＜一 ２ 　． ２＋ √ 或 ２— √ 　 （） ２ 设点 口（ ｙ ，ｉ　 ， ）　 （ ，２． 　，）Ｐ（Ｉ ， 　 ，） 　 ，　

１ 　
＋　 ×　

ｊ

则　ｌ 　 ＝ｋｘ ２ 一（ 一１． ＋ ２ ，ｌ ＝ 　 七 ） 　

因为点 Ｐ 、 ２口都在直线 ｚ ， 。Ｐ 、 上 所以， 　
—
一

对任何正整数 ｎ 恒成立． 　 由于 ６ ×１＋ 　× 在 ｎ ｌ 了 　 ３ 　 ４ ２ ＝ 时取最大　 值 而 故　 ９ ６
，

ＰＰｌｌ 　　ＰＰ
ｌ 　
；。 ～

Ｌ ．！ 一 ．． ２ 一 　 ２ Ｐ　 Ｑ
一

．　

１ 　
４－一 ＝ 一

２ 　
　

Ｉ 　ｌ＋１ 。Ｉ 　 ｌ 　，＋１Ｉ Ｉ ＋１ 　 　— 　 　 Ｉ‘

（ ６— ｍ） ９ ? ｍ≤了 １ ３ 一 ６ ＞ 　 ４
２ ７
．　

又 （ ＋１ （ ２ ） 　　 ＋ １ 　 ＋ｌ 　Ｉ ）　 ＋１ ＝ ｌ２ 　 ＋ ２ 　
＝ 一

（ —１ ｔ ＋ｌ ２＞ ． ｋ ）＂ｋ ＝ ０ － 　

当 ｍ取最大值　时 ， ＝ （　 ３） 口 　 ９ 一 　． 　 　

于是 ，ｌ 、２ 、 　 ＋１髯 ＋ｌ戈＋ｌ同号 ． 　
则　 ＋ 　 ＝ 　

Ｋ　 ×（一）４３　 Ｓ詈　９３一 ×＋ ＝ 　　 了 　
＝

鲁３ １３ １ （ ）“ ） 川一 （一． 　

ｊ 矗 ～ ＝ 　 一＝＋ 　 一＝ ２ １ｋ 　 　 一
ｋ＝２ ２ 　 ｘ
－
— —

?

＋１ 　

，＝ 　＋１ 一ｌ＝ｌ 　 ， 　（ ） 一２
２ ｘ－ｙ＋ｌ＝０　 ．

则　＿客 　ｋ 　 ｎ三 ３ 一台　 １　一 三 （－ ３ １ ８ Ｉ — ’） 　士 “ Ｊ 　３ 　 　
＝

因 詹＞ 一 ２ 或 ｋ 一 ２＋ 　 ＜ ２—２ ， 以 ， 　 所 　
一 　 一

一（　　’　８　一 ． 　　１　一 ＜ × ＝ 　 三３　 　　＾ 　’ ８　一 Ｉ三 一一 　一 ３ ） 　２１ Ｉ ／ １３ 、 　６
＝

ｌ＜ 　 一ｌ且 　 ≠ 一１ 菇＜ ， ． 　

（ 斌 参 　 柳 供）

万方数据

2011年全国高中数学联赛四川赛区预赛
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 中等数学 High-School Mathematics 2012(4)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201204011.aspx